1.1-测度与可测函数

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页 第一章第一章 实变函数初步实变函数初步 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页 第一节第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数直线上点集的勒贝格测度与可测函数 勒贝格测度与勒贝格可测集勒贝格测度与勒贝格可测集 可测函数可测函数 测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广 可测函数列的极限问题可测函数列的极限问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页 一、点集的勒贝格测度与可测集一、点集的勒贝格测度与可测集 1. 几个特殊点集的测度几个特殊点集的测度 设设E为直线为直线R上的有限区间上的有限区间a,b

2、(或或(a,b)或或a,b)或或(a,b), 则其测度定义为：则其测度定义为： m(E)=m(a,b)=b-a. (2) 设设E为平面上有界闭区域为平面上有界闭区域D, 则其测度定义为则其测度定义为: m(E)=SD (4) 若若E = ，则定义，则定义m(E)=m( )= 0 (3) 设设E为空间上有界闭区域为空间上有界闭区域 , 则其测度定义为则其测度定义为:m(E)=V (6) 若若E为一随机事件，则为一随机事件，则定义定义m(E)=P(E) (古典概率）古典概率） (5) 若若E=x是单点集是单点集，则定义，则定义m(E)=0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页 2. .直线上

3、非空直线上非空有界开集有界开集与与有界闭集有界闭集的测度的测度 定义定义1 设设E R非空点集，非空点集，a R. (1) 设设 0, 称开区间称开区间(a , a + )=O(a, )为为a 的的 邻域邻域。 直线上包含直线上包含a的任一开区间的任一开区间( , )均可称为点均可称为点a的的邻域邻域 (2) 设设a E, 若存在若存在a的一个邻域的一个邻域(, ),使得使得( , ) E，则称，则称a是是E的的内点内点； 定义定义2 设设E R非空点集非空点集. 如果如果E中的所有点都是内点，则称中的所有点都是内点，则称E是是开集开集； 定义定义3 设设G是直线是直线R上的一个有界开集。如果

4、开区间上的一个有界开集。如果开区间( , ) 满足条件满足条件: 1) ( , ) G 2) G, G 则称则称( , )为开集为开集G 的一个的一个构成区间构成区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页 定义定义4 设设G为直线为直线R上的有界开集上的有界开集(即即 (a,b) G), (ai,bi)(i I)为为G的构成区间，的构成区间， 则定义则定义 m(G)= (biai) (0m(G)0, x0 则称则称 为为A的的上确界上确界, 记作：记作： Asup （2）如果存在一个实数）如果存在一个实数 ，满足：，满足： 1） x A ，有，有x ； （2） 0, x0 + , 则称则

5、称 为为A的的下确界下确界, 记作：记作： Ainf 如果如果a为数集为数集A的上（下）确界，则存在数列的上（下）确界，则存在数列xn A, 使得使得 axn n lim 定理定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。 3.直线上直线上一般有界点集一般有界点集的勒贝格（的勒贝格（Lebesgue)测度测度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页 3.直线上直线上一般有界点集一般有界点集的勒贝格（的勒贝格（Lebesgue)测度测度 定义定义7 设设E R为任一有界集为任一有界集. 称一切包含称一切包含E的有界开集的测度

6、的下确界为的有界开集的测度的下确界为E的的L外测度外测度，记为，记为m*(E), 即即 m*(E)=inf m(G)| G为有界开集为有界开集, E G (2) 称一切包含于称一切包含于E的有界集的测度的上确界为的有界集的测度的上确界为E的的L内测度内测度，记为，记为m (E), 即即 m (E)= supm(F)| F为有界闭集为有界闭集, F E (3) 如果如果m (E)=m (E), 则称则称E的内测度与外测度的共同值为的内测度与外测度的共同值为E的的L测度测度，记为，记为 m(E), 即即 这时这时, 也称也称E是是勒贝格可测集勒贝格可测集(简称简称L可测集可测集) m(E)=m*(

