向量的正交分解与坐标运算PPT学习教案

1、会计学1 向量的正交分解与坐标运算向量的正交分解与坐标运算 OA,A SSBN ,MN . a OBbM a b 已知对任意点关于点 的 对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ， 试用 向量表示 )b(2 )OAOB2 AB2MN a （ 简析： 练习练习5: O A M S B N a b 11 (),() 22 aOMOS bONOS 11 () 22 abOMONNM 第第1页页/共共36页页 1.平面向量基本定理的内容平面向量基本定理的内容 如果如果e1、e2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个_的向量，的向量， 那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一

2、对，有且只有一对 实数实数a1、a2，使，使a_ 其中不共线向量其中不共线向量e1、e2称为这个平面的一组称为这个平面的一组_. 不共线不共线 基底基底 1122 a e +a e 2.如图，已知向量如图，已知向量e1、e2,求作向量：求作向量：3e1+2e2. e1 e2 第第2页页/共共36页页 ？垂直，那么是什么情形与若 21 . 1ee 什么？什么情形？你能联想到 那么又是垂直与且若, 1. 2 2121 eeee 1 e 2 e a A B C D 思考思考： 类比在平面直角坐标系内点类比在平面直角坐标系内点 的坐标表示，探究向量的坐的坐标表示，探究向量的坐 标表示标表示. . 第第

3、3页页/共共36页页 向量的正交分解向量的正交分解 与与向量的直角坐向量的直角坐标运标运算算 ),(yxM O x y 第第4页页/共共36页页 学习目标研读学习目标研读 1课堂目标课堂目标 理解并掌握向量的正交分解、向量的坐标表理解并掌握向量的正交分解、向量的坐标表 示示 2重点难点重点难点 重点：平面向量的坐标运算重点：平面向量的坐标运算 难点：平面向量的正交分解与向量坐标的关系难点：平面向量的正交分解与向量坐标的关系 第第5页页/共共36页页 （2）能力目标： （3）情感目标： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算. 体会类比思想、转化思想、数形结合思想；培养

4、学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。培养学 生的形象思维能力和发现能力。 激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物 在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。 第第6页页/共共36页页 探索探索1: 以以O为起点，为起点， P为终点的向量为终点的向量 能否用坐标表示？如何表示？能否用坐标表示？如何表示？ o P x y a 第第7页页/共共36页页 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2246 i j ），（ 23 P 3 2(3,2)OPij O 第第8页页/共共36页页 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2246 i j ），（yx P ( , )O P xi yjxy 向量的坐标表

5、示 O 向量向量 P（x ，y ） 一一 一一 对对 应应 O P 第第9页页/共共36页页 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示? 探索探索2: o x y a 第第10页页/共共36页页 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示? 探索探索2: A o x y a a可通过向量的平移可通过向量的平移 ，将向量的起点移，将向量的起点移 到坐标的原点到坐标的原点O处处, 其终点的坐标（其终点的坐标（x， y）称为）称为a的（直角的（

6、直角 ）坐标，记）坐标，记a=（x， y）。）。 解决方案: 第第11页页/共共36页页 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同 的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则 , ij , i j 对于该平面内的任一向量a ， 由平面向量基本 定理知，有且只有一对实数x、y，可使 a= i +yjx 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做）叫做 向量向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作 a ( , )ax y 其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在 y y轴上的坐标，

7、轴上的坐标，式叫做式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示. . a a A B C D o x y i j a 第第12页页/共共36页页 1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式. 2 、把、把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中、其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标. 单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1） 第第13页页/共共36页页 O x y i j a A(x

8、, y) a 若若a以为起点以为起点,两者相同两者相同 向量向量a 坐标（坐标（x ，y ） 一一 一一 对对 应应 思考思考: 3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？ 1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定 2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？ 2121 yyxxba 且且 第第14页页/共共36页页 平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量 的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？ 探索探索3： （1）已知）已知a =(x1 ,

9、 y1), b= (x2 , y2) ， 求求a + b , a b . （2）已知）已知a =(x1 , y1)和实数和实数 ， 求求 a的坐标的坐标 . 如何计算？如何计算？ 第第15页页/共共36页页 ),( ),( ),( ),(),( 11 2121 2121 2211 yxa yyxxba yyxxba yxbyxa 则： 向量的向量的 坐标运算坐标运算 说明说明 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相 应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数 乘以向量相应坐标的积乘以向量相应坐标的积. 第第16页页/共

