向量组与矩阵的秩PPT学习教案

1、会计学1 向量组与矩阵的秩向量组与矩阵的秩 2 定义定义1 n个数组成的有序数组（个数组成的有序数组（a1,a2,an） 称为一个称为一个n维向量维向量，简称，简称向量向量。 n a a a 2 1 或或 用小写的粗黑体字母来表示向量用小写的粗黑体字母来表示向量 。 行向量行向量 列向量列向量 第1页/共83页 3 数数a1,a2,an称为这个称为这个向量的分量向量的分量。ai称为这个向称为这个向 量的第量的第i个个分量分量或或坐标坐标。分量都是实数的向量称为。分量都是实数的向量称为 实向量实向量；分量是复数的向量称为；分量是复数的向量称为复向量复向量。 n维行向量可以看成维行向量可以看成1n

2、矩阵，矩阵，n维列向量也常维列向量也常 看成看成n1矩阵。矩阵。 设设k和和l为两个任意的常数，为两个任意的常数， 为任意的为任意的n维向维向 量，其中量，其中 , ),( 21n aaa ),( 21n bbb 第2页/共83页 4 定义定义2 如果如果 和和 对应的分量都相等，即对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,n 就称这两个就称这两个向量相等向量相等，记为，记为 定义定义3 向量向量 （a1+b1,a2+b2,an+bn） 称为称为 与与 的的和和，记为，记为 。称向量。称向量 （ka1,ka2,kan） 为为 与与k的数量乘积，简称的数量乘积，简称数乘数乘，记为，记为 。

3、k 第3页/共83页 5 定义定义4 分量全为零的向量分量全为零的向量 （0，0，0） 称为称为零向量零向量，记为，记为0。 与与-1的数乘的数乘 （-1） =（-a1,-a2,-an） 称为称为 的的负向量负向量，记为，记为 。 )( 向量的减法定义为向量的减法定义为 向量的加法与数乘具有下列性质向量的加法与数乘具有下列性质 ： 第4页/共83页 6 0)3( 0)()4( kkk )()5( lklk )(6( )()()7(kllk 1 )8( 00)9( 00)10( k 0, 00)11( kk那那么么且且如如果果 满足（满足（1）（8）的）的 运算称为线性运算。运算称为线性运算。

4、交交换换律律)1( )()()2( 结结合合律律 第5页/共83页 7 例例1设设3( 1- )+2( 2+ )=5( 3+ ),其中其中 1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1).求求 . 解：解： 3 1-3 +2 2+2 =5 3+5 6 = 3 1 +2 2 -5 3 = 1/2 1 +1/3 2 5/6 3 =(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6) =(1,2,3,4) 第6页/共83页 8 矩阵与向量的关系：矩阵与向量的关系： n维列向量组维列向量组 可以排成一个可以排成一个ns矩

5、阵矩阵 s , 21 ),( 21s B 其中其中 为由为由B的第的第j行形成的子块，行形成的子块， 称为称为B的列向量组的列向量组。 j s , 21 通常把通常把维数相同的一组向量维数相同的一组向量简称为一个简称为一个向量组向量组， n维行向量组维行向量组 可以排列成一个可以排列成一个sn分块矩阵分块矩阵 s , 21 s 2 1 其中其中 为由为由A的第的第i行形成的子块，行形成的子块， 称为称为A的行向量组的行向量组。 i s , 21 第7页/共83页 9 定义定义5 向量组向量组 称为称为线性相关线性相关的，如果有的，如果有 不全为零的数不全为零的数k1,k2,ks，使，使 s ,

6、 21 0 2211 1 ss s i ii kkkk 反之，如果只有在反之，如果只有在k1=k2=ks=0时上式才成立，就时上式才成立，就 称称 线性无关线性无关。 s , 21 当当 是行向量组时，它们线性相关就是指有是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的非零的1s矩阵（矩阵（k1,k2,ks）使）使 s , 21 0),( 2 1 21 s s kkk 第8页/共83页 10 当当 为列向量时，它们线性相关就是指有非为列向量时，它们线性相关就是指有非 零的零的s1矩阵矩阵 ，使，使 ),( 21 s kkk s , 21 0),( 2 1 21 s s k k k 第9页/共83页

