时域信号-复频域

1、第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域连续时间信号和系统的复频域 表示与分析表示与分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数与复频域分析法系统函数与复频域分析法 4.6 连续时间系统的模拟及信号流图连续时间系统的模拟及信号流图 4.7 LTI连续系统的稳定性连续系统的稳定性 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系

2、统的复频域表示与分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为 dtejFtf dtetfjF tj tj )( 2 1 )( )()( 0 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收 敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-t， 使得f(t)e- t是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-t 式中, e-t为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝

3、对可 积条件。 则 )()()()( )( 00 1 jFdtetfdteetfjF tjtjat (4.1-1) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 令+j=s， 式（4.1-1）可表示为 dtetfsF st )()( 0 (4.1-2) F1()的傅氏反变换为 dejFetftf tjt )( 2 1 )()( 11 (4.1-3) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式（4.1-3）两边同乘et， et不是的函数， 可放 入积分号里， 由此得到 dejFdejFtf tjtj)()( 1

4、 )( 2 1 )( 2 1 )( (4.1-4) 已知s=+j， ds=d(+j)， 为常量， ds=j d， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作 dssF j tf j j )( 2 1 )( (4.1-5) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 因为e-t的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0时为零的 因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一 起， 单边拉氏变换定义为 dsesF j tf dtetfsF st j

5、j st )( 2 1 )( )()( 0 (4.1-6) 式中称s=+j为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图 4.1-1 复平面 0 j 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 象函数与原函数的关系还可以表示为 )()( )()( )()( 1 tftfL sFtfL sFtf (4.1-7) s=+j可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， 是实轴， j是虚轴， 如图4.1-1所示。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号

6、和系统的复频域表示与分析 由以上分析， 并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关 系式， 以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本 信号元为est。 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比 傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函 数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区是使f(t)e-t满足可积的取值范围， 或是使 f(t)的单边拉氏变换存在的取值范围。 由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-t的作用， 使得 f(t)e

7、-t在一定条件下收敛， 即有 )(0)(lim 0 st t etf (4.1-8) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式中, 0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿 过0并与虚轴j平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的 右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦0确定， f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。 满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函 数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐 标0确定。 0的取值与f(t)有关， 具体数值由式(4.1-8) 计算。 第第4

8、章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， 00）的0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.1- 2(a)所示； f(t)是随时间不变的， 0=0， 例如u(t)、 sin0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t) 是随时间增长的， 00， 例如eatu(t)（a0）的0=a， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图 4.1-2 收敛区示意图 收 敛 区 a

9、 j 0 a 0 0 收 敛 区 j 0 0 a 收 敛 区 j 0 (a)(b)(c) 0a 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 当00时收敛区不包含虚轴j， 函数的傅氏变 换不存在； 当0=0时， 收敛区虽不包含虚轴j， 但函 数的傅氏变换存在， 不过有冲激项。 因为指数阶函 数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收 敛区。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1.3 常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数， 掌 握单边拉氏变换的基本方法。 1. 单位阶跃函数u(

10、t) s e s dtesFtu stst 1 0 1 1)()( 0 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数） as e as dtedteesFtue tas tasstatat 1 | 1 )()( 0 )( )( 00 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3. t的正幂函数 )()( )( | 1 )()( )()( 1 11 0 1 0 0 0 tutL s n tutL tutL s n dtet s n dtet s n et s dt

11、etsFtut tuttf nn nstn stnstnstnn n 即 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 依此类推， 1 21 ! 1121 )( 121 )( 1 )()( n nn nnn s n ssss n s n tutL sss n s n tutL s n s n tutL s n tutL 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别地， 4 3 3 2 2 6 )(3 2 )(2 1 )(1 s tutn s tutn s ttun 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与

12、分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 . 冲激函数 0)()()( 1)()()( 0 0 dtetsFt dtetsFt st st )(t 通常的拉氏变换的下限都采用 P130表5-1 )(t 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理拉普拉斯变换的性质与定理 1. 线性 若f1(t) F1(s)， f2(t) F2(s)， 则 k1f1(t)+k2f2(t) k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数 (4.2-1) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与

13、分析 证 )()( )()( )()()()( 2211 22 0 11 0 2211 0 2211 sFksFk dtetfkdtetfk dtetfktfktfktfk stst st 线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如 22 ) 11 ( 2 1 )()( 2 1 )(cos s s jsjs tueettu tjtj 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2. 时延（移位、 延时）特性 若f(t)u(t) F(s)， 则 f(t-t0)u(t-t0) (4.2-2) 0 )( st esF 证 dtettfdtettutt

14、f stst )()()( 0 0 00 0 令t-t0=x， t=x+t0， 代入上式得 000 )()()( 0 )( 0 stsxsttxs esFdxexfedxexf 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3. 频率平移（s域） 若f(t) F(s), 则 (4.2-4) )()( 0 0 ssFetf ts )()()( 0 )( 00 00 ssFdtetfdteetf tssjstts 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4. 尺度变换 若f(t) F(s), 则 dteatfat

