数列概念和通项公式(公开课)教学资料

1、 正方形数：正方形数：1 1，4 4，9 9，1616， 三角形数：三角形数：1 1，3 3，6 6，1010， 1， 2， 6， 15， 40， 104，（273 ） 3, 2, 11, 14, 27 ， 34， （51 ） 共同特点：共同特点： 1. 是一列数；是一列数； 2. 有一定的顺序有一定的顺序 1111， 6332 22221， 他们有何 共同点？， 4 1 3 1 2 1 1 (1) “1, 2, 3, 4, 5”与与“5, 4, 3, 2, 1”是同一是同一 个数列吗？与个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？呢？ 数列的有序性数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗

2、？数列中的数可以重复吗？ (3) 数列与集合有什么区别？数列与集合有什么区别？ 二、新课讲解二、新课讲解 1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为定义：按一定顺序排列着的一列数称为 数列数列 辨析数列的概念辨析数列的概念: 集合集合:无序性、无序性、互异性、互异性、 确定性确定性. 数列数列:有序性、有序性、可重复性、可重复性、 确定性确定性. 数列的一般形式可以写成： 简记为an 2.数列中的每一个数叫做这个数列的项项。 各项依次叫做这个数列的首项，第2项， 第n项， 123 ,. n a aaa 注意：注意： 表示一个数列表示一个数列. .项，项，表示第表示第n n a na nn aa问

3、：与一样吗？ 12345 ,.aaaaa 2, 4, 6, 8, 10, , 20, 10 ,.a 二、新课讲解二、新课讲解 3.数列的分类数列的分类 (1)按项数分：按项数分： 项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列 项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列 (2)按项之间的大小关系：按项之间的大小关系： 递增数列，递增数列， 递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列。常数列，常数列， (1) 全体自然数构成的数列全体自然数构成的数列:0，1，2，3， (2) 无穷多个无穷多个3构成的数列构成的数列:3，3，3，3， (3) 人民币面额人民币面额(单位单位:元元)按一定顺序构成

4、的数列按一定顺序构成的数列: 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01. (4) -1的的1次幂次幂,2次幂次幂,3次幂次幂,4次幂次幂构成的数列构成的数列: -1，1，-1，1， 练习练习: 判断下列数列是属于哪类数列判断下列数列是属于哪类数列. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12, ? n nna 2 2422na 1 122 1na 4 4824na 3 362 3na 5 51025na 2 n an 问：问：数列中的数列中的项项an和和序号序号n之间有何关系？之间有何关系？ 如果数列如果数列 的第的第n项项 与序号与序号n

5、之间的关系之间的关系 可以用一个公式可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做来表示，那么这个公式叫做 这个数列的这个数列的通项公式。通项公式。 n a n a 不是每一个数列都能写出其通项公式不是每一个数列都能写出其通项公式 如:1.1, 1. 14,1. 141，1.1415,1.14159 问题问题3 3：数列的通项公式可以看成数列的 函数解析式。那么，根据通项公式，你能 确定这个数列哪些方面的性质？ 例题分析例题分析 0, 2, 0, 2)6( 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1)5( 1, 1, 1, 1)4( 16,9,4, 1)3( 7,5,3, 1)2( 8,6,4, 2) 1

6、 ( 1234 481216 n ? 序号序号n 项项an 问题问题1 1：数列中的数列中的项项和和序号序号之间的这种关系之间的这种关系 类似于我们以前学过的什么关系？类似于我们以前学过的什么关系？ an是是n 的函数的函数 问题问题2 2：数列是一种数列是一种函数函数，这种函数有什么，这种函数有什么 特殊性吗？特殊性吗？ x y ， 得到一个数列有意义，那么我们可以 ，如果、反之，对于函数 )()3()2() 1 ( )321)(),(2 nffff iifxfy 可以用可以用函数的观点函数的观点研究数列，但又要注意数研究数列，但又要注意数 列自身的特殊性！列自身的特殊性！ 1 1、数列可看

