高考数学一轮复习（例题解析） 7.1 正弦定理与余弦定理

1、高中数学一轮复习资料第七章 解三角形第一节 正弦定理与余弦定理1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120,则 a等于（ ）A.B.2C.D.答案 D 2.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为( )A. B.C.或 D.或答案 D 3.下列判断中正确的是（ ）A.ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解B.ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解C.ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解D.ABC中，b=9,c=10,B=60,无解答案 B4

2、. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形答案 B5. 在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，则的值为（ ）A.B. C.D.答案 D6.ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C的度数是 （ ）A.60B.45或135 C.120 D.30答案 B7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .答案 8. 在ABC中，A=60,AB=5,BC=7,则ABC的面积为 .答案 9. （2008浙江理，13）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b

3、、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= .答案 10. 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.11. 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.解 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.将上式代入=-得:=-整理得:a2+c

4、2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角，B=.（2）将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.12. 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBs

5、inAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.13. 已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求tanC的值.解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab

6、,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanC=-.14. 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差数列，a+

7、c=2b.cosB=，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.15. （2008广东五校联考）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小；（2）求ABC的面积.解 （1）A+B+C=180,由4sin2-cos2C=,得4cos2-cos2C=,4-(2cos2C-1)=,整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=,0C180,C=60.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab