【大学课件】拉压杆变形

1、 平安功能是否完全保证？平安功能是否完全保证？ 有时候虽然没有破坏，可是变形大，也不行有时候虽然没有破坏，可是变形大，也不行 还要保证还要保证 不过度变形不过度变形, , 即解决即解决 刚度问题刚度问题 于是提出于是提出变形计算变形计算问题问题 2.5 2.5 拉压杆变形拉压杆变形Tensile or CompressiveTensile or Compressive Deformation Deformation 前面从应力方面实现了平安功能前面从应力方面实现了平安功能 如何计算？因线应变是单位长度的线变形如何计算？因线应变是单位长度的线变形 思路：线应变思路：线应变 线变形线变形 变形不超

2、过限度变形不超过限度 平安功能的第二个保证平安功能的第二个保证 即解决了强度问题不破坏即解决了强度问题不破坏 待求待求 杆的轴向总变形杆的轴向总变形 伸长伸长ElongationElongation 拉应力为主导拉应力为主导 缩短缩短CompressionCompression 压应力为主导压应力为主导 求解出发点求解出发点 线应变线应变 1 1平均线应变平均线应变 此路不通此路不通 L L L LL L L L L L 1 1 2 2一点线应变一点线应变 可行可行 一、轴向变形一、轴向变形Axial DeformationAxial Deformation LLL 1 L LLL 1 任意任

3、意 x 点处的纵向线应变点处的纵向线应变 dx dx )( EA xN E )( 另一方面，由本构关系另一方面，由本构关系 于是于是 x 点处的微小变形为点处的微小变形为 EA dxxN dx )( )( P Q )(dxxd LLL1 QP 得到得到整个杆的纵向线变形整个杆的纵向线变形 把所有点处的变形加起来积分把所有点处的变形加起来积分 EA dxxN dx )( )( LL EA dxxN dx 00 )( )( L EA dxxN L 0 )( EA 杆的抗拉压刚度杆的抗拉压刚度 出发点出发点 L xEA xdxN L 0 )( )( n i ii ii AE LN L 1 3 3、阶

4、段等内力、阶段等内力n n段中分别为常段中分别为常 量量 N(x) x dx 2 2、变内力变截面、变内力变截面)( xAA PPEA PL L 拉压杆的纵向线变形拉压杆的纵向线变形 L EA dxxN L 0 )( 拉压杆的刚度条件拉压杆的刚度条件 L 1 1、等内力等截面、等内力等截面PxN)( 横向线应变横向线应变 横向变形横向变形accaac ac ac P P a c c a 二二 横向变形横向变形 Lateral Lateral DeformationDeformation 泊松比泊松比 Poissons RatioPoissons Ratio 你观察到了吗？你观察到了吗？ 伴随杆

5、的纵向伸长伴随杆的纵向伸长横向收缩横向收缩 你思考了吗？你思考了吗？ 纵向伸长纵向伸长横向收缩，有什么规律性？横向收缩，有什么规律性？ 实验说明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时实验说明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时 泊松比是个小于泊松比是个小于1 1的常数的常数 横向变形系数或泊松比横向变形系数或泊松比 横向应变横向应变Lateral strainLateral strain与与 纵向应变纵向应变Axial strainAxial strain之比之比 或 如果你是如果你是1919世纪初的善于思考者，该系数会以你的世纪初的善于思考者，该系数会以你的 名字命名，而不是法国的泊松名字

6、命名，而不是法国的泊松Simon Denis PoissonSimon Denis Poisson， 1781-18401781-1840现在能想到现在能想到主观创造，意义也很大主观创造，意义也很大 1、怎样画小变形节点位移图？、怎样画小变形节点位移图？ 2 2严格画法严格画法 弧线弧线 目的目的 求静定桁架节点位移求静定桁架节点位移 3 3小变形画法小变形画法 切线切线 三、三、 小变形的节点位移小变形的节点位移 画法与解法画法与解法 AB C L1 L2 P 1 L 2 L C C 1 1求各杆的变形量求各杆的变形量Li Li 1 LuB 解：变形图如图解：变形图如图2， B点位移至点位移

7、至B点，由图点，由图 sin ctg 2 1 L Lv B AB C L1 L2 1 L 2 L B u B v B 2、怎样计算小变形节点位移？、怎样计算小变形节点位移？ 目前目前几何学几何学 以后以后计算机程序计算机程序 例例 写出图中写出图中B点点 位移与两杆变位移与两杆变 形间的关系形间的关系 060sin6 . 12 . 18 . 060sin 0 oo A TPT m kN55.113/PT MPa15110 36.76 55.11 9 A T 例例 截面积为截面积为 76.36mm 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮的钢索绕过无摩擦的定滑轮 P=20kNP=20kN，求刚索