7、11 例例1 判断向量组判断向量组 )1 , 0 , 0( ),0 , 1 , 0( ),0 , 0 , 1( 2 1 n 的线性相关性。的线性相关性。 解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2,kn， ，令 令 ),( 212211nnn kkkkkk 所以所以 0 2211 nn kkk 当且仅当当且仅当k1=k2=kn=0 因此因此 线性无关线性无关 。 n , 21 称为基本单位向量。 n , 21 第10页/共83页 12 例例2 讨论向量组讨论向量组 1 3 2 1 1 2 1 2 -1 2 3 3 的线性相关性。的线性相关性。 解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2, k3，

8、，令 令 0 221133 kkk 即即 213 kkk=0 31 2 -11 1 22 3 0 0 21 31 kk kk 2 2 3 k 0 21 kk 3 k 2 2 k 3 3 k1= -4 , k2 =5, k3= 1 所以所以 1 , 2 , 3 线性相关线性相关. 第11页/共83页 13 例例3 设向量组设向量组 线性无关，线性无关， ， ， ，试证向量组，试证向量组 也也 线性无关。线性无关。 321 , 211 322 133 321 , 证证 对任意的常数，令对任意的常数，令 )()()( 32221131332211 kkkkkkkkk 设有设有k1,k2,k3,使使

9、0 332211 kkk 由由 线性无关，故有线性无关，故有 321 , 0 0 0 32 21 31 kk kk kk 由于满足由于满足k1,k2,k3的取值只有的取值只有k1=k2=k3=0 所以所以 线性无关。线性无关。 321 , 第12页/共83页 14 一般地一般地,判断一个向量组判断一个向量组 1, 2, m线性相关的基本线性相关的基本 方法和步骤是方法和步骤是: 1)假定存在一组数假定存在一组数k1,k2,km ， ，使 使 k1 1+k2 2+km m=0; 2)应用向量的线性运算和向量相等的定义应用向量的线性运算和向量相等的定义,找出含未找出含未 知量知量k1,k2,km的

10、齐次线性方程组的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解判断方程组有无非零解; 4)如有非零解如有非零解,则则 1, 2, m线性相关线性相关;如仅有零解如仅有零解,则则 1, 2, m线性无关线性无关. 第13页/共83页 15 定义定义6 向量向量 称为向量组称为向量组 1, 2, t的一个的一个线性组合线性组合， 或者说或者说 可由向量组可由向量组 1, 2, t线性表出线性表出( (示示) ), ,如果有如果有 常数常数k1,k2,kt,使使 =k1 1+k2 2+kt t. 此时，也记此时，也记 t 1i ii k 例例1试问下列向量试问下列向量 能否由其余向量线性表示能否由其余向

11、量线性表示,若能若能, 写出线性表示式写出线性表示式: 1) =(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1). 2) =(1,1,1), 1=(0,1,-1), 2=(1,1,0), 3=(1,0,2); 第14页/共83页 16 解：令解：令 =k1 1 +k2 2+k 3 3 于是得线性方程组于是得线性方程组 k2+k3=1 k1+k2=1 -k1+2k3=1 解方程组得解方程组得k1=k3=1,k2=0 即即 = 1+0 2+ 3 第15页/共83页 17 定理定理1 向量组向量组 （s2）线性相关的

12、充要条件）线性相关的充要条件 是其中是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出至少有一个向量能由其他向量线性表出。 s , 21 证证 设设 中有一个向量能由其他向量线性中有一个向量能由其他向量线性 表出，表出， s , 21 ss kkk 33221 0 221 ss kk 所以所以 线性相关。线性相关。 s , 21 s , 21如果如果 线性相关，就有不全为零的数线性相关，就有不全为零的数 k1,k2,ks，使，使 0 2211 ss kkk 设设k10,那么那么 s s k k k k k k 1 3 1 3 2 1 2 1 即即 能由能由 线性线性 表出。表出。 1 s , 32 第1

13、6页/共83页 18 例如例如，向量组，向量组 是线性相关的，因为是线性相关的，因为 213 3 )1 , 3 , 1, 2( 1 )4 , 5 , 2, 4( 2 )1, 4 , 1, 2( 3 1一个向量线性相关一个向量线性相关=0;无关无关 0. 2 2两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例对应元素成比例;无关无关对对 应元素不成比例应元素不成比例. 3三个向量线性相关的几何意义是它们共面。三个向量线性相关的几何意义是它们共面。 第17页/共83页 19 定理定理2 设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则线性相关，则 能由向量组能由向量组 线性表出，

