追及和相遇问题[青苗教育]

1、追及和相遇问题追及和相遇问题 1中小学 追及相遇问题解题指导：解题关键条件追及物体与被追 及物体速度相等 （1）类型及追及的条件 初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速（或初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速（或 匀减速）直线运动的物体时，追上之前两者距离最大的匀减速）直线运动的物体时，追上之前两者距离最大的 条件为：追及者的速度等于被追及者的速度条件为：追及者的速度等于被追及者的速度 2中小学 情境设置情境设置 例题例题1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起 时汽车以时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自的加速度开始行驶，恰在

2、这时一辆自 行车以行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析思考分析】 1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 分析：汽车追上自行车之前，分析：汽车追上自行车之前， v汽 汽v自自时 时 x变小变小 结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向 匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：匀速物体时，追上前具有最大距离的条件： 两者速度相等两者速度相等 3中小学 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当

3、绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析思考分析】 1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解法一解法一 物理分析法物理分析法 两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系速度关系） v汽 汽=at=v自自 t= v自 自/a=6/3=2s x= v自 自t

4、 at2/2=6 2 3 22 /2=6m 4中小学 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析思考分析】 1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解法二解法二 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远 x=

5、x1x2=v自 自t at2/2 （位移关系位移关系） x=6t 3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知 t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 5中小学 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车 以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 【思考分析思考分析】 1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多汽车从路口开动后，在追上自行车之

6、前经过多 长时间两车相距最远？此时距离是多少？长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解法三解法三 用图象求解用图象求解 v/（ms-1） 12 6 0 t/s 42 V汽 汽 V自 自 t=v自 自/a= 6 / 3=2 s mtt662 2 1 26v 2 1 vs 自自 在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时刻两车速度相等 时，自行车的位移（矩形面积）与汽时，自行车的位移（矩形面积）与汽 车位移（三角形面积）之差（即斜线车位移（三角形面积）之差（即斜线 部分）达最大，所以部分）达最大，所以 6中小学 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮

7、起时汽车 以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 v/（ms-1） v 6 0 t/s tt V汽 汽 V自 自 2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度 是多少？是多少？ 方法方法2：由图可看出，在：由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自 自线与 线与v汽 汽线组 线组 成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车 的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，的位移相等（即相遇

8、）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自 自=12 m/s 解：解：方法方法1：汽车追上自行车时，汽车追上自行车时， 二车位移相等（位移关系）二车位移相等（位移关系） 则则 vt=at2/2 6t= at2/2， t=4 s v= at= 34=12 m/s 7中小学 匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体，追赶匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体，追赶 时两者距离最小（包括追及）的条件为：追赶者的速度等时两者距离最小（包括追及）的条件为：追赶者的速度等 于被追赶者的速度于被追赶者的速度 例例2、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相的加速度

9、前进，车后相 距距x0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，的速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 情境设置情境设置 8中小学 例例2、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相的加速度前进，车后相 距距x0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，的速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t, 当人追上车时，

10、两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为： x车 车+x0= x人人 即：即： at22 + x0= v人 人t 由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0 =b24ac=1224501=560 所以，人追不上车。所以，人追不上车。 X0=25m v=6m/s a=1m/s2 9中小学 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度， 因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的 速度

11、时，人车间的距离逐渐增大。因此，速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人当人 车速度相等时，两者间距离最小。车速度相等时，两者间距离最小。 at= v人 人 t=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为： x人 人=v人人t=6 6=36m x车 车=at2/2=1 62/2=18m x=x0+x车 车 x人 人=25+18 36=7m 10中小学 结论：速度大者减速追赶速度小者结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两追上前在两 个物体速度相等时个物体速度相等时,有最小距离有最小距离.即必须在此之前即必须在此之前 追上追上,否则就不能追上否则就不能追上. 11

12、中小学 解析：作汽车与人的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所 示因v-t图象不能看出物体运动的初位置，故在图乙中标上两 物体的前、后由图乙可知：在06 s时间内后面的人速度大， 运动得快；前面的汽车运动得慢即06 s内两者间距越来越 近因而速度相等时两者的位置关系，是判断人能否追上汽车 的条件 图甲 图乙 x 要追上要追上xx0 12中小学 由vat，得tv/a6 s 故人能否追上汽车取决于t6 s时人与车分别运动的位移之差是 否大于或等于二者开始运动时的最大距离 因为x=vt-1/2at218 m，看出x180m 匀减速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的匀减速直线运动的物体

13、追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的 物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时，物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时， 追及者速度等于被追及者速度追及者速度等于被追及者速度.当追及者速度大于被追及者速度，当追及者速度大于被追及者速度， 能追上，反之追不上能追上，反之追不上 v汽 汽= 20m/sV货 货= 6m/s 180m 追上处追上处 a= -0.5m/s2 15中小学 题型训练题型训练 为检测汽车的制动性能：以标准速度 20 m/s 在平直公 路上行驶时，制动后40 s可停下来.现在平直公路上以20 m/s 的速度行使，发现前方180 m处有一货车以6 m/

14、s的速度同向 匀速行使，司机立即制动，会不会发生撞车事故？ 解析： 这是典型的追及问题，关键是要弄清不相撞的条件汽 车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判 断两车会否相撞的依据当两车同速时，两车位移差大于初始时 刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞. 先计算车的加速度a= = -0.5 m/s2, 在追及的过程，车减速至 v=6 m/s 的时间 t vv t0 ss a vv t28 5 .0 206 0 16中小学 在这段时间内，s A=v0t at2=364 m， s= vt168 m sA- s=196 m180 m，所以两车相撞. 另外，本题也可以用不等式求解

15、：设在t 时刻两物体相遇，则 有：v0t at2=180+ vBt 即:20t- 0.5t2=180+6t 整理得： t2 - 56t + 720 =0 因为= 562-4720=2560，所以两车相撞. 答案：会发生撞车事故 2 1 2 1 2 1 17中小学 追及问题中的临界条件追及问题中的临界条件: : 速度小者追速度大者速度小者追速度大者, ,追上前两个物体速追上前两个物体速 度相等时度相等时, ,有最大距离有最大距离; ; 速度大者减速追赶速度小者速度大者减速追赶速度小者, ,追上前在两追上前在两 个物体速度相等时个物体速度相等时, ,有最小距离有最小距离. .即必须在此即必须在此

16、之前追上之前追上, ,否则就不能追上否则就不能追上. . 18中小学 小结：追及和相遇问题的分析方法小结：追及和相遇问题的分析方法 分析两物体运动过程，画运动示意图分析两物体运动过程，画运动示意图 由示意图找两物体位移关系由示意图找两物体位移关系 据物体运动性质列据物体运动性质列(含有时间的含有时间的) 位移方程位移方程 19中小学 分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意： 1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系 （1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件时满足的临界条件 ，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上 等。等。 （2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系 时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时间关系指两物体是同时运动还是一前一后 位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画