7、E)=m (E) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页 注注:1)对于有界开集对于有界开集G, 有有m(G)=m*(G) 2)对于有界闭集对于有界闭集F, 有有m(F)=m (F) 3)对于任一非空有界集对于任一非空有界集E, 有有m (E) m*(E) (根据定义根据定义) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页 定理定理3 设设X=(a,b)是基本集是基本集(有界有界), E, Ei X (i=1,2,)均为有界可测集均为有界可测集, 则有则有 EC=X-E、E1 E2、E1 E2、E1-E2、 Ei、 Ei均可测，且均可测，且 1) m(E) 0, 且且E= 时时, m(E)=

8、0 (非负性非负性) 3) m(E1 E2) m(E1)+m(E2) (次可加性次可加性) 若若E1 E2, 则则 m(E1) m(E2) (单调性单调性) m(E2E1)=m(E2)-m(E1) 4.测集的性质测集的性质 4) 若若E1 E2= , 则则m(E1 E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性有限可加性) 5) 若若Ei Ej= (i j, i,j=1,2,), 则则m( Ei)= m(Ei)(可列可加性可列可加性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页 1) 若若E1 E2 Ek , 则则E= Ek可测可测, m(E)=lim m(Ek) 定理定理4 设设X=(a,b

9、)是基本集是基本集, Ek是是X上的可测集列。上的可测集列。 2) 若若E1 E2 Ek , 则则E= Ek可测可测, m(E)=lim m(Ek) 定理定理5 设设E R有界有界, 则则E 可测可测存在开集存在开集G和闭集和闭集F,使使 F E G, 且且m(G-F)0, 开集开集G和闭集和闭集F,使使F E G, 且且m(G-F)0, 开集开集G E 和闭集和闭集F E,使使 )()()(FmGmFGm )()()(FGmFmGm m(F) m (E) m (E) m(G) m (E)-m (E)m(G)-m(F)0, 有界集有界集(-x, x) E可测可测, 则称则称E 是可测的是可测的

10、. 并记并记 ),(lim)(ExxmEm x 注注:1)无界点集的测度可能是有限值无界点集的测度可能是有限值, 也可能是无穷大也可能是无穷大. 例如例如, 有理数集有理数集Q是无界的零测集是无界的零测集, E=(0,+ )是测度为是测度为+ 的可测集的可测集. 2)对于无界集对于无界集, 上述定理上述定理3的结论也成立的结论也成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页 2）L可测集类与波赖尔可测集类与波赖尔(Borel)集集 定义定义5 (1) R中所有中所有L可测集构成的集合称为可测集构成的集合称为L可测集类可测集类. (2) 对对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所

11、得到中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到 的集合称为的集合称为波赖尔波赖尔(Borel)集集. 所有所有波赖尔波赖尔(Borel)集都是集都是L可测集可测集. 注：注：大多数集合都是大多数集合都是L可测集，但可测集，但L不可测集确实存在不可测集确实存在. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页 二、点集上的勒贝格可测函数二、点集上的勒贝格可测函数 1.可测函数的定义可测函数的定义 定义定义6 设设E R为任一可测集（有界或无为任一可测集（有界或无 界）界）, f(x)为定义在为定义在E上的实值函数上的实值函数.若若 R, E的子集的子集 E(f )=x|f(x) , x E

12、 都是都是L有限可测集有限可测集, 则称则称f (x)是是E上的上的L 可测函数可测函数 E(f )=x1,x2 x3,b E(f )=x4,x5 xo f (x) a b x1x2x3 x4x5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页 2. 函数可测的充分必要条件函数可测的充分必要条件 定理定理4 f(x)在可测集在可测集E上的可测函数，即上的可测函数，即E(f )可测可测 , R, E(f )=x|f(x) , x E可测可测 R, E(f= )=x|f(x)= , x E可测可测 R, E(f )=x|f(x) )=x|f(x) , x E可测可测 证证: (1) E(f )=E(

