专题五立体几何.doc

1、专题五立体几何第三讲 空间向量与立体几何、选择题1 .以下命题中，不正确的命题个数为（）已知ABAr）是空间任世四点,W1 AB BC+Tw-DA=0;若% c为空间一个基底.则 q+ b. b I Ct c I u构成空 闾的另一个基底*对空佃任盘点门和不典线三点Aa -D|: J - 解析：中（几 U-/A- AB= Aft-AB=1 而G - nt（ -気-Tua中（前一Pb -衣面=斎贰工丽辛巾（BJA I瓦花+而= rvI =耳成/帀几所以选a.答案：A乳八、玖CD能牢何不戈血的四点NL満足* AC = O, AC - AD=7h AD-0, M A TK.U U(:入钝fflZSf

2、flJgIL锐角三角形t覚角三角形I).不确立解析-Tic-AC -AD AB- 新 *FAB(T* BD-(AC A13) (AO AB)=AlF I ARp0_JDBC是锐角.同理可证/ DCB,/BDC都是锐角./BCD是锐角三角形.答案：B4 如图所示，在正方体AF = 3aC,贝 U()A . EF至多与 AiD、AC之一垂直B . EF是AiD、AC的公垂线C . EF与BDi相交D . EF与BDi异面解析：设AB= 1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直Ai(1,0,i),线为y轴，DD 1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0), A(1,0,0), C(

3、0,1,0), E 3，0, 3，F(y ty .0 i r)Kl Jt0) I)! (0,0,1), At D=(- 1,0, - 1),EF-Hlh t Ai 1) EF= AC EF=O,从而 EF# BDi,EF丄几D, EF丄AG答案：D5.(2010山东烟台)二面角的棱上有 A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知AB= 4, AC = 6, BD = 8, CD = 2,17,则该二面角的大aHB. 45C. 60 ( )A.150D . 120EU A|CD|a = |CAls I iTLr- I |BD|Z I 2 CA 苍 2忑C B

4、D-L + 半 + 曾 f 2 X 6 X cos( CAT BD 一角的大小为60S故选G答案：C、填空题6.已知四边形AI3CD中，百一但5d+舟b 8小对角线4G RD的屮点分別为氐F,则卜审一(用叭乩盅衣示h解折；齐一芯 AH I 帝，又 EF-ECI CO-F7jF荊戎相加，得 2 FF=(FA I FO I AB+CO+(BF hm, TE是AC中点 故EC-0,3理萤丨工齐-0, 所以2 eP=7Tj卜玮答案：3a + 3b 5c7.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ ACB = 90, AAi= 2, AC = BC= 1,则异面直线直线分别为x、y、z轴建立空间直角

5、坐标系，Ai(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，小为解析：由茶件 Jepca - 7b=otab - 7jn=otcr)=GA(2，二120, A 二面B h 8 cj = 6 a+ 6 b JOuAiB与AC所成角的余弦值是,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CCi所在ACs( A. TiF AO I寸吋ITTm e ”8.设M、N是直角梯形 ABCD两腰的中点，DE丄AB于E(如图).现将 ADE沿DE折起, 使二面角 A DE B为45此时点 A在平面BC DE内的射影恰为点 B,贝U M、N的连线与AE所在角的大小等于答案：90jt171AVx, y,

6、 z轴，建立空间直角坐标系.9.如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，棱长为a, M , N分别为AiB和AC上的点,，解析:分别以CiBi、AiM = AN = 哼，则MN与平面BBiCiC的位置关系是CiDi, CiC所在直线为2 2N 3*, 3*, a ,陋鶯=(*0:又 Cl (0,0,0), U t 化G 戊=仙伽0*tG用是平面的法向匯丫且平面 BFCtC,MN# 平面 BB, C, G答案：平行三、解答题AAi= .3 AD 丄10如图，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB = AD = 2, DC = 2.3,DC, AC丄BD , E为垂足.(1)

7、求证：BD 丄 AiC;(2) 求二面角 Ai BD Ci的大小；(3) 求异面直线AD与BCi所成角的余弦.解：在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，T AiA丄底面ABCD , AC是AiC在平面ABCD上的射影./ BD 丄 AC,. BD 丄AiC.x轴、y轴、z轴如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DDi所在的直线分别为 建立空间直角坐标系.连结 AiE、CiE、AiCi，与(i)同理可证 BD 丄AiE, BD丄 CiE./ AiECi为二面角Ai BD Ci的平面角,3 3由 Ai(2,0, ；3), Ci(0,2 .3, :3), E 2,亍，。，； 一缶环云=一劭讐用*

8、 3 g* EQ = +3 = 0”44即E為丄玖二At - BD- Ci 的大小为(3)上图中，曲 rXOfttO)M(2tOtD),仃(0r2 i3t得 AD=(-2.0,0),BG-(j5.A AD* U(6,1 AD|K.cos(八 D于 IU ).I AD| IIEGI 2a11. （2010 山东，19）如图，在五棱锥 P ABCDE 中，PA丄平面 ABCDE ,AB / CD ,AC / ED ,AE / BC,/ ABC = 45 AB = 2 .2, BC = 2AE = 4，三角形 PAB 是等腰三角形.(1) 求证：平面 PCD丄平面PAC ;(2) 求直线PB与平面P