15、fL asF a atf st )()( )/( 1 )( 0 其中a0 (4.2-5) 证 令 ， 代入上式得 dx a dt a x txat 1 , a s F a dxexf a atfL x a s 1 )( 1 )( 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 5. 时域微分 若f(t) F(s)， 则 _)0()( )( fssF dt tdf (4.2-6) 式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。 可以将式(4.2-6)推广到高阶导数 _)0()( _)0(_)0(_)0()( )( )(1 1 0 121 rrn n r n

16、nnnn n n fssFs ffsfssFs dt tfd (4.2-7) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及 时的值。 _0 | )( t r r dt tfd 证 _)0()()(| )( )( )()( _0 _0 _0_0 fssFdtetfstfe tdfedte dt tdf dt tdf L stst stst 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 同理, 令 ， 则)( )( 1 tf dt tdf _)0(_)

17、0()( _)0(_)0()(_)0()( )()()( 11 2 111 1 _0 2 2 _0 2 2 ffsFs ffssFsfssF dte dt tdf dte dt tfd dt tfd L stst 依此类推， 可以得到高阶导数的 L 变换 _)0()( )( )(1 1 0 rrn n r n n n fssFs dt tfd 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别地， 当f(t)为有始函数， 即t0， f(t)=0时， 我们有 f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0 则式(4.2-6) 、 (4.2-7)可分别化简

18、为 )( )( )( )( sFs dt tfd L ssF dt tdf L n n n (4.2-8a) (4.2-8b) 式中, s为微分因子。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 6. 复频域微分 若L f(t)=F(s)， 则 ds sdF ttf )( )( (4.2-14) 证 )()()( )( )( 00 0 tfLdtettfdte ds d tf dtetf ds d ds sdF stst st (变换运算次序) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 可以推广至复频域的高阶

19、导数 n n nn ds sFd tft )( ) 1()( 利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数 43 3 33 2 2 11 )( 11 )( 11 )( 1 )( ssds d tut ssds d tut ssds d ttu s tu 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 7. 时域积分 若f(t)u(t) F(s)， 则 s sF s f s sF s df tutftudf t )(_)0()( )( )()()()( )1( _0 )1( (4.2-9) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域

20、表示与分析 式中, f(-1)(t)表示积分运算， _)0()( )1( _0 fdf 证 s sF tututftudf s f tuftudf tudftudftudf t t t )( )()()()()( _)0( )(_)0()()( )()()()()()( _0 )1( )1( _0 _0 _0_0 利用任意函数与阶跃卷积 其中 (4.2-10) (4.2-11) (4.2-12) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 s sF s f dfdfdf tt )(_)0( )()()( )1(

21、_0 _0 特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 ， 式(4.2-9)为 0)0()( )1( 0 fdf s sF df )( )( 0 (4.2-13) 式中, 1/s为积分因子。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 8. 时域卷积定理 若f1(t) F1(s), f2(t) F2(s)， 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) (4.2-18) 证 因为f1(t)、 f2(t)为有始函数， 所以 dtedtutff dtedtutfuftftfL st st )()()( )()()()()()( 21 0 21 0 21 第

22、第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 交换积分次序 ddtetutfftftfL st )()()()()( 2 0 1 0 21 利用延时特性 )()( )()( )()( )()( 12 1 0 2 21 0 21 sFsF defsF desFf tftfL st st 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 9. 初值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f（t)存在， 则 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff tt (4.2-16) 初值定理只适用f(t)在原点处没有

23、冲激的函数。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 证 由时域微分性质我们有 dtetfff dtetfdtetf s etf dte dt tdf tdfedte dt tdf fssF st ststst ststst )(_)0()0( )()( 1 |)( )( )( )( _)0()( 0 0 _0 0 _0 0 _0 0 0 _0_0 比较等式左、 右两边得 dtetffssF st )()0()( 0 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 )0(lim)()0( )(lim)0()(l

24、im 0 0 fdtetff dtetffsF st s st ss (交换积分与取极限次序) 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 10. 终值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f(t)存在, 则f(t)的终值 )(lim)(lim)( 0 ssFtff st (4.2-17) 终值适用的条件是sF(s)的所有极点在s平面的左 半面(F(s)可有在原点处的单极点)。 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 证 利用上面的结果 dtetffssF st )()0()( 0 令s0

25、, 两边取极限得 )()0()()0( | )()0( )(lim)0( )(lim)0()(lim 0 00 000 ffff tff tfdtef dtetffssF st s st ss 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原 函数f(t)的运算。 式(4.1-6)给出为 dtesF j sFLtf st j j )( 2 1 )()( 1 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 部分分式展开法部分分式展开法 设 含真分式 )( )( )( sD sN sF 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1.(s)=0的根是互异实根 D(