工程制图(换面法)

1、2021/3/111 第四章第四章 换面法换面法 2021/3/112 第一节第一节 概述概述 XO a b b a 实长 特殊位置的直线：特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题可直接反映实长、倾角问题 XO a(b) a b 实长 2021/3/113 XO ba a c 实形 b c XO b a a c 类似形 b c 特殊位置的平面：特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题可直接反映实形、倾角问题 正平面正平面正垂面正垂面 2021/3/114 特殊位置的几何元素：特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题可直接反映度量、定位问题 e e f f e e f f a(b)a(

2、b) b b a a d d c(d)c(d) c c 距离距离 m m c c a a b b a a b b c c m m z z z z 点到直线的距离点到直线的距离 2021/3/115 一、基本概念一、基本概念 改变空间几何元素与投影面的相对改变空间几何元素与投影面的相对 位置，使它们相互之间处于某一特殊位置位置，使它们相互之间处于某一特殊位置 的情况，从而使问题简化、得到解决的情况，从而使问题简化、得到解决 投影变换。投影变换。 二、投影变换的方法二、投影变换的方法 辅助投影面法（换面法）辅助投影面法（换面法） 2. 2. 旋转法旋转法 2021/3/116 2021/3/117

3、 第二节第二节 变换投影面变换投影面 X V H A A B B b a b C C a c 一、一、 概念：概念： 换面法：换面法：空间几何元素不动，改空间几何元素不动，改 变投影面的位置使其有利于解题。变投影面的位置使其有利于解题。 实形 V c1 b1 a1 V H X O a b c b a(c) b c a V1 O1 X1 2021/3/118 X V H A A B B b a b C C a c 实形 V c1 b1 a1 建立新投影面的条件：建立新投影面的条件： （1 1）新投影面要）新投影面要原原 来一个投影面。来一个投影面。 （2 2）新投影面要处于）新投影面要处于 最有

4、利解题位置。最有利解题位置。 二、基本条件二、基本条件 讲解：讲解：点点 线线 面面 2021/3/119 a1 H V1 X1 O1 ax1 V V1 1 三、基本原理三、基本原理 1. 1. 点的点的一次变换一次变换： 变换规律：变换规律： 1). 1). 点的新投影到新轴之距点的新投影到新轴之距= =旧投影到原轴之距；旧投影到原轴之距； 2). 2). 点的新投影与被保留投影的连线点的新投影与被保留投影的连线新轴新轴O O1 1X X1 1。 a a A ax ax1 O1 X1 V O X H a XO V H a ax a1 V V H HH H V V1 1 2021/3/1110

5、 2021/3/1111 2021/3/1112 V H X H1 X1 点在点在V V/ /H1H1体系中的投影体系中的投影 X1 H1 V a1 X V H a a a1 a A a 2021/3/1113 X X V V H H a a a a a ax x 更换更换H H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 V V H H X X P P1 1 H H X X1 1 由点的不变投影向新投影轴作由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线，并在垂，并在垂 线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投 影到原投影轴的距离。影到原投影轴的距离。 a a a

6、 a X X1 1 P P1 1 H H a a1 1 a ax x a ax1 x1 a ax1 x1 更换更换V V面面 a a1 1 作图规律：作图规律： . . . . 2021/3/1114 点的两次变换点的两次变换 先把先把V V面换成平面面换成平面V V1 1， V V1 1 H H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系: : V V1 1 H H X X1 1 再把再把H H面换成平面面换成平面H H2 2， H H2 2 V V1 1，得到新投影体系，得到新投影体系: : X X2 2 V V1 1 H H2 2 新投影体系的建立新投影体系的建立 按次序更换按次序更换 A

7、A a a V V H H a a a ax x X X X X1 1 V V1 1 a a1 1 a ax1 x1 H H2 2 X X2 2 a ax2 x2 a a2 2 2021/3/1115 V X H a2 a a a1 X V H X1 H V1 点的两次变换点的两次变换 V1 X1 X2 H2 V1 H2 X2 a2 a1 a A a 2021/3/1116 2021/3/1117 1 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线、把一般位置直线变换成投影面的平行线 X V H O V V1 1 X1 1 O1 a1 1 b1 1 a b b a A A B B X X O O V

8、V H H X X1 1 H H V V1 1 O O1 1 a a b b b b a a b b1 1 a a1 1 实长实长 四、基本作图四、基本作图 2021/3/1118 2.2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线把投影面的平行线变换成投影面的垂直线 X V H O V1 X1 O1 a1 (b1) a a b bb XO V H a b a b X1 HV 1 O1 a1 (b1) 2021/3/1119 3. 3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线 X H a A a b b B V V1 X1 H1 a2 b2 a1 b1 2021/3/112

