复变函数与积分变换课件第三章

1、 准备工作实积分准备工作实积分 一元函数一元函数y=f(x)的积分：的积分： 二元函数二元函数z=f(x,y)的积分：的积分： 第二类曲线积分第二类曲线积分(按坐标按坐标)计算计算 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 返回返回 一、复积分的定义一、复积分的定义 二、柯西二、柯西-古萨基本定理古萨基本定理 五、柯西积分公式五、柯西积分公式 四、原函数与不定积分四、原函数与不定积分 三、复合闭路定理三、复合闭路定理 六、解析函数的高阶导数六、解析函数的高阶导数 七、解析函数与调和函数的关系七、解析函数与调和函数的关系 一、积分的定义一、积分的定义 1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面

2、上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲曲 线线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方的两个可能方向中的一个作为正方 向向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向的曲理解为带有方向的曲 线线, , 称为称为有向曲线有向曲线. . 如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向, 那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, 1 1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 闭曲线正向的定义闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C C的正向是指当的正向是指当 曲线上的点曲线上的点P P顺此方向前进时顺此方向前进时,

3、 , 邻近邻近P P点的曲线的内部始终位点的曲线的内部始终位 于于P P点的左方点的左方. . 与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线方向的说明曲线方向的说明: 一般一般: 曲线曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线那么终点到起点的方向就是曲线C的负向的负向,记为记为C- 对分段光滑的闭曲线而言对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向逆时针方向为正方向,顺顺 时针方向为负方向时针方向为负方向 特别申明特别申明 今后所说的曲线总是指光滑或逐段今后所说的曲线总是指光滑或逐段 光滑曲线光滑曲线, ,特别说

4、明的例外特别说明的例外. . 2.复积分的定义复积分的定义: ( 关于定义的说明关于定义的说明: 二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件存在的条件 证证 根据曲线积分的存在定理根据曲线积分的存在定理, 当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 在形式上可以看成是在形式上可以看成是 公式公式 2. 积分的计算法积分的计算法 在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的. 一 复习积分的定义和计算 计算沿光滑曲线的计算沿光滑曲线的 复变函数的

5、方法有复变函数的方法有: : 定义定义: 1. 化为两个实二元函数的线积分来计算化为两个实二元函数的线积分来计算: 2. 写出写出C的参数方程的参数方程: 然后求然后求 例例1 解解 (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为 y=x 返回返回 (2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为 1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为 此例说明积分与路线有关此例说明积分与路线有关注：注： 返回 例例2 解解(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为 y=

6、x 返回 (2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为 (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为 y=x 1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为 这两个积分都与路线这两个积分都与路线C C 无关无关 所以不论所以不论C如何从原点到达点如何从原点到达点1+i, 都有其积分值为都有其积分值为i. y=x 例例3 解解C的参数方程为的参数方程为 重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. . 三、积分的性质三、积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积

7、分有类似的性质. 估值不等式估值不等式 性质性质(4)的证明的证明 两端取极限得两端取极限得 证毕证毕 例例4 解解 根据估值不等式知根据估值不等式知 小结与思考小结与思考 本课学习了复积分的定义、存在条件以及计本课学习了复积分的定义、存在条件以及计 算和性质算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中应注意复变函数的积分有跟微积分学中 的线积分完全相似的性质的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分本课中重点掌握复积分 计算的一般方法计算的一般方法. 思考题思考题 即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分. 思考题答案思考题答案 则则 函数解析的充要条件函数解析的充要条件: 换个写

8、法换个写法: 一、问题的提出一、问题的提出 二、柯西积分定理二、柯西积分定理 三、柯西古萨定理三、柯西古萨定理 一、问题的提出一、问题的提出 观察上节观察上节例例2, 此时积分与路线无关此时积分与路线无关. 观察上节观察上节例例1, 柯西黎曼方程柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析故而在复平面内处处不解析. 由于不满足由于不满足 由以上讨论可知由以上讨论可知, 积分是否与路线有关积分是否与路线有关, 可能可能 决定于被积函数的解析性及区域的连通性决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 受此启发受此启发,柯西柯西(Cauchy)于于1825年给出如下定理年给出如下定理: 观察上节例观察上节例

