同济大学高等数学第七数列的极限PPT学习教案

1、会计学1 同济大学高等数学第七数列的极限同济大学高等数学第七数列的极限 如果按照某一法则，对每个 n x nN n x ，对应着一 个 确定的实数 ，这些实 数 按照下标n从小到大排列 得到的一个序列 123 , n x xxx 就叫做数列数列，简记为数列 . n x 数列中的每一个数叫做数列的项项，第n项 叫做数列 的一般项一般项或或通项通项。 n x 1、数列、数列 定义定义 一一 、数列极限的定义、数列极限的定义 第1页/共28页 例例 如如 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n ;,)1( , 1 , 1, 1 1

2、 n 1 ( 1) n 注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x (2).数列是整标函数 ),(nfxn . Nn 第2页/共28页 (1) 有界性有界性 在数轴上在数轴上,有界数列的点有界数列的点 n x都落在闭区间都落在闭区间-M,M上上. 数列数列 xn 有上界有上界, ,即存在即存在M, , 使使xnM (n=1,2,). . 数列数列 xn 有下界有下界, ,即存在即存在m, ,使使xn m(n=1,2,). . | 有界；否则，称无界有界；否则，称无界称数列称数列 成立，成立，恒有，恒有，若

3、存在正数，若存在正数对数列对数列定义定义 n nn x MxMx 2.数列的性质 第3页/共28页 , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n 1 ( 1)nn n ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n 1 ( 1)n , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n 有界有界 有界有界 有界有界 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 无界无界 有界有界 判断下列数列判断下列数列 第4页/共28页 n x如果数列满足条件如果数列满足条件 121 , nn xxxx 单调增加单调

4、增加 121 , nn xxxx 单调减少单调减少 单调数列单调数列 (2) 单调性单调性 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 单调增加单调增加 单调减少单调减少 判断下列数列的单调性判断下列数列的单调性 第5页/共28页 , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n 1 ( 1)nn n ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n 1 ( 1)n , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n 单调增加单调增加 无单调性无单调性 无单调性无单调性 第6页/共28页 观察下列数列当

5、观察下列数列当 n 无限增大时，无限增大时， ,2 1 , 0 从上面可以看出从上面可以看出 : 当当 n 时时 , 无限地接近于无限地接近于 1 , 数列数列(2)从原点的两侧无限地接近于从原点的两侧无限地接近于0, 一般项一般项的变化趋势的变化趋势: : n x 1 1 (2)( 1): 2 n n , 2 1 )1( 1 n n : 1 )1( n n 数列数列 (1) 从从 的右侧的右侧 1 x xo 1 2 2 3 3 4 xo 2 1 4 1 8 1 . 1 1时时的的极极限限当当为为数数列列称称 n n n . 2 1 )1(0 1 时时的的极极限限当当为为数数列列称称 n n

6、n 3 , 2 4 , 3 5 , 4 6 , 5 7 , 6 8 , 7 1 , n n 1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16 1 16 第7页/共28页 3.3.数列极限的定义数列极限的定义 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近 于一个确定的常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称 数列xn收敛于a, 记为 ax n n lim ， 或)(naxn 如果数列没有极限，就说数列是发散的如果数列没有极限，就说数列是发散的 第8页/共28页 , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1

7、 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x趋势不定 收 敛 发 散 第9页/共28页 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察:当n无限增大时, 1 ( 1) 1 n n x n 无限接近于1. 引例引例 观察数列 1 ( 1) 1 n n n 当时的变化趋势. 1 n x 1 11 ( 1)n nn 第10页/共28页 1 1, 10000 n x 有 1 , 10000 给定 10000,n 只要时 1 n x 1 11 ( 1)n nn ,

8、100 1 给定给定 , 100 1 1 n 由由 ,100时时只要只要 n, 100 1 1 n x有有 6 110 , n x 有 6 10 , 给定 6 10,n 只要时 0,给定 1 ( ),nN 只要时1. n x有成立 第11页/共28页 数列极限的精确定义数列极限的精确定义 ax n n lim ， 当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. 或)(naxn 第12页/共28页 , 0 任任意意给给定定