9、0 aa1 1 bb1 1 V V H H a a a a X X B B b b b b A A 3. 3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析：空间分析： a a b b a a b b X X V V H H X X1 1 H H1 1 V V1 1 V V1 1H H2 2 X X2 2 作图：作图： X X1 1 V V1 1 aa1 1 bb1 1 X X2 2 H H2 2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 X X2 2轴的位置？轴的位置？ a a2 2 b b2 2 a ax2 x2 a a2

10、 2 b b2 2 . . 与与aa1 1bb1 1垂直垂直 一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线； 2021/3/1121 把一般位置直线变为投影面垂直线把一般位置直线变为投影面垂直线 X H1 V1 a a X V H b b a2 b2 X H V1 a1 b1 2021/3/1122 2021/3/1123 2021/3/1124 一般位置直线一般位置直线 变换成投影面垂直线，变换成投影面垂直线， 需经几次变换？需经几次变换？ a a b b c c a a b b c c d d V V H H A A B B C C D D X X d d 如果把平面内的

11、一条直线变换成新投影面如果把平面内的一条直线变换成新投影面 的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 。 V V1 1 X X1 1 cc1 1 bb1 1 a a1 1 dd1 1 空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取取 一条投影面平行线一条投影面平行线， 经一次换面后变换成经一次换面后变换成 新投影面的垂直线，新投影面的垂直线， 则该平面变成新投影则该平面变成新投影 面的垂直面。面的垂直面。 作图方法：作图方法： 两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？ 能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？ 思考：思考： 若变换若变换H

12、H面，需在面内面，需在面内 取什么位置直线？取什么位置直线？ 正平线！正平线！ 4.4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面 2021/3/1125 把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面 X H V O a a b c c b X V H V1 X1 O a c b a a1 d d d1(c1) b b1 c B C D A 水平线 d d a1 b1 d1(c1) X1V1 H O1 2021/3/1126 a c X V H b b a c 把一般位置平面变换成投影面的垂直面把一般位置平面变换成投影面的垂直面 V H X c

13、 b a b C A c B a d d D X1 H1 a1 c1 b1 d1 d X1 H1 V d b1 a1 c1 d1 2021/3/1127 2021/3/1128 X V H A B b a b C a c 实形 V c1 b1 a1 5.5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面把投影面的垂直面变换成投影面的平行面 V H X O a b c b a(c) b c a V1 O1 X1 2021/3/1129 把投影面的垂直面变换成投影面的平行面把投影面的垂直面变换成投影面的平行面 a a c b c b X O V H a1 b1 实形X1 H V1 O1 c1 X V H A

14、 B b a b C a c V c1 b1 a1 2021/3/1130 6.6.把一般位置平面变换成投影面的平行面把一般位置平面变换成投影面的平行面 X2 O2 V1 H2 a2 b2 c2 实形 X H V O a a b c c b d d a1 b1 d1(c1) X1 H O1 2021/3/1131 X O V H k1 b1 a1 a a b b k k O1 V1 H X1 X2 H2 V1 O2 k2 a2(b2) (t2) t1 t t 距离 H2 a2(b2) k2 K B A T (t2) 距离 求求K K点到直线点到直线ABAB之之 距及两面投影。距及两面投影。 例

15、题例题1 1： 2021/3/1132 H H2 2 D D B B A A C C d d2 2 a a2 2 c c2 2(b(b2 2) ) 求具有公共边求具有公共边BCBC的的ABCABC 和和BCDBCD的夹角的夹角 。 a a d d c c b b X X V V H H O O c c d d b b a a O O1 1 O O2 2 X X1 1 V V1 1 H H V V1 1 H H2 2 X X2 2 a a2 2 d d2 2 c c2 2(b (b2 2) ) a a2 2 d d2 2 c c2 2 b b2 2 例题例题2 2： 2021/3/1133 C

16、D S T B b2 t2 a2 C2(s2) (d2) H2 V H X O b d a c c d a b V1 X1 H O1 b1 a1 c1 d1 k1 g1 k g O2 X2 H2 V1 a2 b2 g k c2(k2)(d2) g2 距离 例例3 3： 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的距离。间的距离。 2021/3/1134 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 11 21 2 1 b a b d c a X V H d c 2 1 12 22 例题例题4 4： 求两直线求两直线ABAB与与CDCD的公垂线的公垂线 。