14、且表示式是唯一的。线性表出，且表示式是唯一的。 t , 21 , 21t t , 21 证证 由于由于 线性相关，就有不全为零的线性相关，就有不全为零的 数数k1,k2, kt,k，使，使 , 21t 0 2211 kkkk tt 由由 线性无关有线性无关有k0。 t , 21 t t k k k k k k 2 2 1 1 即即 可由可由 线性表出。线性表出。 t , 21 第18页/共83页 20 ttt hhhlll 22112211设设 为两个表达式。为两个表达式。 0)()()( )()( 222111 22112211 ttt tttt hlhlhl hhhlll 且且 线性无关线

15、性无关 t , 21 得到得到 l1=h1, l2=h2, ，lt=ht 因此表示式是唯一的。因此表示式是唯一的。 第19页/共83页 21 定义定义7 如果向量组如果向量组 中每个向量都可以由中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组线性表出，就称向量组 可由可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，如果两个向量组互相可以 线性表出，就称它们线性表出，就称它们等价等价。 s , 21 t , 21s , 21 t , 21 每一个向量组都可以经它自身线性表出。每一个向量组都可以经它自身线性表出。 同时，如果向量组同时，如果向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出，向量组线性表出，向量组

16、 可以经向量组可以经向量组 线性表出，那么向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。 s , 21 t , 21 s , 21 t , 21 p , 21 p , 21 第20页/共83页 22 向量组向量组 中每一个向量都可以经向量组中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组线性表出。因而，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。 s , 21 p , 21 s , 21 p , 21 t j jiji sik 1 , 2 , 1, p m m m jj tjl 1 , 2 , 1, 如果如果 m t j p m t j p m p m

17、t j jmijmjmijmjmiji lklklk 111111 )( 有有 第21页/共83页 23 向量组的等价具有下述性质：向量组的等价具有下述性质： (1)反身性反身性：向量组：向量组 与它自己等价；与它自己等价； s , 21 (2)对称性对称性:如果向量组如果向量组 与与 等价等价 ，那么，那么 也与也与 等价。等价。 s , 21 s , 21t , 21 t , 21 (3)传递性传递性:如果向量组如果向量组 与与 等价等价 ，而向量组，而向量组 又与又与 等价等价,那么那么 与与 等价。等价。 t , 21 s , 21 t , 21 p , 21 p , 21 s , 2

18、1 第22页/共83页 24 1122rr kkk 线性线性表示表示 线性组合线性组合 组合系数组合系数 线性相关线性相关 线性无关线性无关 定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解； 定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解. . 推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关. .0 ij a 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关. .0 ij a 第23页/共83页 25 向量组向量组至少有一个向量可由其余向至少有一个向量可由其余向 量量 定理定理 向量组向量组任何向量都不能由其余向量任何向量都不能由其余向量

19、 定理定理 定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解； 定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解. . 推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关. .0 ij a 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关. .0 ij a 第24页/共83页 26 思考题：判断对错 1. 若向量组若向量组 线性相关，那么其中每个向线性相关，那么其中每个向 量可经其它向量线性表示。量可经其它向量线性表示。 s , 21 2. 如果向量组如果向量组 可经由向量可经由向量 线线 性表示，且性表示，且 线性相关，那么线性相关，那么 也也

20、 线性相关。线性相关。 s , 21 m , 21 s , 21 3. 如果向量如果向量 可经由向量组可经由向量组 线性线性 表示，且表示是唯一的，那么表示，且表示是唯一的，那么 线性线性 无关。无关。 s , 21 s , 21 m , 21 第25页/共83页 27 思考题解答 1. 错，错，2. 错，错，3. 对对 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤第26页/共83页 28 定理定理3 有一个有一个部分组线性相关部分组线性相关的向量组线性相关。的向量组线性相关。 设这个部分组为设这个部分组为 。则有不全为零的数。则有不全为零的数 k1,k2, ,kr，使，使 r , 21 证证 设向