7、成以、数列可看成以正整数集正整数集N N* *( (或它的有限子集或它的有限子集 11，2 2，n)n)为定义域为定义域的函数的函数 当自变量按从小到大的顺序依次取值时，所对当自变量按从小到大的顺序依次取值时，所对 应的应的一列函数值一列函数值。 )(nfan 数列与函数的关系数列与函数的关系探究探究 列。时，其函数值构成的数， 依次取，当与课堂练习：写出函数 321 332xyxy x 课后探究：课后探究： 结合函数的有关知识研究这两个数列结合函数的有关知识研究这两个数列 的性质的性质 ， ， 243812793)2( 1311975) 1 ( 观察：这两个数列有什么特点？观察：这两个数列有

8、什么特点？ 4. 数列的项数列的项an与项数与项数n的关系的关系 如果数列如果数列an的第的第n项项an与序号与序号n之间的关系可以用一个之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 二、新课讲解二、新课讲解 n12345 246810 2n 2 n an 1 2a 2 4a 3 6a 4 8a 5 10a n12345 2481632 2n 5 32a 4 16a 3 8a 2 4a 1 2a 图图2 图图1 例例1.根据下列数列的前几项的值根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式写出数列的一个通项公式:

9、二、新课讲解二、新课讲解 (1) 1 1 1 1 (2) 1111 (3) 11 11 1 11 (4) 1 2 34 (5) 2 0 2 0 , , , , , , , , ， ， 从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项 的映射的映射 5. 数列的实质数列的实质 即即: 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集 （ 或它或它 的有限子集的有限子集1，2，n）的函数，当自变量从小）的函数，当自变量从小 到大依到大依 次取值时对应的一列函数值次取值时对应的一列函数值。 * N 从函数的观点看，数列项是序号的函数。从函数

10、的观点看，数列项是序号的函数。 1 2 3 n a1 a2 a3 an n f(n) 二、新课讲解二、新课讲解 6. 数列的表示法数列的表示法 列表法列表法 以数列以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 为例为例 通项公式法通项公式法: 图象法图象法 an=2n n12345 an246810 递推法递推法 an= an-1 +2 a1= 2 (n1) 二、新课讲解二、新课讲解 例例2.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个个 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数

11、列的一个通项公式，并在直角坐标项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象系中画出它的图象. （1）（2）（3）（4） 二、新课讲解二、新课讲解 1 1 1 3.1,1(2), 5 n n aan a 例 已知写出这个数列 的前 项. 解：解：a1=1 2 1 11 112 1 a a 3 2 113 11 22 a a 4 3 125 11 33 a a 5 4 138 11 55 a a 二、新课讲解二、新课讲解 1-1 1 1 .1,+1(2), 1,(2), 1 nnn n n n aaaan an aan an 例4 （1）已知数列满足 写出这个数列的通项公式。

12、（2）已知数列满足 写出这个数列的通项公式。 1. 写出下列数列写出下列数列an的前的前5项项 （1）a1=5，an=an-1+3 (n2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n2)； （1）5，8，11，14，17 （2）2，4，8，16，32 2.已知已知 ,试问数列中有没有最大项试问数列中有没有最大项 如果有如果有,求出这个最大项求出这个最大项,如果没有如果没有,说明理由。说明理由。 91 10 n n n n anN () () 三、练习三、练习 思考思考：你能否利用上面两题的条件求出数列：你能否利用上面两题的条件求出数列an的的 通项公式？通项公式？ （1）后一项比前一项多）后一

13、项比前一项多3分析分析 （2）后一项是前一项的）后一项是前一项的2倍倍 补充练习 .D ;n，.C ;n，.B ;n，.A )(., n n aa)( .D.C.B.A ).()n( n，)( ;, ()( 、 nn 不是这个数列的项 且是这个数列的项 且是这个数列的项 且是这个数列的项 那么的通项公式已知数列 中的一项是是数列以下四个数中 是下面数列是有穷数列的 选择题 D.0,0,0,0, ,C.2,22,222 2 1 B.1, A.1,0,1,0, ) 7 7 6 980 1 3 233239380 12 4 1 3 1 1 1 2 2 ._ ,lg,lg,lg,)( _;_ ,)( _;a , n n aa）（ 、 nn 式为 的一个通项公数列 为 的一个通项公式数列 项则它的第 的通项公式已知数列 填空题 232 2 1 06 16 15 8 7 4 3 2 1 5 5 1 4 2 5 观察下面数列的各项之间有什么关系？观察下面数列的各项之间有什么关系？ 1，1，2，3，5，8，13，21， 分析