9、, 说明积分与路线有关说明积分与路线有关 1 二、基本定理二、基本定理 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理 定理中的定理中的 C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线. 1851年，黎曼在附加假设年，黎曼在附加假设“ 在在D内连续内连续”的条件下，得到一个该定理的简单证的条件下，得到一个该定理的简单证 明明 黎曼证明黎曼证明 且满足且满足CR方程：方程： 由格林公式由格林公式 定理又称为定理又称为柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理. 内连续内连续”的假设，的假设，发表上述定理新的证明方法因此，发表上述定理新的证明方法因此， 1900年年,法国数学家法国数学家古萨（古萨（Goursat） 免去免去“

10、在在D 解析函数在单连通域内的积分与路线无关解析函数在单连通域内的积分与路线无关 由定理得由定理得 即：即： 如图，如图， 则则 关于定理的说明关于定理的说明: (1) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 的边界的边界, (2) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 的边界的边界, 定理仍成立定理仍成立. 例例1 1 解解 根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 说明：说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂本题若用复积分的计算公式，将很复杂 例例2 2 解解 根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 都在曲线都在曲线 一、闭路变形原理一、闭路变形原理 一、复合闭路定理一、复合闭路定理 1. 1.

11、 闭路变形原理闭路变形原理 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值. . 说明说明: : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经 过函数过函数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. . 即柯西即柯西-古萨基本定理对于以两条闭曲线古萨基本定理对于以两条闭曲线 （复合闭路）为边界的多连通区域仍成立（复合闭路）为边界的多连通区域仍成立 2. 2. 复合闭路定理复合闭路定理 那么那么 这个定理是计算闭线内部有多个奇点这个定理是计算闭线内部有多个奇点 的积分的有效工具的积分的有效工具! 例例3 3 解解 圆

12、环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理根据闭路复合定理, 例例4 4 解解 由闭路变形原理由闭路变形原理, 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方 便便, 因为因为C不必是圆不必是圆, a也不必是也不必是 圆的圆心圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线 C内即可内即可. 重要重要 积分积分 公式公式 解（方法一）解（方法一） 依题意知依题意知, 例例5 5 由上例的结论，由上例的结论， （方法二）（方法二） 根据复合闭路定理根据复合闭路定理, 分割包围分割包围! 柯西柯西-古古 萨定理萨定理 重要重要 公式公式 柯西柯西-古古 萨定理萨

13、定理 重要重要 公式公式 作业：作业： 教材 P99 1, 2 P100 7 (2) 9 (1)(2)(4) 一、 复习积分的定义和计算 计算沿光滑曲线的计算沿光滑曲线的 复变函数的方法有复变函数的方法有: : 定义定义: 1. 化为两个实二元函数的线积分来计算化为两个实二元函数的线积分来计算: 2. 写出写出C的参数方程的参数方程: 然后求然后求 二、积分的性质二、积分的性质 估值不等式估值不等式 三、三、 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理 定理中的定理中的 C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线. 重要公式重要公式: 四、四、 闭路变形原理闭路变形原理 其中其中C是包含是包含a在内的在内的

14、 简单闭曲线。简单闭曲线。 重要公式变形重要公式变形： 五、五、 复合闭路定理复合闭路定理 那么那么 一、变上限的积分一、变上限的积分 二、原函数的定义二、原函数的定义 三、三、复积分的复积分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式 由柯西由柯西-古萨基本定理可知古萨基本定理可知: 1. 1. 变上限的积分变上限的积分: : 则则 定理定理1 1 解析函数解析函数 在单连通域在单连通域D D内的积分内的积分 与连结起点和终点的路线与连结起点和终点的路线C C无关无关 定理定理 证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证. 定理定理 2 (1) 由于积分与路线无关由于

