内切球、外接球问题.doc

1、处理球的“内切” “外接”问题一、球与棱柱的组合体问题：1正方体的内切球：设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。a（1）截面图为正方形 EFGH的内切圆，得R二一；2（2） 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得5，以对角面AAi作截面图得，圆 0为（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图矩形AA1C1C的外接圆，易得 R = A,03 a。2D1心2.在球面上有四个点P、C .如果 PA、PB、PC两两互相垂直，且求这个球的表面积是【构造直三角形，巧解正棱柱与

2、球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一 顶点构成的直角三角形便可得球半径。】3.已知底面边长为a正三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点在球 01上，又知球 02与此正三棱柱的 5个面都相切，求球01与球。2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心01、02是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为a，贝U R2.-3高为 h = 2 R2 a，3由Rt 20中，得耳，正三棱柱的6Ci图622J.S1 : S R1 : R2 =5:1 , y：V2 =

3、5.5:1二棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。解：如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为a 由图形的对称性知，点 0也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为 R在 Rt ：BEO 中，BO2=BE2 E02，即 R2，得 R 6 a,4得 R =3r【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h （ h为正四面体的4高），且外接球的半径 3h，从而可以通过截面图中 Rt OBE建立棱长与半径4之间的关系。图1

4、5. 正三棱锥S-ABC，底面边长为3,侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少6. 正四棱锥S-ABCD，底面边长为2,侧棱长为3,则其外接球和内切球的半径是多少练习：1. （球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为,2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1 ,2, 3,则此球的表面积为 。3设P,代B,C是球0面上的四点，且PA,PB,PC两两互相垂直，若PA二PB二PC二a,则球心O到截面ABC的距离是.4. （球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S - ABC中，侧棱SC _侧面SA

5、B，侧棱SC = 2 ,则此正三棱锥的外接球的表面积为 5. （球内接棱柱问题）若一个底面边长为 丄3，棱长为.6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，2则此球的体积为 6. （正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点）,则此内切球与外接球表面积之比为 。7. （球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为8. （正三棱锥球内切问题）正三棱锥的高为3，底面边长为 8.3，正三棱锥内有一个球与其四个面相切.球的表面积与体积分别为 .9. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球， 球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决.3二；214二