21、量组设向量组 有一个部分组线性相关。有一个部分组线性相关。 s , 21 s i r i s rj jiiii kk 111 00 因此因此 也线性相关。也线性相关。 s , 21 推论推论 含有零向量的向量组必线性相关。含有零向量的向量组必线性相关。 第27页/共83页 29 定理定理4 设设p1,p2, ,pn为为1，2，n的一个排列，的一个排列， 和和 为两向量组，其中为两向量组，其中 s , 21 s , 21 n ip ip ip i in i i i a a a a a a 2 1 , 2 1 即即 是对是对 各分量的顺序进行各分量的顺序进行 重排后得到的向量组，则这两个向量组有重

22、排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的相同的 线性相关性线性相关性。 s , 21s , 21 证证 对任意的常数对任意的常数k1,k2,ks， 第28页/共83页 30 s i snsnn ss ss ii akakak akakak akakak k 1 2211 2222121 1212111 s i spspp spspp spspp ii nnn akakak akakak akakak k 1 2211 2211 2211 222 121 上两式只是各分量的排列顺序不同，因此上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 0 2211 ss kkk 当且仅当当且仅当 0 2211 ss k

23、kk 所以所以 和和 有相同的线性相关性有相同的线性相关性 。 s , 21 s , 21 第29页/共83页 31 (2)如果如果 线性无关，线性无关， 那么那么 也线性无关。也线性无关。 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 定理定理5在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分个分 量变成量变成n维向量组维向量组 。 (1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相关。也线性相关。 证证 对列向量来证明定理。对列向量来证明定理。 121 ),(A s 2 1 21 ),( A A s 第30页/共83页 32 0),(

24、2 1 2 1 21 XA XA X A A X s 0),( 121 XAX s 从而从而 利用利用(1)式式,用反证法容易证明用反证法容易证明(2)式也成立。式也成立。 因此因此, 也线性相关也线性相关,即即(1)式成立。式成立。 s , 21 如果如果 线性相关线性相关,就有一个非零的就有一个非零的s 1矩阵矩阵X,使使 s , 21 第31页/共83页 33 引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列) 向量组线性相关。向量组线性相关。 定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条线性无关的充要条 件是矩阵件是矩阵 n , 21 nn

25、nn n n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 2 1 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也 线性无关。线性无关。 证：证：如果如果 A 0 0，即，即A可逆，可逆， (k1,k2, ,kn)A=0 两边同时右乘两边同时右乘A-1得得 (k1,k2, ,kn) = 0 第32页/共83页 34 定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。 121 , n 推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。 所以所以 线性无关线性无关 。 s , 21 反过来，如果反过来，

26、如果 线性无关，反设线性无关，反设 A 00，由，由 引理引理1 1，A A的行向量组的行向量组 线性相关，矛盾。线性相关，矛盾。 n , 21 n , 21 由上面的证明可以看出，当由上面的证明可以看出，当 A 0 0时，时， A A 0 0，可见，可见A A 的的n个列向量也线性无关。个列向量也线性无关。 第33页/共83页 35 例例1讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性: 1)(2,3),(-3,1),(0,-2); 2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3); 3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5). 解解：1)32,所以线性相关

27、所以线性相关 2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为2 0 ， 所以线性无关。所以线性无关。 3） 2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0 所以线性相关。所以线性相关。 第34页/共83页 36 (2)如果如果 线性无关，线性无关， 那么那么 也线性无关。也线性无关。 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 s , 21 定理定理5在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分个分 量变成量变成n维向量组维向量组 。 (1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相

28、关也线性相关 。 复习复习 第35页/共83页 37 引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列) 向量组线性相关。向量组线性相关。 定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条线性无关的充要条 件是矩阵件是矩阵 n , 21 nnnn n n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 2 1 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也 线性无关。线性无关。 定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。 121 , n 推论推论 当当mn时时,m个个n

29、维向量组线性相关。维向量组线性相关。 第36页/共83页 38 定理定理8 如果向量组如果向量组 可由可由 线性线性 表出且表出且st，那么，那么 线性相关。线性相关。 t , 21 s , 21 s , 21 推论推论1 如果向量组如果向量组 ，可由向量组，可由向量组 线性表出，且线性表出，且 线性无关，那么线性无关，那么 。 t , 21 s , 21 s , 21 ts 推论推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个两个线性无关的等价的向量组必含有相同个 数的向量。数的向量。 第37页/共83页 39 定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个一向量组的一个部分组称为一个极大线性无极大

