江苏省2012届高考数学二轮复习：第13讲　圆锥曲线(含轨迹问题)

1、圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)要能准确建模(方程或不等式)1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质1. 若椭圆1的离心率e，则m的值是_2.若抛

2、物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_3.双曲线2x2y260上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_4.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得e，则该椭圆离心率e的取值范围是_【例1】已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1) 求椭圆G的方程；(2) 求PAB的面积【例2】直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C的方程；(2

3、) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且3.求过O、A、B三点的圆的方程【例3】已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由【例4】(2011徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x1)2y216与点A(1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C的方程；(2) 曲线C与x轴正半轴交

4、点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线xt(t为常数，且t2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1y2的值(用t表示)1. (2011天津)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_2.(2010全国)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于D点，且2，则C的离心率为_3.(2011江西)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_4.(2011重庆)设双曲线

5、的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为_5.(2011江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2) 当k2时，求点P到直线AB的距离d；(3) 对任意k0，求证：PAPB.6.(2011重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，一条准线的方程为x2.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P满足：2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与O

6、N的斜率之积为，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由(2011苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T三点共线；(2) 如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0)，则A(0，b)，B(0，b)，T.(1分)AT：1，BF：1，(3分)联立解得：交点C，代入得(4分)1，(5分)满

7、足式，则C点在椭圆上，A、C、T三点共线(6分)(2) 解：过C作CEx轴，垂足为E，OBFECF.3，CEb，EFc，则C，代入得1， a22c2，b2c2.(7分)设P(x0，y0)，则x02y2c2.(8分)此时C，ACc，SABC2cc2，(9分)直线AC的方程为x2y2c0，P到直线AC的距离为d，SAPCdACcc.(10分)只需求x02y0的最大值(解法1) (x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)(11分)3(x2y)6c2， x02y0c.(12分)当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.(13分)(解法2)令x02y0t，代入x22y2c2得(t2y0)22

8、y2c20，即6y4ty0t22c20.(11分)(4t)224(t22c2)0，得tc.(12分)当tc，代入原方程解得：x0y0c.(13分) 四边形的面积最大值为c2c2c2，(14分) c21，a22，b21，(15分)此时椭圆方程为y21，P点坐标为.(16分)第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_【答案】 (，1)(2，)2. 点P为椭圆1(ab0)上一点，F1 ，F2为椭圆的焦点，如果PF1F275，PF2F115，则椭圆的离心率为_【答案】 3. 已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜

9、率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_【答案】x14. 设P点在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y21上移动，则|PQ|的最大值是_【答案】1解析：圆心C(0,2)，|PQ|PC|CQ|1|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值设Q(x，y)， |CQ|， 1y1， 当y时，|CQ|max， |PQ|max1.5. (2011南京二模)如图，椭圆C：1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2) 过点B的直线l1、l2与

10、椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，2)，E(2,0)，P(4,1)所以直线DE的方程为yx2，直线BP的方程为yx2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为1，所以点在椭圆1上即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上(2) 解：直线BR的方程为yk1x2.解方程组得或所以点R的坐标为.因为k1k2，所以直线BS的斜率k2，直线BS的方程为yx2.解方程组得或所以点S的坐标为.(若写成“同理可得点S的坐标为”也可以)所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O

11、、S三点共线，即直线RS过定点O.6. (2011扬州三模)如图，已知椭圆C：1(ab0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2y2 (c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1) 若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；(2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值(O是坐标原点)；(3) 若存在点P使得PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围解：(1) 令椭圆mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即椭圆为1.(2) 直线AB：1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为22

12、，化简为x2x0xy2y0y0，与圆x2y2作差，即有直线MN：x0xy0y.因为点P(x0，y0)在直线AB上，所以1，所以x00，所以得x，y，故定点E，.(3) 直线AB与圆G：x2y2(c是椭圆的半焦距)相离，则，即4a2b2c2(a2b2)，4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因为0e1，所以0e23.连结ON、OM、OP，若存在点P使PMN为正三角形，则在RtOPN中，OP2ON2rc，所以c，a2b2c2(a2b2)，a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因为0e1，所以e21.由，得e23，所以e.基础训练1. 3或2. 3. 244. 1,