10、共36页页 (2,1),( 3,4), ,34 ab ab abab 练习，已知 求的坐标。 (2,1)( 3,4)15 (2,1)( 3,4)53 343(2,1)4( 3,4)619 ab ab ab 解：（， ） （ ， ） （，） 第第17页页/共共36页页 例例1. 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，向量中，向量a，b，c的方的方 向和长度如图所示，分别求它们的坐标。向和长度如图所示，分别求它们的坐标。 ( 2, 2), 3 3 3 (,) 22 (2 3, 2) a b c 【分析】本题主要考查向量的正交分解，【分析】本题主要考查向量的正交分解， 把它们分解成横、纵坐标的形式把它们

11、分解成横、纵坐标的形式 利用任意角的三角函数定义，若利用任意角的三角函数定义，若a= （a1,a2）,a的方向相对于的方向相对于x轴正向的转角轴正向的转角 为为，则有，则有 a1= |a|cos , a2= |a|sin 第第18页页/共共36页页 例例4.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(3,2), B( 2，4)，求向量，求向量 的方向和长度的方向和长度. OAOB 解：解： OCOAOB = (3,2)+(2，4) = (1,6). |1 3637OC tan6 =arctan 6 第第19页页/共共36页页 例例2.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量

12、求向量 的坐标的坐标 . AB 解：解： ABOBOA =(x2,y2)(x1,y1) =(x2x1，y2y1) 说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点的坐 标减去始点的坐标标减去始点的坐标。 x y O B A 这是一个重要结论这是一个重要结论！ 第第20页页/共共36页页 例例3.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段求线段AB中点的坐标中点的坐标. 解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，则的中点，则 1 () 2 OMOAOB 1122 1 ( , )(,)(,) 2 x yx yxy

13、1212 , 22 xxyy xy 例例3得到的公式，得到的公式， 叫做线段中点的叫做线段中点的 坐标公式，简称坐标公式，简称 中点公式。中点公式。 法法2:2:用重要结论用重要结论！ 第第21页页/共共36页页 例例6. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中 点点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标 . 解：解：(1) 求中点求中点M的坐标，利用例的坐标，利用例3得到的公得到的公 式可知式可知M( ，2) 2 1 (2) 因为因为 =(1，3)(2，1) =(3，2) ABOBOA 法法2:2:用重要结论用重要结论！ 第第22页页/共共36页页 1 3 1

14、( 2,1)(3,2) 3 5 ( 1, ) 3 OPOAAB 2 3 2 ( 2,1)(3,2) 3 7 (0, ) 3 OQOAAB 第第23页页/共共36页页 例例5.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的 坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。 ABCD A B C D x y O 解法：解法：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y） ( 1,3)( 2,1)(1,2) (3,4)( , )(3,4) AB DCx yxy ABDC 且且 (1 ,2) (3 ,4)xy 13 24 x y 解得

15、解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2） 第第24页页/共共36页页 例例5.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的 坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。 ABCD A B C D x y O 解法解法2：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得 ( 2 ( 1),1 3)(3 ( 1),4 3) (3, 1) BDBABC 而而 ( 1,3)(3, 1) (2,2) ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2） 第第25页页/共共36页页 例例5.已知已知

16、ABCD的三个顶点的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。 解解 ： ODOAADOABC OAOCOB =(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2) 所以所以D点的坐标是点的坐标是(2, 2). 第第26页页/共共36页页 变形变形:如图，已知如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标平行四边形的三个顶点的坐标 分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求第四个顶点的坐标。试求第四个顶点的坐标。 x y O (-2,1)(-2,1) (-1,3)(-1,3) (3,4)(3,4) 第第27页页/共共36页页

17、 练习练习1. 设向量设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =( 1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为为 . 解：解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0, 所以所以d=6a4b+4c=(2, 6). 第第28页页/共共36页页 2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量 ,设起始设起始P(10,10), 则则5秒钟后点秒钟后点P 的坐标为的坐标为( ). (4, 3)v 解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10, 10)+5(4

18、, 3)=(10, 5). 第第29页页/共共36页页 3.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足 (1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上? (2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围. APABAC 解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 2 1 解得解得 = (2) 由已知由已知 5+50,7+40 , 所以所以1. 第第30页页/共共36页页 课时小结课时小结: : 2 加、减法法则加、减法法则 . a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) 3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则： a =(x i+y j )=x i+y j =(x , y) 4 向量坐标向量坐标. 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 1 向量坐标定义向量坐标定义 . 则 =(x2 - x1 , y2 y1 )