30、线性无 关组关组，如果这个部分组本身是，如果这个部分组本身是线性无关线性无关的，并且从的，并且从 这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有 的话），所得的部分组都的话），所得的部分组都线性相关线性相关。 例例 7 在向量组中，在向量组中， 为它的一个极大线性无关组。为它的一个极大线性无关组。 )1, 4 , 1, 2(),4 , 5 , 2, 4(),1 , 3 , 1, 2( 321 21, 首先，由首先，由 与与 的分量不成比例，的分量不成比例， 线性无关。线性无关。 21, 1 2 再添入再添入 以后，由以后，由 可知所得部分组线可知所得部

31、分组线 性相关，不难验证性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组也为一个极大线性无关组 。 3 213 3 32, 第38页/共83页 40 定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无一向量组的一个部分组称为一个极大线性无 关组，如果这个部分组本身是关组，如果这个部分组本身是线性无关线性无关的，并且这的，并且这 向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。 向量组的极大线性无关组具有的向量组的极大线性无关组具有的性质性质： 性质性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 性质性质2 一向量组的任意两个

32、极大线性无关组都等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。 性质性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。向量。 第39页/共83页 41 定义定义9 向量组的极大线性无关组所含向量组的极大线性无关组所含向量的个数向量的个数称称 为这个为这个向量组的秩向量组的秩。 如果向量组如果向量组 能由向量组能由向量组 线线 性表出，那么性表出，那么 的极大线性无关组可由的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过的秩不超过 的秩。的秩。 s , 21s , 21 s , 21 s , 21 s ,

33、 21s , 21 定理定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为 一个极大线性无关组。一个极大线性无关组。 推论推论 秩为秩为r的向量组中任意含的向量组中任意含r个向量的个向量的线性无关线性无关 的部分组的部分组都是极大线性无关组。都是极大线性无关组。 第40页/共83页 42 例 求向量组 ,) 1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1 ( 321 TTT aaa TT aa)0 , 1 , 1 (,) 1 , 1 , 1 ( 54 321 ,aaa54321 ,aaa 的秩，并求出它的一个最大无关组. 解 显然， 线性无

34、关， 中 任意一个向量都可由 线性表示，由 321 ,aaa 定义8， 为向量组的一个最大无关组，321 ,aaa 且所给向量组的秩为3. 第41页/共83页 43 下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系： 设矩阵 n m mnmm n n nm aaa aaa aaa A 21 2 1 21 22221 11211 其中 为矩阵 的行向量组， m , 21 A n , 21 称为矩阵 的列向量组. A 第42页/共83页 44 定义定义10 矩阵的矩阵的行秩行秩是指它的行向量组的秩，矩阵是指它的行向量组的秩，矩阵 的的列秩列秩是指它的列向量组的秩。是指它的列向量组的秩。 定义定义11 在一个

35、在一个m n矩阵矩阵A中任意选定中任意选定k行和行和k列，位于列，位于 这些选定的行和列的交点上的这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序个元素按原来的次序 所组成的所组成的k k级矩阵的行列式级矩阵的行列式，称为，称为A的一个的一个k级级子式子式 。 1最低阶为最低阶为 阶，阶， 最高阶为最高阶为 阶阶. .min, m n nm 矩阵共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式. . kk mn C Ck 第43页/共83页 45 如：矩如：矩 阵阵 1393 0134 2396 A 取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素， 12 6

36、2 31 二阶子式是二阶子式是 组成的组成的 的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .A易见易见 而在这个矩阵中而在这个矩阵中, , 9 13 01 23 都是矩阵都是矩阵 的子矩阵的子矩阵. .A 1393 0134 第44页/共83页 46 引理引理2 设设 ，n维向量组维向量组 线性无关的线性无关的 充要条件是矩阵充要条件是矩阵 nr r , 21 rnrr n n r aaa aaa aaa A 21 22221 11211 2 1 中中存在一个不为零的存在一个不为零的r级子式级子式。 第45页/共83页 47 定理定理10 矩阵的行秩等于列

37、秩矩阵的行秩等于列秩 。 由此由此, A的列秩的列秩(A的行秩的行秩r1) A的行秩的行秩(A的列秩的列秩r2), 即有即有 。因此。因此 21 rr 21 rr 证证 设矩阵设矩阵A的行秩为的行秩为r1,A的列秩为的列秩为r2。 那么那么, A中有中有r1个行向量线性无关个行向量线性无关,由引理由引理2 统称矩阵的行秩和列秩为统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩矩阵的秩,矩阵矩阵A的秩一般的秩一般 记为记为R(A)。规定零矩阵的秩为。规定零矩阵的秩为0。 21 rr A中有一个中有一个r1级子式级子式D不为零不为零,那么那么A中子式中子式D所在的所在的 r1个列向量也线性无关个列向量也线性无关;因

