激光原理第二章23

1、太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 第三节第三节 开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念 和衍射理论分析方法和衍射理论分析方法 开腔模的一般物理概念开腔模的一般物理概念 自再现模的衍射理论自再现模的衍射理论 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 问题：问题：在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随 时间变化的稳态场分布时间变化的稳态场分布? ?如何求场分布如何求场分布? ? 稳态场分布的形成稳态场分布的形成: :可可 看成光在两镜面间往看成光在两镜面间往 返传播的结果返传播的结果! ! 方方

2、 法法 一个镜面上的场一个镜面上的场另一个镜面上的场另一个镜面上的场 求解衍射积分方程求解衍射积分方程! ! 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 一、开腔模的一般物理概念一、开腔模的一般物理概念 1 1、理想开腔模型、理想开腔模型 两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。 可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径 由镜的边缘决定！由镜的边缘决定！ 2 2、决定腔模形成的损耗：主要是、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损腔镜边缘的衍射损 耗耗，其他的损耗只使

3、横截面上各点的，其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比场按照相同比 例衰减例衰减！ 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 3 3、稳态场的形成、稳态场的形成模的模的“自再现自再现” 镜镜1 1上的场分布，到达镜上的场分布，到达镜2 2时，由于衍射，要经历一次时，由于衍射，要经历一次 能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边 缘损失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损缘损失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损 耗和场分布变化，多次往返后，从而逐渐形成中间强、耗和场分布变化，多次往返后，从而逐渐形成中

4、间强、 边缘弱的基本不受衍射影响的稳态场分布，该稳态场边缘弱的基本不受衍射影响的稳态场分布，该稳态场 分布一个往返后可分布一个往返后可“自再现自再现”出发时的场分布，唯一出发时的场分布，唯一 变化是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点变化是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点 相位发生同样大小的滞后。相位发生同样大小的滞后。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 (1) (1) 自再现模自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。：往返一次能再现自身的稳态场分布。 (2)(2)模的往返损耗模的往返损耗：自再现模一次往返所经受的能：自再现模一次往返所经受

5、的能 量损耗。量损耗。 (3)(3)往返相移往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等：自再现模往返一次的相位变化，等 于于2 2的整数倍。的整数倍。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 二、自再现物理过程的形象化描述和定性解释二、自再现物理过程的形象化描述和定性解释 孔阑传输线模型：孔阑传输线模型：由一系列同轴的孔径构成，这些孔由一系列同轴的孔径构成，这些孔 径开在平行放置着的无限大完全吸收屏上，相邻两个径开在平行放置着的无限大完全吸收屏上，相邻两个 孔径间的距离等于腔长，孔径大小等于镜的大小。孔径间的距离等于腔长，孔径大小等于镜的大小。 （1 1）当模拟

6、对称开腔时，所有孔径大小和形状都应相同。）当模拟对称开腔时，所有孔径大小和形状都应相同。 （2 2）如果考虑到光的吸收、散射等损耗，则可以在每一个空面）如果考虑到光的吸收、散射等损耗，则可以在每一个空面 上引入一衰减滤光片。上引入一衰减滤光片。 （3 3）如果开腔的反射镜为球面镜，则在每个孔阑应装入相应焦）如果开腔的反射镜为球面镜，则在每个孔阑应装入相应焦 距的透镜称为透镜波导。距的透镜称为透镜波导。 用波在孔阑传输线中的行进，模拟它在开腔中用波在孔阑传输线中的行进，模拟它在开腔中 的往复反射。的往复反射。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 考虑平面开腔

7、的情形考虑平面开腔的情形 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入 射，经过多次射，经过多次孔阑的衍射影响后，二者都变得孔阑的衍射影响后，二者都变得 不再均匀，成为相对场振幅和相对相位分布都不再均匀，成为相对场振幅和相对相位分布都 不受衍射影响的稳态场分布。不受衍射影响的稳态场分布。 1 1、只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的、只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的 场分布，成为场分布，成为自再现模自再现模。 说明：说明： 2 2、衍射起、衍射起“筛子筛子”作用，将腔中允许存在

8、的自作用，将腔中允许存在的自 再现模从各种自发辐射模中筛选出来。再现模从各种自发辐射模中筛选出来。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 3 3、自再现模是自再现模是多次衍射的结果多次衍射的结果，与初始波形在，与初始波形在 一定意义上无关紧要，但不同的初始波形最终形一定意义上无关紧要，但不同的初始波形最终形 成的场分布不同，而成的场分布不同，而自发辐射可提供不同的初始自发辐射可提供不同的初始 波形波形, ,因此决定了自再现模的多样性。因此决定了自再现模的多样性。 4 4、理解激光的空间相干性。、理解激光的空间相干性。 每经过一次衍射，光束横截面上各点的相位关