15、积分与路线无关, 所以所以 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似定理完全类似. 证毕证毕 由积分的估值性质由积分的估值性质, 2. 2. 原函数的定义原函数的定义: : 原函数之间的关系原函数之间的关系: : 它就有无穷多个原函数它就有无穷多个原函数, 那么那么 其全体原函数可表示为其全体原函数可表示为 也称为也称为 的的不定积分不定积分, 记作记作 3.定理定理 ( (复积分的复积分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式) ) 证证 说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数

16、的积分就可以用 跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算. 例例6 6 解解 例例7 7 解解 例例8 8 解解 使用使用:“分部分部 积分法积分法” 课堂练习课堂练习 答案答案 小结与思考小结与思考 1. 通过本课学习通过本课学习, 重点掌握柯西重点掌握柯西-古萨基本定理古萨基本定理: 并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件. 2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它 是本章的难点是本章的难点. 常用结论常用结论: 3.本课介绍了原函数的定义以及牛顿本课

17、介绍了原函数的定义以及牛顿莱布莱布 尼兹公式尼兹公式. 在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等数学中相中相 关内容相结合关内容相结合, 更好的理解本课内容更好的理解本课内容. 1. 应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么? 2. 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼 兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有 何异同何异同? 思考题思考题 思考题答案思考题答案 1. 应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么? 注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”. 2. 解析函数在单连通域内积

18、分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼 兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有 何异同何异同? 两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的. 两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大. Goursat Born: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, France Died: 25 Nov 1936 in Paris, France 古萨资料古萨资料 作业：作业： 第三章习题 7 (2) 8 (5)(6) 9 (1)(2)(4) 一、问题的提出一、问题的提出 二、柯西积分公式二、柯西积分公式 三、最大模原理三

19、、最大模原理 一、问题的提出一、问题的提出 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的的 变化而改变变化而改变, 如何计算这个值？如何计算这个值？ 如果如果 从而从而 事实上两事实上两 者相等者相等 二、柯西积分公式二、柯西积分公式 定理定理 证证 柯西积分公式柯西积分公式 则则 则则 关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: : (1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的 值表示值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复

20、变函数沿闭路积 分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分 表达式表达式. (这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具) （用于计算沿闭曲线的积分用于计算沿闭曲线的积分） （解析函数的积分表达式解析函数的积分表达式） (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值平均值. （解析函数的平均值公式）（解析函数的平均值公式） 则则 即即 证证 由柯西积分公式：由柯西积分公式： 例例1 1 解解由柯西积分公式由柯西积分公式 利用柯西积分公式的窍门 变形变形: 因式分解因式分解. 将将 提出来放在分

21、母提出来放在分母, 其他一律推到分子上其他一律推到分子上. 验证验证: 验证分子上的函数是否在验证分子上的函数是否在C上解析上解析. 如何符合条件如何符合条件, 利用公式解题利用公式解题. 例如例如: 例例2 2 计算下列积分计算下列积分 解解 (1) 由柯西积分公式由柯西积分公式 例例2 2 解解 (2) 例例3 3 解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 例例4 4 解解 例例4 4 解解 由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得 例例4 4 解解 课堂练习课堂练习 答案答案 由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得 小结与思考小结与思考 柯西积分公式柯西积分公式: 柯西积分公式是复积分计算中

22、的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理, 它的重要性它的重要性 在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在 边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函 数的重要工具数的重要工具. 思考题思考题 思考题答案思考题答案 由柯西古萨基本定理，积分值为由柯西古萨基本定理，积分值为0 一、问题的提出一、问题的提出 二、解析函数的无穷可微性二、解析函数的无穷可微性 三、柯西不等式与刘维尔定理三、柯西不等式与刘维尔定理 一、问题的提出一、问题的提出 问题问题