38、而因而 第46页/共83页 48 定理定理11 矩阵矩阵A的秩为的秩为r的充要条件是它有一个不为的充要条件是它有一个不为 零的零的r阶子式而所有阶子式而所有r+1阶子式全为零阶子式全为零,这时这时,这个非零这个非零 的的r级子式所在的行和列就分别为级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列的行向量组和列 向量组的极大线性无关组。向量组的极大线性无关组。 1.若若A为为m n矩阵矩阵,则则A的秩不会大于矩阵的行数的秩不会大于矩阵的行数,也也 不会大于矩阵的列数不会大于矩阵的列数,即即r(A) minm,n; 2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数为非零常数; 3.若若r(A

39、)=r,则则A中所有大于中所有大于r阶的子式全为阶的子式全为0,即即r为为A 中不等于中不等于0的子式的最大阶数的子式的最大阶数; 4.若若A的所有的所有r+1阶子式都为阶子式都为0,则则r(A)r+1; 5.若若A中存在一个中存在一个r阶子式不为阶子式不为0,则则r(A) r. 第47页/共83页 49 例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。 111 111 111 111 a a A a a 第48页/共83页 50 作作 业业 P72P72：1111，1515（1 1），），1919（2 2 ） 习题一习题一 P 71P 71： 2 2，4 4（3 3），），5,65,6 第49页/

40、共83页 51 矩阵的初等行变换都是可逆的矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是且其逆变换也是 同类的初等行变换。同类的初等行变换。 定义定义12 下面的三种变换称为下面的三种变换称为矩阵的矩阵的初等初等行行变换变换: (1)对换矩阵两行的位置对换矩阵两行的位置 对换第对换第i行和第行和第j行的位置记为行的位置记为r(i,j). (2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第第i行乘以行乘以k记为记为r(i(k) (3)把矩阵一行所有元素的把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的 元素上去元素上去第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行上去

41、记为行上去记为r(j+i(k) 第50页/共83页 52 定理定理12 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等经过有限次初等行行变换变为变换变为B,则则A 的行向量组与的行向量组与B的行向量组的行向量组等价等价,而而A的任意的任意k个列向量个列向量 与与B中对应的中对应的k个列向量个列向量有相同的有相同的线性关系线性关系。 例例11 求下列向量组求下列向量组 )4 , 3 , 6, 2( ),3 , 2 , 6 , 0(),3 , 0 , 2 , 1( ),3 , 1, 4 , 2(),3 , 2 , 2, 1( 5 43 21 的一个极大线性无关组与秩。的一个极大线性无关组与秩。 解解 作作 43

42、333 32012 66242 20121 A 23690 12230 26000 20121 )3(14( )2(13( )2(12( r r r 行摆列变换法或行摆列变换法或列摆行变换法列摆行变换法。 第51页/共83页 53 26000 23690 12230 20121 )4, 3( )3, 2( r r 23690 12230 26000 20121 26000 13000 12230 20121 )3(23(r 00000 13000 12230 20121 )2(34(r 所以所以 为一个极为一个极 大无关组，且秩等于大无关组，且秩等于3。 421 , 第52页/共83页 54

43、行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:若有零行若有零行,则零行全部在矩阵的下方则零行全部在矩阵的下方; 从第一行起从第一行起,每行第一个非零元素前面零的个数逐行每行第一个非零元素前面零的个数逐行 增加增加.对于这样的矩阵，可画出一条对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线阶梯线,线的下方线的下方 全为全为0;每个台阶只有一行每个台阶只有一行,台阶数即是非零行数台阶数即是非零行数.它的它的 秩就是非零行的个数秩就是非零行的个数. 20 520 800 1 13 6 0 0000 32 200 000 1 10 4 0 0000 6 5 1 0 例如例如 第53页/共83页 55 A r2 2 r1 r3 2 r1

