如何求球体的体积和表面积[竹菊书苑]

1、 如何求 球体的体 积和表面 积呢？ 教学目标教学目标 重点难点重点难点 球的体积球的体积 球表面积球表面积 例题讲解例题讲解 课堂练习课堂练习 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 l掌握球的体积、表面积公式掌握球的体积、表面积公式 l掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割想进一步理解分割近似求和近似求和精确求和的思想方法精确求和的思想方法 l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力学生应用数学的能力 l能解决球的截面有关计算问题及球的能解决球的截面有

2、关计算问题及球的“内接内接”与与“外外 切切”的几何体问题的几何体问题 教学目标 3向上教学 球的体积公式的推导球的体积公式的推导 球的体积公式及应用球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导 l教学重点 l教学难点 化化为为准准确确和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割 教学重难点 4向上教学 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分

3、成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR . 2 R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等 球的体积 5向上教学 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式 法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方 即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并

4、将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和 球的体积 6向上教学 O O A 每层近似于“薄圆片” 每个“薄圆片”近似于薄圆柱 （取其底面为“薄圆片”的下底面） nOA等分n切割半球为层 R n 第 层 i 由勾股定理由勾股定理 r i 计算第计算第 层层“薄圆片薄圆片“的体积的体积 i 第第 层层“薄圆片薄圆片”的体积是的体积是i 2 3 21 1,1,2,3, . i RRi Vrin nnn i 2 2 1,1,2, R rRiin i n 半

5、球的体积是半球的体积是 12n VVVV 半球 2 3 22 222 112 1111 nR nnnn 2 22 3 2 121nR n nn 3 2 1211 6 nnnR n nn 3 2 121 1 6 nn R n 8向上教学 当当 时，时，1000n 11 1000 n 随着随着n的增大，的增大， 越来越小越来越小 1 n 当当 时，时，10000n 11 10000 n 当当 时，时，n 1 0 n 由式得由式得 3 2 3 VR 半球 3 11 12 1. 6 nn VR 半球 定理定理半径是半径是 的球的体积是的球的体积是 R 3 4 3 VR 半球 9向上教学 o o i S

6、 思考：我们能用同样的方法推导球我们能用同样的方法推导球 的表面积公式吗？的表面积公式吗？ O O O O O O i S R i h 把球面任意分割为一些把球面任意分割为一些“小球面片小球面片”，分别，分别 用用 123 ,SSS表示 表示 设以小球面片设以小球面片 为底，球心为底，球心 为顶点的为顶点的“小锥体小锥体” 为第为第 个小锥体，则球表面积为个小锥体，则球表面积为 i SO 12 , i SSSS i 三个近似 i s i v 已知棱锥的体积公式为 1 , 3 iii vh s i S i s i Rh 当当“小锥体小锥体”的底面非常小时，的底面非常小时， ii Vv 用近似量代

7、换得 1 , 3 ii VR S 11向上教学 球体积为球体积为 12 , i VVVV 1 , 3 ii VR S 12 111 . 333 i VS RS RS R 12 1 3 i RSSS 12i SSSS 1 3 VRS O O O O O O 12向上教学 已知球的体积 3 4 3 VR 1 3 VRS 所以 3 4 3 R 1 3 RS 从而 2 4SR 定理 2 4SR 半径是 的球的表面积是 R O O O O O O 13向上教学 例例1 1有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等 于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm). 设空心球的内

8、径为设空心球的内径为2x cm,那么钢球的质量是那么钢球的质量是 3 3 454 7.9142, 323 x 3 3 5142 3 11.3. 27.9 4 3.14 x 得得 2.24,x 直径直径 24.5.xcm 答：答： 空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为 4.5.cm 例例2. 2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长一个正方体的顶点在球面上，它的棱长 为为4cm4cm，求这个球的体积和表面积。，求这个球的体积和表面积。 o A C 解： 该球的半径为该球的半径为 1 42 2 cm 2 4216Scm 球 3 432 2 33 Vcm 球 例例3 3 地球和火星都可以看作近似球体

9、，地球半径约 为6370km，火星的直径约为地球的一半。 (1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？ V地球= 4 3 R3= 4 3 x 63703 =4 x 63702 1.08x1012(km3) S地球=4R25.10 x108(km2) 解： V火 V地 = 4 3 R火3 4 3 R地3 = R火3 R地3 = ( 1 2 R地) 3 R地3 = 1 8 S火 S地 = 4R火2 4R地2 = R火2 R地2 = ( 1 2 R地) 2 R地2 = 1 4 3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是_. 1.一个球的直径为3cm，则 它的表面积是_，体 积是_。 2.一个球的表面积是100 , 那么它的体积是_。 9 9 2 500 3 36 17向上教学 1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。 2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算