13、1)解析： e, PF1ePF2e(2aPF1)，PF1，又acPF1ac， acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0e1, 1e1.例题选讲例1解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2) 设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线AB：

14、xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.例2解：(1) 由题意，设椭圆C：1(ab0)，则2a4，a2.因为点(2，1)在椭圆1上，所以1，解得b，故所求椭圆方程为1.(2) 如图设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)点F的坐标为F(3,0)由3，得即又A、B在椭圆C上，所以解得所以B，代入得A点坐标为(2，)因为0，所以OAAB.所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆，其方程为x2y2xy0.变式训练已知点P(4,4)，圆C：(xm)2y25(mb0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切(1) 求m的值与椭圆E的方程；

15、(2) 设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3m)215. m3， m1.圆C：(x1)2y25.设直线PF1的斜率为k，则PF1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直线PF1与圆C相切， .解得k或k. 当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4， c4，F1(4,0)，F2(4,0). 2aAF1AF256，a3，a218，b22.椭圆E的方程为：1.(2) (1,3)，设Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|3y|， 3xy

16、3.则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是0,36. x3y的取值范围是6,6 x3y6的取值范围是12,0. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3解：(1) 直线AM的斜率为1时，直线AM方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120，解之得x12，x2， M.(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：yk(x2)，则化简得(14k2)x216k2x16k240. 此方程有一根为2， xM，同理可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P. kMP，同理可计算得kPN. 直线MN过x轴上的一定点P.变式训练在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1

17、(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2y21上(1) 求椭圆的方程；(2) 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin. 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； 求OA2OB2.(1) 解：依题意，得c1.于是a，b1.所以所求椭圆的方程为y21.(2) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.又设M(x，y)，因cossin，故因M在椭圆上，故(y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.将代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以kOAkOB为定值 解：(y1y2)22(1y)(1y)1(yy)yy，故yy1.又2

18、，故xx2.所以OA2OB2xyxy3.例4解：(1) 连结RA，由题意得RARP，RPRB4，所以RARB4AB2，由椭圆定义，得点R的轨迹方程为1.(2) 设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，QM、QN的斜率分别为kQM、kQN，则kQM，kNQ，所以直线QM的方程为y(x2)，直线QN的方程为y(x2)令xt(t2)，则y1(t2)，y2(t2)，又(x0，y0)在椭圆1上，所以y3x.所以y1y2(t2)2(t2)2，其中t为常数且t2.高考回顾1. 1解析：由题设可得双曲线方程满足3x2y2(0)，即1.于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y

19、224x的准线上，则c236，于是27.所以双曲线的方程1.2. 解析：设椭圆方程为1(ab0)，设D(x2，y2)，B(0，b)，C(c,0)，(c，b)，(x2c，y2) c21， e2， e.3. 1解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c1.分析可知直线AB为圆x2y21与以为圆心，为半径的圆的公共弦由(x1)22与x2y21相减得直线AB方程为：2xy20.令x0，解得y2， b2，又c1， a25，故所求椭圆方程为：1.4. (1，)解析：由题可知A，c， ba， c2a2a2， ，即1e.5. 解：(1) 由题意知M(2,0)，N(0，)，M、N的中点坐标为，直线PA平分线段MN，又直线PA经过原点，所以k.(2) 直线PA：y2x，由得P，A，C，AB方程：，即：xy0，所以点P到直线AB的距离d.(3) (解法1)由题意设P(x0，y0)，A(x0，y0)，B(x1，y1)，则C(x0,0)， A、C、B三点共线， kACkAB，又因为点P、B在椭圆上， 1，1，两式相减得：kPB， kPAkPB1， PAPB.(解法2)设A(x