9、每经过一次衍射，光束横截面上各点的相位关 联度变增加一次，则由于经过足够多次衍射的作联度变增加一次，则由于经过足够多次衍射的作 用后，光束横截面上各点的用后，光束横截面上各点的相位关联相位关联越来越紧密，越来越紧密， 从而使光的从而使光的空间相干性变强空间相干性变强。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 5 5、在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的、在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的 空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随着空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随着 初始入射波能量的衰减，不足以形成激光。初始入射波能量的衰减，不足以形成激光。 在激活腔

10、中，只要某一自再现模能满足阈值条在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值条 件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。自再现件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。自再现 模的形成过程伴随着光的受激放大，其结果是，模的形成过程伴随着光的受激放大，其结果是， 光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强不断光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强不断 增大，最终形成高强度的激光输出。增大，最终形成高强度的激光输出。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 2 2、定量处理开腔模式问题的数学理论：菲涅耳、定量处理开腔模式问题的数学理论：菲涅耳 基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分 功能：

11、如果知道了光波场在其所达到的任意空间功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间 曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场 在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。 1 1、分析衍射的理论基础：惠更斯、分析衍射的理论基础：惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理 三、菲涅耳三、菲涅耳基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分 cos1, 4 ,ds e yxu ik yxu ik S 各子波源发各子波源发 出的球面波出的球面波 倾斜因子倾斜因子 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 cos1, 4 , 1

12、 12 ds e yxu ik yxu ik S yx, , 1 yxu S S1 1 S S2 2 yxu, 2 , yx 经过经过j j次渡越后所生成的场次渡越后所生成的场u uj+1 j+1与产生它的场 与产生它的场u uj j之间之间 也应满足类似的迭代关系：也应满足类似的迭代关系： cos1, 4 , 1 ds e yxu ik yxu ik S jj 3、将积分公式应用到开腔的两个镜面上的场、将积分公式应用到开腔的两个镜面上的场 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 四、对称开腔中自再现模应满足的积分方程式四、对称开腔中自再现模应满足的积分方程式

13、 按照自再现理论，当渡越次数按照自再现理论，当渡越次数j j 足够大时，除了一足够大时，除了一 个表示振幅衰减和相位移动的复常数因子个表示振幅衰减和相位移动的复常数因子 以外，以外， u uj j+1 +1应该再现 应该再现 u uj j，则：，则： , 1 , 1 121 jjjj uuuu 代入迭代关系得代入迭代关系得 , cos1, 4 , , cos1, 4 , 11 ds e yxu ik yxu ds e yxu ik yxu ik S jj ik S jj 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 则不受衍射影响的稳态场分布函数则不受衍射影响的稳态

14、场分布函数v ( (x, y) )为：为： 其中的积分核为：其中的积分核为： , , ,dsyxvyxyxKyxv S cos1 4 , , ik eik yxyxK 开腔自再现模应满足的积分方程式开腔自再现模应满足的积分方程式 满足上述方程的任意一个分布函数满足上述方程的任意一个分布函数v(x,y)就描述腔的就描述腔的 一个自再现模或横模。一般一个自再现模或横模。一般v(x,y)应为复函数，它的应为复函数，它的 模描述镜面上场的振幅分布，而其辐角描述镜面上场模描述镜面上场的振幅分布，而其辐角描述镜面上场 的相位分布的相位分布. . 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与

15、光电工程学院 则初步简化后的则初步简化后的自再现模方程自再现模方程为：为： , , ,dsyxvyxyxKyxv S ik e L i yxyxK , , 当腔长当腔长L和镜线度和镜线度a满足：满足：L a，或曲面反射，或曲面反射 镜的曲率半径镜的曲率半径R和镜线度和镜线度a满足：满足：R a时，有：时，有： 1cos2 L 开腔模的问题，归结为求解积分方程的数学问题。开腔模的问题，归结为求解积分方程的数学问题。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 五、复常数五、复常数 的物理意义的物理意义 i e i jjj eueuu 1 1 e - ：单程渡越的振幅