8、的应力和，求刚索的应力和 C C点的垂直位移。点的垂直位移。 刚索的刚索的 E =177GPaE =177GPa，设横梁，设横梁ABCDABCD为刚梁为刚梁 解解 1 1求钢索内力求钢索内力ABCDABCD为对象为对象 2) 2) 钢索的应力和伸长分别为钢索的应力和伸长分别为 800400400 D C P A B60 60 P A B C D TT YA XA mm36. 1m 17736.76 6 . 155.11 EA TL L C P A B60 60 800400400 D A B60 60 D B D 1 2 C C 3 3变形图如左变形图如左 C C点的垂直位移为：点的垂直位移为

9、： 2 60sin60sin 2 21 DDBB LC mm79. 0 60sin2 36. 1 60sin2 o L 1、问题的提出、问题的提出 两杆桁架变成两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个三杆桁架，缺一个 方程，无法求解方程，无法求解 一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法 C P A B D 12 3 C P A B 12 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 PNNNY 三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程静力平衡方程 静不定静不定 Static

10、 indeterminate Static indeterminate 静力不能确静力不能确 定定 超静定问题超静定问题Hyperstatic Hyperstatic 超出了静力范围超出了静力范围 其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题 补充补充变形协调方程变形协调方程 不能求解不能求解 超静定问题：超静定问题： 建立本构或物理方程予以沟通建立本构或物理方程予以沟通 结合结合平衡方程平衡方程联立求解联立求解 个性：杆件，桁架杆件组合个性：杆件，桁架杆件组合 2、超静定的处理方法、超静定的处理方法 平衡方程平衡方程 变形协调方程变形协调方程 本构方程本构方程 共性：

11、共性：超静定问题超静定问题单凭静平衡方程不能确定出单凭静平衡方程不能确定出 全部未知力外力、内力、应力全部未知力外力、内力、应力 例例：求三杆桁架内力求三杆桁架内力 杆长杆长 L1 1= =L2 2， ， L3 3 = =L 面积面积 A1=A2=A，A3 3 弹性模量弹性模量 E1 1= =E2 2= =E，E3 3 C P A B D 12 3 解解 (1)(1)静力静力平衡方程平衡方程力学力学 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 PNNNY P A N1 N3 N2 11 11 1 AE LN L 33 33 3 AE LN L (3) (3) 本构方程本构方程物理物理

12、 4 4联立求解联立求解代数代数 解法一解法一力法：力法：a a、由几何和物理方、由几何和物理方 程消除位移程消除位移 b b、此方程于平衡方程是、此方程于平衡方程是3 3个方程含个方程含3 3个力未知个力未知 量，解得量，解得 cos 31 LL cos 33 33 11 11 AE LN AE LN 33 3 11 33 3 33 3 11 2 11 21 cos2 ; cos2 cos AEAE PAE N AEAE PAE NN C A B D 12 3 A1 1 L2 L 3 L (2)(2)变形协调方程变形协调方程几何几何 解法二解法二混合法：混合法：a a、由几何和物理方程消除、

13、由几何和物理方程消除N1N1和和N2N2； b b、解、解3 3个方程含个方程含1 1个力未个力未 知量，知量，2 2个位移未知量个位移未知量 P33-39 例例 2.4- 2.9 自己做，再对书自己做，再对书 例例 2.4 1轴力图；轴力图；2变形求和变形求和 例例 2.5 定义定义 例例 2.6 1应变定义；应变定义；2略掉高阶项略掉高阶项 例例 2.7 微元当成等内力单元微元当成等内力单元 例例 2.8 1内力；内力；2单独变形；单独变形；3切线代弧切线代弧 例例 2.9 1刚体；刚体；2切线代弧切线代弧 P33-39 例例 2.4- 2.9 自己做，再对书自己做，再对书 例例 2.4

14、1轴力图；轴力图；2变形求和变形求和 例例 2.5 定义定义 例例 2.6 1应变定义；应变定义；2略掉高阶项略掉高阶项 例例 2.7 微元当成等内力单元微元当成等内力单元 例例 2.8 1内力；内力；2单独变形；单独变形；3切线代弧切线代弧 例例 2.9 1刚体；刚体；2切线代弧切线代弧 1 1静力平衡方程静力平衡方程力学力学原有基地原有基地 3、超静定问题的解法、超静定问题的解法 2 2变形协调方程变形协调方程几何几何新开方向新开方向 3 3材料本构方程材料本构方程物理物理构筑桥梁构筑桥梁 4 4方程联立求解方程联立求解代数代数综合把握综合把握 例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四