44、r4 3 r1 2-2 400 200 1 1-1 2 1 -600-3 1 0 5 1 r3 r2 r4 +3 r2 2 1 r 2 2-2 200 000 1 1-1 1 0 0000 1 0 5 1 5 1 r 3 r4 r3 =B1 2-2 200 000 1 1-1 1 0 0000 1 0 1 0 因为行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵B1有有3个非零行，所以个非零行，所以R(A)=3 例例 用初等变换求矩阵用初等变换求矩阵A的秩。的秩。 A 2-2 8-42 -24-2 1 1-1 0 3 0-63-6 1 2 3 4 第54页/共83页 56 如果继续施行如果继续施行行初等变换行初等

45、变换，还可以化为更简单的形，还可以化为更简单的形 式式 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B2的特点是，的特点是，非零行的第一个非零元非零行的第一个非零元 素为素为1，且，且1所在列的其他元素都为所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为，这样的矩阵为 行最简形矩阵行最简形矩阵。 B1 r1 r2 r1 r3 2 1 r 2 0-2 200 000 1 1-2 1 0 0000 0 0 1 0 =B2 0-2 100 000 1 1-2 0 0000 0 0 1 0 2 1 第55页/共83页 57 若再经若再经列初等变换列初等变换，还可以化为更简单的形式，还可以化为更简单的形式 c2 2c1 c4 2c1

46、2 1 c4 c3 c (2,3) c(3,5) 00 100 000 1 10 0 0000 0 0 1 0 2 1 00 100 000 1 10 0 0000 0 0 1 0 0 =B3 00 010 100 1 10 0 0000 0 0 0 0 0 称为称为A的的等价标准型等价标准型。 =B2 0-2 100 000 1 1-2 0 0000 0 0 1 0 2 1 .为零 单位矩阵，其余元素全标准型的左上角是一个特点：特点： 第56页/共83页 58 标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nm r OO OE F . , 的的行行数数行行阶阶梯梯形形

47、矩矩阵阵中中非非零零行行 就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm 定义定义13 如果矩阵如果矩阵A经有限次经有限次初等变换初等变换化成化成B，就称，就称 矩阵矩阵A与与B等价等价。 第57页/共83页 59 矩阵的等价关系具有下列性质：矩阵的等价关系具有下列性质： (1)反身性反身性：A与与A等价。等价。 (2)对称性对称性：如果：如果A与与B等价，那么等价，那么B与与A等价。等价。 (3)传递性传递性：如果：如果A与与B等价，等价， B与与C等价，等价， 那么那么A与与C等价。等价。 定理定理13 如果矩阵如果矩阵A与与B等价，那么等价，那么R(A)R(B

48、) 。 定理定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与与B等价等价 ，当且仅当它们有相同的等价标准形。，当且仅当它们有相同的等价标准形。 推论推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩 相等。相等。 第58页/共83页 60 定义定义设设A为为n阶方阵阶方阵,若若AE,则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵; 否则称为否则称为降秩矩阵降秩矩阵. 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合 ，称为一个等价类，标准形，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最是这个等价类中最 简单的矩阵简单的矩阵. A 第5

49、9页/共83页 61 小结小结 、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（Elementary transformationElementary transformation） 初等行初等行( (列列) )变换变换 2 2经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵AB 就称矩阵就称矩阵AB与与等等价价AB ;反反身身性性 ，记作，记作 3 3矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;对对称称性性. 传传递递性性 第60页/共83页 62 利用初等利用初等行行变换可把矩阵变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .A 利用初等利用初等行行变换，也可把矩阵化为变换，也可

50、把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵. . 4 4 利用初等利用初等行行变换，再利用初等变换，再利用初等列列变换最后可把矩变换最后可把矩阵阵 化为化为标准形矩阵标准形矩阵. . 5 5矩阵的秩矩阵的秩 最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数 行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数 第61页/共83页 63 定义定义14 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩经过一次初等变换得到的矩 阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵。 初等矩阵都是方阵，互换初等矩阵都是方阵，互换E的第的第i行与

51、第行与第j行（或者互行（或者互 换换E的第的第i列与第列与第j列）的位置，得列）的位置，得 ,j 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 O O O iE 第62页/共83页 64 用常数用常数k乘乘E的第的第i 行（或行（或i列），得列），得 行；行；第第i 1 1 1 1 )( O O kkiE 把把E的第的第j行的行的k倍加倍加 到第到第i行（或第行（或第i列的列的 k倍加到第倍加到第j列）得列）得 行行第第 行行第第 j i 1 1 1 1 )( O O O k kjiE 第63页/共83页 65 初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵 初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 第64页/共