9、CD所成角的大小；求四棱锥P ACDE的体积解：(1)证明：在厶 ABC 中，因为/ ABC = 45 BC = 4, AB = 2羽，所以 AC2 = AB2+ BC2 2AB- BCcos45 = 8,因此 AC = 2 ,2故 BC2= AC2+ AB2，所以/ BAC = 90又 PA丄平面 ABCDE , AB / CD ,所以CD丄PA, CD丄AC.又 PA、AC?平面 PAC, 且 PAA AC = A ,所以CD丄平面PAC, 又 CD?平面PCD,所以平面PCD丄平面PAC.解法一：因为 PAB是等腰三角形，所以 PA= AB = 22,因此PB= PA2 + AB 2=4

10、.又 AB / CD.所以点B到平面PCD的距离等于点 A到平面PCD的距离.由于 CD 丄平面 PAC, 在 RtA PAC 中，PA= 2 2, AC = 2 2，所以 PC = 4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离.所以B到平面PCD的距离为h = 2.设直线PB与平面PCD所成的角为0,则 sin 0= PB = 4解法二：由知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以 AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PAB是等腰三角形，所以PA = AB = 2.2,又 AC = 2 2，因此 A(0,0,0) , B(2 .2, 0,0), C(0,

11、2 , 2, 0), P(0 , 0,2 , 2),因为 AC / ED , CD 丄 AC ,所以四边形ACDE是直角梯形.因为 AE = 2, / ABC = 45 AE / BC ,故 CD = AE-sin 45 = 2 只舟= 2,所以 D( ；2, 2 ；2, 0).因为 CP= (0, 2 ,；2, 2 ,2), CD = ( ,2 0,0)设m= (x, y, z)是平面PCD的一个法向量，则 m CP= 0, m Cd = 0，解得x= 0,y= z,取 y=1，得 m= (0, 1, 1),又 BP = ( 2羽,0,2匹),设B表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角，

12、则1 0-鉴斗価以“手，Iml IBPI 2*因此直线PB与平面PCD所成的角为n6因为AC/ ED , CD丄AC,所以四边形ACDE是直角梯形.因为 AE = 2,Z ABC = 45 AE / BC,所以/ BAE= 135 因此/ CAE = 45故 CD = AE sin 45 = 2乎=承，ED = AC AE cos 45 =2 .2 22 = 2,所以S四边形 ACDE =2 t2 2 X ：2= 3.APA丄平面 ABCDE.a Vp-acde = 3X 3X 2 2= 2 .212. (2010福建)如图圆柱 001内有一个三棱柱 ABC A1B1C1, 棱柱的底面为圆柱底

13、面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)证明：平面 A1ACC1丄平面B1BCC1;设AB = AA1.在圆柱001内随机选取一点，记该点取自 于三棱柱ABC A1 B1C1内的概率为p.(i )当点C在圆周上运动时，求 p的最大值；(ii )记平面A1ACC1与平面B10C所成的角为 &0 9 90 ).当p取最大值时，求 cos解：解法一： 证明：I A1A丄平面ABC, BC?平面ABC,： A1A丄BC.又 ACA AiA= A, BC 丄平面 AiACCi.而 BC?平面 BiBCCi,所以平面 AiACCi丄平面BiBCCi.故三棱柱 ABC AiBiCi的体积Vi(2)( i

14、)设圆柱的底面半径为r，则AB = AAi = 2r,iAC BC 2r = AC BC r .又 AC2 + BC2= AB2= 4r2, AC BC AC + BC2当且仅当AC = BC= 2r时等号成立.i，当且仅当AC= BC = 2r，即n1从而，Viw 2r3.3而圆柱的体积 V= n2 2r = 2 n3,故P= vj w-3 =v 2 n(ii )由(i )可知，p取最大值时，OC丄AB.于是，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系0 xyz(如图),则 C(r,0,0), B(0, r,0), Bi(0, r, 2r). BC丄平面 AiACCi, BC = (r, r,0)是

15、平面AiACCi的一个法向量.设平面BiOC的法向量n = (x, y, z),r.r0.Atrvn-Of取z= i，得平面BiOC的一个法向量为 n = (0, 2,i).IF*解法二：(i)同解法一.=1AC BC 2r = AC BC r .设/ BAC = a a90，贝V AC = ABcos a= 2rcos a, BC= ABsin a= 2rsin a,由于AC BC = 4r2sin aos a= 2r2sin 2 a 2r2，当且仅当 sin 2 a= 1 即 a= 45寸等号成立故i3Viw 2r3.而圆柱的体积 V =n2 2r = 2 n3,故p= p w 化=一，当且仅当