17、H2 2021/3/1135 a a X b b c d c d 题题5 5： 如何求两直线如何求两直线ABAB与与CDCD间的距离？间的距离？ X H1 V1 a a X V H b b a2 b2 X H V1 a1 b1 V 提示 2021/3/1136 b b a a a a b b c c d d c c 例例6 6：已知两交叉直线已知两交叉直线ABAB和和CDCD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MNMN， 且且ABAB为水平线，求为水平线，求CDCD及及MNMN的投影。的投影。M MN N m m d d aa1 1bb1 1mm1 1 nn1 1 cc1 1 dd1 1 n n

18、 空间及投影分析：空间及投影分析： V V H H X X H H V V1 1 X X1 1 圆半径圆半径=MN=MN n n m m 当直线当直线ABAB垂直于垂直于 投影面时，投影面时，MNMN平行于投影平行于投影 面，这时它的投影面，这时它的投影 mm1 1nn1 1=MN,=MN,且且 mm1 1nn1 1cc1 1dd1 1。 P P1 1 A A C C D D N N M M c c1 1 d d1 1 a a1 1m m1 1b b1 1 n n1 1 B B 作图：作图： 请注意各点的投请注意各点的投 影如何返回？影如何返回？ 求求m m点是难点。点是难点。 . . . .

19、 2021/3/1137 例例7 7：已知直线已知直线ABAB与与 CDECDE平面平行，且相距平面平行，且相距20mm20mm，求直，求直 线线ABAB的水平投影。的水平投影。 X X V V H H e e d d c c dd ee cc aa bb a a1 1 b b1 1 X X1 1 V V H H1 1 c c1 1 e e1 1 d d1 1 b b a a 20mm20mm 2021/3/1138 空间及投影分析空间及投影分析：ABAB与与CDCD都平行于投影面时，其投影的都平行于投影面时，其投影的 夹角才反映实角（夹角才反映实角（6060），因此需将），因此需将ABAB与

20、与C C点所确定的平面点所确定的平面 变换成投影面平行面。变换成投影面平行面。 例例8 8: : 过过C C点作直线点作直线CDCD与与ABAB相交成相交成6060角。角。 d d X X1 1 H H V V1 1 X X1 1 V V1 1 H H2 2 a a b b a a c c b b X X V V H H c c 作图：作图： c c2 2 c c1 1 aa1 1 bb1 1 a a2 2 d d2 2 d d b b2 2 几个解？几个解？ 两个解！两个解！ 已知点已知点C C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线ABAB上，上， 求等边三

21、角形的投影。求等边三角形的投影。 思考：思考： 如何解？如何解？ 解法相同！解法相同！ 6060 D D点的投影点的投影 如何返回？如何返回？ . . . . 2021/3/1139 例题例题9 9： 已知等腰已知等腰 三角形三角形ABCABC的的 底边为底边为ABAB，试，试 用换面法求出用换面法求出 等腰三角形等腰三角形 ABCABC的正面投的正面投 影。影。 aa bb X X V V H H c c a a b b X X1 1 H H V V1 1 b b1 1 c c1 1 a a1 1 cc e e e e1 1 2021/3/1140 例例1010：已知点已知点E E在平面在平

22、面ABCABC上，距离上，距离A A、B B为为1515，求，求E E点的投影点的投影。 a c X V H b b a c d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2 2021/3/1141 a a X b b c d c d 题题1010： 已知两直线已知两直线ABAB/CDCD且相间且相间距离为距离为10 10 X H2 V1 a a X V H b b a2 (b2) X H V1 a1 b1 c1 d1 c c2(d2) R=10 2021/3/1142 k1 X1 H1 V b1 a1 c1 d1 s1

23、a c b b a c d d s s 例题例题1111： 求点求点S S到平面到平面ABCABC的距离的距离 2021/3/1143 a c b b a c e n k e n d d X1 V H1 b1 a1 c1 d1 k1 k e1 例例1212：已知已知E E到平面到平面ABCABC的距离为的距离为N N，求，求E E点的正面投影点的正面投影e e 。 2021/3/1144 例例1313： 求点到平面求点到平面ABCABC的距离的距离 X O a a c b d b d c X1 b 1 d 1 c 1 a 1 k 1 k k 2021/3/1145 2021/3/1146 2021/3/1147 2021/3/1148 小小 结结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法。 一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。 二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件， 即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规同时又有利于解题需要，这