52、83页 66 这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j) E(i(k)-1=E(i(1/k), E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定理定理15 对一个对一个sn矩阵矩阵A作一初等作一初等行行变换就相当于变换就相当于 在在A的的左边乘上相应的左边乘上相应的ss初等矩阵初等矩阵；对；对A作一初等作一初等列列 变换就相当于在变换就相当于在A的的右边乘上相应的右边乘上相应的nn初等矩阵初等矩阵。 推论推论1 矩阵矩阵A与与B等价的充分必要条件是有初等方等价的充分必要条件是有初等方 阵阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt

53、 第65页/共83页 67 推论推论2 nn矩阵矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一可逆的充分必要条件它能表成一 些些初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积。 推论推论3 两个两个sn矩阵矩阵A、B等价的充分必要条件为等价的充分必要条件为 存在可逆的存在可逆的ss矩阵矩阵P与可逆的与可逆的nn矩阵矩阵Q使使 A=PBQ 推论推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成 单位矩阵。单位矩阵。 第66页/共83页 68 初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 方法是：方法是： ，有，有时，由时，由当当 l PPPAA 21 0 , 1 1 1 1 1 EAPPP ll ,

54、 11 1 1 1 1 AEPPP ll 及及 EPPPAPPP llll 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 AE EAPPP ll 1 1 1 1 1 . )(2 1 AEEA EAnn 就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把 施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对 第67页/共83页 69 例例 设设 012 411 210 A 求求A-1。 解解 对对(AE)作初等作初等行行变换变换 100 010 001 012 411 210 )(EA 100012 001210 010411 )2, 1(r 123200 001210 010411 )3(23(r 1208

55、30 001210 010411 )2(13(r 2 1 1 2 3 100 124010 112001 )1(21( )2(31( )1(32( r r r 第68页/共83页 70 2 1 1 2 3 124 112 1 A 2 1 1 2 3 100 124010 112001 )(EA 第69页/共83页 71 1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型同且变换类型同 3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性 2 2. .A 初等变换初等变换 B

56、. BA 4. 4. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. . 一次初等变换一次初等变换 5. 5. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: : ;1EA构造矩阵 ., ,2 1 AE EAEA 对应部分即为右边后 化为单位矩阵将施行初等行变换对 第70页/共83页 72 51213 231,22 31031 AB AXXB 用初等变换解矩阵方程：用初等变换解矩阵方程： 思考题思考题 , ,求，求，使使X . 1B A 矩矩阵阵 的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵 )()( 11 BAEBAA 即即 )(BA 初等行变换初等行变换 E B

57、A 1 第71页/共83页 73 定义定义15 设设V为为n维向量的集合，如果维向量的集合，如果V非空且对于非空且对于 向量加法及数乘运算封闭向量加法及数乘运算封闭，即对任意的，即对任意的 和常和常 数数k都有都有 就称集合就称集合V为一个为一个向量空向量空 间间。 .,VkV ,V 例例1 n维向量的全体维向量的全体Rn构成一个向量空间。构成一个向量空间。3维向量维向量 可以用有向线段来表示，所以可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原也可以看作以坐标原 点为起点的有向线段的全体。点为起点的有向线段的全体。 例例2 n维零向量所形成的集合维零向量所形成的集合0构成一个向量空间构成一个

58、向量空间 。 第72页/共83页 74 例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. . 122 0, T nn VxxxxxR、 222 1, T nn VxxxxxR、 解解 2121 0,0 TT nn ifaaVbbV 221 0, T nn ababV有有 21 ,0, T n kRkkakaV 所以是一个向量空间所以是一个向量空间. . 1 V 解解 22 1 T n ifaaV 22 2, 2222, T n kaaV 所以不是一个向量空间所以不是一个向量空间. . 2 V 第73页/共83页 75 例4 集合,|), 0 , 0 ,( 11 RxxxxxV n T n 是一个向量空间. 因为如果,), 0 , 0 ,( 1 Vaa T n ,), 0 , 0 ,( 1 Vbb T n ,), 0 , 0 ,( 11 Vbaba T nn 则 .), 0 , 0 ,(, 1 VaaR T n 例5 集合, 1|),( 1 21