9、 ,) 1 (时时只要只要 Nn.1成立成立有有 n x 只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。 Nn 确保 1 n x 引入符号引入符号N和和 来刻化无限增大和无限接近。来刻化无限增大和无限接近。 注：0 就会暂时确定下来, 一旦给定, 以此来确定相应的N. 第13页/共28页 n x n xa 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . axn n lim或)(naxn 则称该数列 n x 的极限为 a , 定义:设 为一数列,如果存在常数a,对于任意给 定的正数 (不论它多小)总存在正整数N,使得当nN 时,不等式 都成立， 数列极限的精确定义数列极限

10、的精确定义 第14页/共28页 都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),( aa 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 x a a a 2 2 N x 1 x 2 x 1 N x 3 x 注意：注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. 数列极限的几何意义数列极限的几何意义 , 0N 使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项 , 321 NNN xxx 注： 越小,表示 n x与a接近得越好. axn n lim 第15页/共28页 a nN a a n x n 目的：目的：lim 0, n n n xa NnN

11、axa 要找到一 个自然数 使得时，有 第16页/共28页 N a a a 越来越小，N越来越大！ n x n 第17页/共28页 , ) 1( n n x n n 证明数列 n x的极限为1. 证证: 1 n x 1 ) 1( n n n n 1 ,0欲使,1 n x即, 1 n 只要 1 n 因此 , 取, 1 N则当Nn 时, 就有 1 ) 1( n n n 故 1 ) 1( limlim n n x n n n n N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 注：注： 第18页/共28页 , ) 1( ) 1( 2 n x n n 证明.0lim n n x 证证:0 n x

12、0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n1 1 n , ) 1 ,0(欲使,0 n x只要, 1 1 n 即n 取, 1 1 N则当Nn 时, 就有,0 n x 故 0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n ,0 1 1 1 nn n x 故也可取 1 N 也可由 2 )1( 1 0 n n x . 1 1 N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明说明: 取1 1 N 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页 ,1q证明等比数列,1 12n qqq 证证:0 n x0 1 n q , ) 1 ,0(欲使 ,0 n x只要,

13、1 n q即 ,lnln) 1(qn 亦即 因此 , 取 q N ln ln 1 , 则当 n N 时,就有 0 1n q 故 0lim 1 n n q . ln ln 1 q n 的极限为 0 . 1 n q 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页 练习练习1 用定义证明lim1 1 x n n 证明 对于任意给定的 要使0 1 |1|1| 11 n n x nn 只要 1 1n 取自然数 1 1N 则当 时，有 , 所以 nN1 n x lim1 1 x n n 注：0 就会暂时确定下来, 一旦给定, 以此来确定相应的N. 第21页/共28页 2 3ba a b 22 ab

14、 n ab ax 证证: 用反证法.axn n lim及,limbxn n 且. ba 取, 2 ab 因,limaxn n 故存在 N1 , , 2 ab n ax 从而 2 ba n x 同理, 因,limbxn n 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 2 ba n x 1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 2 ba 2 ab 2 ab 假设 22 ab n ab bx n ba x 22 3ab , 2 ab n bx 从而 2 ba n x 矛盾.因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, ,max 21 NNN 取 故假设不真 ! n x满足

15、的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页 证证: 设,limaxn n 取,1,N则当Nn 时, 从而有 n xaaxna1 取 ,max 21N xxxMa1 则有. ),2,1(nMxn 由此证明收敛数列必有界. aaxn)( , 1axn 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( : n n x反例 第24页/共28页 若,limaxn n 且0a,N N则Nn 当 时, 有 0 n x , )0( . )0( 证证: 对 a 0 ,取, 2 a ,N N则,时当Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推论推论: 若数列从某项起0 n x,limaxn n 且 0a则 )0( . )0(用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页 1. 数列极限的 “ N ” 定义及 应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 机动 目录 上页 下页 返