2.3欧拉方法和拉格朗日方法

1、4.1欧拉方法和拉格朗日方法 v4.1.1拉格朗日方法随体描述 v4.1.2欧拉方法空间描述 4.1欧拉方法和拉格朗日方法 莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ，1707年 4月5日1783年9月18日）是瑞士数学家和 物理学家。 约瑟夫拉格朗日，全名约瑟夫路易 斯拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）法国数学家、 物理学家。 4.1.1拉格朗日方法 v拉格朗日方法，类似于理论力学中把质点作为 研究对象. v着眼于流体微元（大量质点构成的微小单元）， 设法描述出每一个流体质点自始至终的运动过 程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知 道了每一个流体质点

2、的运动状况，那整个流体 运动的情况也就知道了。 v如下图所示，需要描述出各个质点的运动轨迹 4.1.1拉格朗日方法 AB C D t1时刻 A B C D t2时刻 4.1.1拉格朗日方法 v具体表示方法: v一、用流体质点在t0时的位置标识不同的质点 t=t0时流体质点的坐标是 ( a,b,c) a,b,c可以是直角坐标的(x0,y0,z0),也可以是曲线坐 标（q1,q2,q3） 不同的a,b,c代表不同的质点 v二、流体质点的运动规律数学上可表为下式： ( , , , )rr a b c t ( , , , )a b c t拉称为格朗日变数 4.1.1拉格朗日方法 v在直角坐标中展开 (

3、 , , , )rr a b c t ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx a b c t yy a b c t zz a b c t 4.1.1拉格朗日方法 ( , , , ) x x a b c t V t ( , , , ) y y a b c t V t ( , , , ) z z a b c t V t ( , , , )r a b c t V t 流体质点的速度 4.1.1拉格朗日方法 2 2 ( , , , ) xx x a b c t aV t 2 2 ( , , , ) yy y a b c t aV t 2 2 ( , , , ) zz z a

4、b c t aV t 2 2 ( , , , )r a b c t aV t 流体质点的加速度 4.1.1拉格朗日方法 v拉格朗日方法虽然很自然,也很直观,但实现起 来却非常困难:无法对成千上万的流体质点进 行跟踪. v实际所关心的往往是空间固定区域内的物体与 流体的作用. v实验测量的也往往是空间固定点的参数. 4.1.2欧拉法 v欧拉法着眼于空间点，设在空间中的每一个点 上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每 一点流体运动都已知道，则整个流体的运动状 况也就清楚了。 v区别与联系：在拉格朗日法中，描述的是微元 的位置坐标,进而得到速度;而的欧拉法中则是直 接描述空间点上流体质点的速度向量

5、。 4.1.2欧拉法 v欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量 ( , )vv r t ( , , , ) yy VVx y z t ( , , , ) xx VV x y z t ( , , , ) zz VV x y z t 在直角坐标系中: ( , , , )x y z t ( , , , )pp x y z t ( , , , )TT x y z t 密度 温度 压强 速度 ( , , , )x y z t 称为欧拉变数 4.1.2欧拉法 v欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格 朗日法最大的区别是欧拉法中的定义得到的的函 数都是场函数，可以广泛的利用场论的知识 4.1.2欧拉法 v在

6、气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（相 当于空间点）设立星罗棋布的气象站。根据统一 时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速 报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，绘制 成同一时刻的气象图，据此做出天气预报。 4.1.2欧拉法 v某时刻位于一个空间点上的流体质点的密度、压 力、温度就是流场对应点、对应时刻的密度场、 压强场、温度场上的对应值。 v在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场 性质是相同的。 4.1.2随体导数 ,VV r t 定义流速场中的加速度: . MM如图点的加速度就是此时过点 的流体质点的加速度 .通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数 4.1.2随体导数 0 (

7、,)(, ) lim t DVV M ttV M t Dtt , , , , , V M t V M t t M t 设此质点在场内运动,其 运动轨迹为L,在t时刻位于M点, 速度为过了后 该质 点运动到点 速度为 根据定义 加速 度的表达式为 4.1.2随体导数 0 (,)(, ) lim t DVV M ttV M t Dtt D Dt 这里用表示这种导数不同于牛顿定律 对速度的简单导数 速度的变化有两方面的原因: ,MM 一方面的原因 质点由点运动至点时 时间过去了 t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化 ,MM另一方面 质点由点运动至点时 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起

8、速度的变化 4.1.2随体导数 0 (,)(, ) lim t V M ttV M t t 0 (,)(, ) lim t V M ttV M t t 0 (, )(, ) lim t V M tV M t t 0 lim t MM t 0 (, )(, ) lim MM V M tV M t MM 0 (,)(, ) lim t DVV M ttV M t Dtt 按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分 场的非定常性场的不均匀性 4.1.2随体导数 0 (,)(, ) lim t DVV M ttV M t Dtt 0 lim t MM t 0 (, )(, ) lim MM V M

9、tV M t MM 0tMM 第一项当时 0 (,)(, )(, ) lim t V M ttV M tV M t tt 这一项表示场的非定常性引起速度的 局部导数或当 变化, 称为地导数. 4.1.2随体导数 MM第二项当时 00 (, )(, ) limlim tMM MMV M tV M t tMM (, )V M t V s 它代表场的不均匀性引起的速度变迁移导数或对化,称为流导数. 0 (,)(, ) lim t DVV M ttV M t Dtt 0 lim t MM t 0 (, )(, ) lim MM V M tV M t MM V S s 其中代表沿 方向移动单位长度引起的

10、速度变化. 4.1.2随体导数 DVVV V Dtts V s 总的加速度即为局部导数与迁移导数之和,称为随体导数. () V VV sV s 所以 sL 其中 是 上单位切矢量. () DVV VV Dtt 或称为随流导数、物质导数（substantial derivative）、质点 导数（particle derivative），也称全导数。 ()sV ()VV 4.1.2随体导数 () DVV VV Dtt xx DVV Dtt yyyyy xyz DVVVVV VVV Dttxyz zzzzz xyz DVVVVV VVV Dttxyz x x V V x x y V V y x z

11、 V V z 在直角坐标系中展开为: 随体加速度=当地加速度+迁移加速度 4.1.2随体导数 :() r rz z DVD aV iV iV i DtDt 加速度 在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的 方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂 i r r i ( )( ) rr iiii 单位矢量表示为转角的函数: ， ( )( ) r rr ii iiii r 存在导数关系: ， rrzz rrzz DVDiDVDiDVDi iViViV DtDtDtDtDtDt 4.1.2随体导数 2 ()() rrz rz VDVVVDVDV iii DtrDtrDt 2 : r r

12、VDV a Dtr 向心加速度 : r DVVV a Dtr 附加加速度 :() r rzr VDi VVVii Dttrrzr 其中 () rzr DiV VVVii Dttrrzr 2 : rrz rrz V VDVVDVDV aiiiii DtrDtrDt 所以 i r r i 4.1.2随体导数 () Daa Va Dtt () D V Dtt () daa Va dtt () d V dtt . d dt 今后在不至引起混淆的时侯,用表示全导数 对速度求导,分为局部导数和迁移导数之和的做法, 也适用于对其它量求导. () daa Va dtt () d V dtt ? ? 例题 D V Dtt 求质点的密度变化率. 222 , ,. A xyztVxtiytjztk A 已知密度场速度场为 求流体质点的密度变化率 其中 为常数 222 222 A xyzt x