13、f)-E(f)可测可测 E(f)= E(f ) (4) E(f )= f )= E(f+1/n), E(f)= E(f 1/n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页 例例5 定义在定义在R上连续函数都是上连续函数都是L可测函数可测函数. f(x)连续连续x0 E(f ) R, f(x)f(x0) (xx0) O(x0, ), 使使 x O(x0, ), 有有f(x) ，即，即x E(f ) (极限保号性）极限保号性） 证：证： x0 E(f )f(x0) (只要证明只要证明R, 集集E(f )是开集是开集, 则它一定是可测集则它一定是可测集) f(x)是可测函数是可测函数 O(x0,

14、 ) E(f )x0 是是E(f )的内点，的内点， E(f )是开集是开集 E(f )是可测集是可测集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页 例例6 区间区间0,1上的狄里克来函数上的狄里克来函数D(x)是是L可测函数可测函数. 证证:D(x)= 1, x为为0,1中的有理数中的有理数 0, x为为0,1中的无理数中的无理数 当当 1时时, E(D )= 是可测集是可测集, 当当0时时, E(D )=0,1是可测集是可测集. 因此因此, D(x)是是L可测函数可测函数 当当0 )=x| x为为0,1中的有理数中的有理数是可测集是可测集, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页

15、例例7 定义在零测集定义在零测集E上的任何函数上的任何函数f(x)都是都是L可测函数可测函数. 证证: R, E(f )=x|f(x) , x E E f(x)是可测函数是可测函数 m(E(f )=0 m(E(f ) m(E)=0 E(f )也是零测集也是零测集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页 例例8 集集E的特征的特征函数函数 E(x)是是R上的可测函数上的可测函数. 证证: E(x)= 1, x E 0, x E 定理定理6 f(x)、g(x)是是E上的上的可测函数可测函数 kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x) 0)、 及及f(x)都都

16、E上的可测函数上的可测函数 当当 1时时, E( E)= 是可测集是可测集, 当当0时时, E( E)=R是可测集是可测集 当当00, x E, N=N( ), 当当nN时时, 有有 fn(x)-f(x) 0, x E, N=N(x, ),当当nN时时, 有有 fn(x)-f(x) N时时, 曲曲 线列线列fn(x)的图形都在曲线的图形都在曲线 f(x)的的 带形邻域内带形邻域内. f(x) fn(x) o x y ab fn(x) f(x) (n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页 fn(x)=xn o x y x11 x2 n=1 n=2 n=10 n=20 x (0,1)时时

17、, fn(x)=xn0 (n) fn(x)=xn 0 (n) x Nnxn ln ln 0 N既与既与 有关有关,又与又与x有关有关,要使曲线要使曲线fn(x)=xn上的对应点落到极限函数上的对应点落到极限函数f(x)=0 的的 带形邻域内带形邻域内,在在x1处处,只要只要 n 2即可即可,而在而在x2处处,则要则要n 10才行才行 3) fn(x)一致收敛于一致收敛于f(x)fn(x)一处处敛于一处处敛于f(x), 反之不然。例如反之不然。例如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页 在点集在点集E上上, 函数列函数列fn(x)一致收敛于一致收敛于f(x) 例例 证明函数列证明函数列在

18、在E=0.1上一致收敛于上一致收敛于0.,.2 , 1, 1 )( 22 n xn x xfn 证证: 2 1 2 1 21 0)(0 22 Nn nnx x xn x xfn 定理定理6 (柯西定理柯西定理) x E, fn(x)是基本列是基本列 。 0, x E, N=N( ), 当当m, nN时时, 有有 fm(x)-fn(x) 0, lim m(Ex fn(x)-f(x)=0 fn(x)在集在集E上上依测度收敛依测度收敛于于f(x) 0, 0, N, 当当nN时时, 有有m(E( fn(x)-f(x)0, 可测可测 子集子集E E, 使使m(E-E ) , 且且fn(x)在在E 上一致收