16、衰减！：单程渡越的振幅衰减！ 越大，则衰越大，则衰 减愈厉害，若减愈厉害，若 0 0 ，则模无损耗传播。，则模无损耗传播。 表示每经单程渡越后模的相位滞后，表示每经单程渡越后模的相位滞后， 愈大，愈大， 相位滞后愈多。相位滞后愈多。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 (1) (1) 对称开腔中模的单程损耗对称开腔中模的单程损耗d d：自再现模单程：自再现模单程 渡越后的相对功率损耗。渡越后的相对功率损耗。 2 2 1 2 j jj d u uu 2 2 1 1 j j u u 2 1 1 2 1 e (2) (2) 对称开腔中模的单程总相移对称开腔中模的

17、单程总相移 jj uuargarg 1 1 arg 若满足：若满足： 1 arg q 一般的谐振条件一般的谐振条件 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 注意：若对非对称开腔，则应按照往返一次进行注意：若对非对称开腔，则应按照往返一次进行 讨论！讨论！ 结论：结论： 的模反映单程或往返一次的相对功率损的模反映单程或往返一次的相对功率损 耗，辐角反映单程或往返一次的总相移，耗，辐角反映单程或往返一次的总相移， 从而决定谐振频率。从而决定谐振频率。 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 六、分离变量法六、分离变量法 1 1、求

18、解自再现模方程的思路、求解自再现模方程的思路 由开腔的具体结构，给出方程的具体形式并做由开腔的具体结构，给出方程的具体形式并做 简化简化 具体做法：由对称性引入适当坐标系具体做法：由对称性引入适当坐标系 由由 、a a、L L的数量级关系的数量级关系 ，将积分核，将积分核 , ,yxyxK做泰勒展开做泰勒展开 舍去展开式中无关紧要的高阶小量，从而将方舍去展开式中无关紧要的高阶小量，从而将方 程程简化简化 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 (2) (2) 进行变量分离，将化简后的积分方程化为进行变量分离，将化简后的积分方程化为 两个单元函数的积分方程。两个

19、单元函数的积分方程。 2 2、可行性分析、可行性分析 计算表明，对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面计算表明，对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面 或抛物面腔和一般球面镜腔等几种常见的几何或抛物面腔和一般球面镜腔等几种常见的几何 结构，以上的简化和变量分离是可能的！结构，以上的简化和变量分离是可能的！ 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 3 3、方程简化和分离变量的事例分析、方程简化和分离变量的事例分析 (1) (1) 对称矩形平面镜腔对称矩形平面镜腔 ( 2a( 2a2b )2b ) baL, 数量关系：数量关系： 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程

20、学院物理与光电工程学院 2 22 Lyyxx 4422 8 1 8 1 2 1 2 1 1 L yy L xx L yy L xx L 若满足：若满足： 2 2 2 2 , b L L b a L L a 可做菲涅耳近似：可做菲涅耳近似： L yy L xx Lik ik ee 2 2 22 L yy L xx ik ikL ee 2 2 22 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 则模方程变为：则模方程变为： a a L yy L xx ik b b ikL dydxeyxve L i yxv, , 2 2 22 分离变量，令：分离变量，令： yvxvyx

21、v, yx 则积分核为：则积分核为： L xx ik ikL x ee L i xxK 2 2 , L yy ik ikL y ee L i yyK 2 2 , 太太 原原 理理 工工 大大 学学 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 模方程变为两形式完全一样的方程，求一个即可：模方程变为两形式完全一样的方程，求一个即可： a a xx dxxvxxKxv, b b yy dyyvyyKyv, 方程的解有多个，其中第方程的解有多个，其中第m和第和第n个分别为个分别为vm( (x x) )和和 vn n( (y y) )， m m和和 n n为相应的复常数，则：为相应的复常数，则： a a mx

22、mm dxxvxxKxv, b b nynn dyyvyyKyv, 积分本征值方程积分本征值方程 镜面上的场分布为：镜面上的场分布为： yvxvyxv nmmn , 相应的复常数相应的复常数为：为： nmmn 本征值方程成立的条本征值方程成立的条 件件： m m 和 和 n n 取一系列 取一系列 特定值特定值本征值本征值。 对应本征值对应本征值 m m 和 和 n n ，且满足 且满足 该方程的场分布函数该方程的场分布函数vm(x)和和 vn(y)为为本征函数本征函数。 本征函数：决定本征函数：决定镜面上镜面上的的场分布场分布，包括，包括场的场的振幅振幅和和相相 位分布位分布。 本征值：决定自本征值：决定自再现模的传输特性再现模的传输特性，包括，包括模的衰减、模的衰减、 相移、谐振频相移、谐振频率率等。等。 镜面上场的镜面上场的振振 幅分布幅分布。 镜面上场的镜面上场的位位 相相分布分布。 yxi mnmn mn eyxAyxv , , 求解衍射积分本征值方程的目的意义：求出求解衍射积分本征值方