第十二章 第75讲

1、第第75讲不等式选讲讲不等式选讲 考试要求1.不等式的基本性质(B级要求)；2.|axb|c，|ax b|c，|xa|xb|c型不等式的解法(B级要求)；3.不等 式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求)；4.算 术几何平均不等式与柯西不等式(A级要求)；5.利用不等式 求最大(小)值(B级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B级要 求). 1.求不等式|x1|x5|2的解集. 解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1. 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4， 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成 立. 综上，原不

2、等式的解集为(，4). 诊诊 断断 自自 测测 2.若存在实数x使|xa|x1|3成立，求实数a的取值范围. 解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|， 要使|xa|x1|3有解， 可使|a1|3，3a13，2a4. 故实数a的取值范围为2，4. 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集： 知知 识识 梳梳 理理 不等式a0a0a0 |x|a (，a) (a，) (，0) (0，) R (a，a) (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法： |axb|c_； |axb| _； (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解 法：

3、利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思 想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 的思想. caxbc axbc或axbc 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则_|ab| _，当且 仅当_时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么|ac| _，当且仅 当_时，等号成立. |a|b|a|b|ab0 |ab|bc|(ab)(bc)0 3.不等式证明的方法 ab0 (2)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证， 最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即 “

4、_”的方法. (3)分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证 不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得 出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“_” 的方法. 由因导果 执果索因 (4)反证法和放缩法： 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应 用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的 条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法. 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩 小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而

5、 得出原不等式成立，这种方法称为放缩法. (5)数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当nn0时命题成立； 假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命 题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正 整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： 柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2 b2)(c2d2)_(当且仅当adbc时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则 |，等号当且仅当，共线时成立. (a

6、cbd)2 考点一绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值 【例11】 (2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当a1时，求不等式f(x)1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范 围. 解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10. 当x1时，不等式化为x40，无解； 当x1时，不等式化为x20，解得1x2. 规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种 解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将 数轴分为(，a，(a，b，(b， )(此处设ab)三个部分， 在每个部分上去掉绝对值号分别列出

7、对应的不等式求解，然后 取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c 0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的 全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象， 结合图象求解. 【例12】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最 小值. (2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最 大值. 解(1)x，yR， |x1|x|(x1)x|1， |y1|y1|(y1)(y1)|2， |x1|x|y1|y1|123. |x1|x|y1|y1|的最小值为3. (2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|1

8、2|y 2|25， 即|x2y1|的最大值为5. 规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|. (3)利用零点分区间法. 考点二绝对值不等式的综合应用 (1)求M； (2)证明：当a，bM时，|ab|1时，等价于a1a3，解得a2. 所以实数a的取值范围是2，). 考点三证明不等式 证明当|ab|0时，不等式显然成立. 当|ab|0时， 【例32】 设a，b，c0，且abbcca1. 由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23. 即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1， 故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即证：a2b2c2abbcca. 规律方法当所证明的不等式不能使用比较法，且