23、: : (1) 解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函 数相同数相同? 回答回答: : (1) 解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过 积分来表示积分来表示, 这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的表达式是什么解析函数高阶导数的表达式是什么? 柯西积分公式柯西积分公式 二、解析函数的无穷可微性二、解析函数的无穷可微性 定理定理 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导

24、来求积分：而在于通过求导来求积分： 例例1 1 解解 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 例例2 2 解解 例例3 3 解解 由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 由柯西积分公式得由柯西积分公式得 由解析函数高阶导数公式得：由解析函数高阶导数公式得： 例例4 4 解解 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 课堂练习课堂练习 答案答案 解解 分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论： 小结与思考小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了它表明了 解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的这一异常重要的 结论结论, 同时表明了解析函

25、数与实变函数的本质区别同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. 高阶导数公式高阶导数公式 思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析解析函数的高阶导数公式说明解析 函数的导数与实函数的导数有何不同函数的导数与实函数的导数有何不同? 思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析解析函数的高阶导数公式说明解析 函数的导数与实函数的导数有何不同函数的导数与实函数的导数有何不同? 思考题答案思考题答案 这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别. . 作作 业：业： 第三章习题 7 （1）（3）（5）（7） 9 (5) 高阶导数公式高阶导数公式: : 柯西积分公式柯西积分公式: :

26、 一、调和函数的定义一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系 小结与思考小结与思考 三、求已知实部或虚部的解析函数三、求已知实部或虚部的解析函数 一、调和函数的定义一、调和函数的定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用. 拉普拉斯拉普拉斯称为称为Laplace算子算子注：注： 二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系两者的关系 定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部 和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函

27、数内的调和函数. 证证 根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, 则满足则满足CR方程方程 证毕证毕 例如例如:设设 f(z)=x-iy,则则u(x,y),v(x,y)都是都是z平面上的平面上的 调和函数调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析. 注：定理反之不正确 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. . 显然，由函数解析的充要条件得：显然，由函数解析的充要条件得： 定理定理 思考题思考题 解答解答 三、求已知实部或虚部的解析函数三、求已知实部或虚部的解析函

28、数 1. 偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数作为解析函数的实部如果已知一个调和函数作为解析函数的实部 u（或虚部（或虚部v）, 那么就可以利用那么就可以利用CR方程求得它方程求得它 的虚部的虚部v （或实部（或实部u ）, 这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法. 解解 例例1 得解析函数得解析函数 这个函数可以化为这个函数可以化为 答案答案 课堂练习课堂练习 例例2 解解 所求解析函数为所求解析函数为 2. 曲线积分法曲线积分法 由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端 的曲线积分与路径无关的曲线积分与路径无关 如果已知一个单连通区域

29、如果已知一个单连通区域D内的调和函数内的调和函数u作为作为 解析函数的实部解析函数的实部, 那么也可以利用那么也可以利用曲线积分曲线积分求得它的求得它的 虚部虚部v . 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关 的充要条件的充要条件 以上各曲线积分可采取两种简单以上各曲线积分可采取两种简单 的积分路径（如右图）的积分路径（如右图） 说明：说明： 解解 例例 用曲线积分法求解例用曲线积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 例例 解解 根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得 小结与思考小结与思考 本节学习了调和函数的概念、解析函数与调本节学习了调和函数的概念、解析函数与调 和函数的关系以及共轭调

30、和函数的概念和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应应注意注意的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的 函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u 的共轭调和函数的共轭调和函数, u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒. 拉普拉斯资料拉普拉斯资料 Pierre-Simon Laplace Born: 23 March 1749 in Normandy, France Died: 5 March 1827 in Paris, France 拉普拉斯，法国著名的数学家、力学家和天文学家。拉普拉斯，法国著名的数学家、力学家和天文学家。 拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创 立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。 他发表的天文学、数学和物理学的论文有