15、个4040 4040 4 4的等边角钢加固，角的等边角钢加固，角 钢和木材的许用应力分别为钢和木材的许用应力分别为 1 1=160=160M Pa和和 2 2=12=12MPa， 弹性模量分别为弹性模量分别为E1 1=200=200GPa 和和 E2 2 =10 =10GPa；求许可载荷求许可载荷P 04 21 PNNY 21 LL 2 22 22 11 11 1 L AE LN AE LN L (2)(2)变形方程变形方程 (3)(3)本构方程本构方程 解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程 P 1m 250 250 P P y 4N1 N2 4 4 联立求解得联立求解得 PNPN72. 0

16、; 07. 0 21 )21,iAN iii ( 5 5求结构的许可载荷求结构的许可载荷 方法方法1 1 角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得 A A1 12 2 kN ANP 104272. 0/12250 72. 0/72. 0/ 2 2222 kN ANP 4 .70507. 0/1606 .308 07. 0/07. 0/ 1111 P 1m 250 250 P P y 4N1 N2 mm8 . 0/ 111 EL mm2 . 1/ 222 EL 所以在所以在 1=1=2 2 的前提下，角钢将先到达极限状态，的前提下，角钢将先到达极限状态， 即角钢决定最大载荷即角钢决定最大载荷 0

17、7. 0 07. 0 111 AN P kN4 .705 07. 0 6 .308160 另外：假设将钢的面积增大另外：假设将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 假设将木的面积缩小假设将木的面积缩小10倍，又怎样？倍，又怎样？ 结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着 方法方法2 2 2 2变形方程变形方程 解：解：1 1平衡方程平衡方程 2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 NNNY 13 cos)(LL 二、装配应力二、装配应力 1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力 以下图，3号杆的尺寸误差为，求 各杆

18、的装配内力 A BC 1 2 A BC 1 2 D A1 3 A A13 L 2 L 1 L 11 11 33 33 cos)( AE LN AE LN 3 3 本构方程本构方程 4 4联立求解联立求解 / cos21 cos 3311 3 2 11 3 21 AEAE AE L NN / cos21 cos2 3311 3 3 11 3 3 AEAE AE L N A1 N1 N2 N3 1 1、静定问题无温度应力、静定问题无温度应力。 三三 、温度应力、温度应力 以下图，以下图，1 1、2 2号杆的尺寸及材号杆的尺寸及材 A BC 1 2 BC A D 12 3 A1 1 L2 L 3 L

19、 2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。 料都相同，当结构温度由料都相同，当结构温度由T1 1变到变到 T2时时,求各杆的温度内力各杆线求各杆的温度内力各杆线 膨胀系数分别为膨胀系数分别为 i ; ; T= = T2 2 - -T1 1) ) 2 2变形方程变形方程 解：解： 1 1平衡方程平衡方程 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 NNNY cos 31 LL ) 3, 2, 1 ( i LT AE LN L ii ii ii i 3 3本构方程本构方程 P A N1 N3 N2 B CD 12 3 A A1 1 L2 L 3 L B CD 12 3

20、A A1 1 L2 L 3 L 由变形和本构方程消除位移未知量由变形和本构方程消除位移未知量 cos)( 33 33 33 11 11 11 LT AE LN LT AE LN 联立求解得联立求解得 / cos21 )cos( 3311 3 2 3111 21 AEAE TAE NN / cos21 cos)cos(2 3311 3 2 3111 3 AEAE TAE N aa aa N1 N2 例例 阶梯钢杆的上下两端在阶梯钢杆的上下两端在T1 1=5=5时被固时被固 定定, ,上下两段的面积为上下两段的面积为 = = cm2 ， = =cm2， 当温度升至当温度升至T2 2=25=25时时, ,求各杆的温度应力求各杆的温度应力 弹性模量弹性模量E=200=200GPa，线膨胀系数，线膨胀系数 C 110 6 2 2变形方程变形方程 解：解：1 1平衡方程平衡方程 0 21 NNY 0 NT LLL 3 3本构方程本构方程 4 4联立求解得联立求解得 kN 3 .33 21 NN 由变形和本构方程消除位移未知量由变形和本构方程消除位移未知量 2 2 1 1 ; 2 EA aN EA aN LTaL NT 2 2 1 1 2 EA N EA N T 5 5温度应力温度应力 MPa 7 .66 1 1 1 A N