一组勾股定理探究题.doc

1、一组勾股定理探究勾股定理是初中数学中的重要定理之一它揭示了一个直角三角形三条边之 间的数量关系，反映了三边之间特殊的平方关系。在应用定理解证题后，进行深 入探究，既有利于培养学生的分析问题和创造性能力，乂能使勾股定理应用的教 学余音不绝。近些年来，出现了很多与勾股定理相关的探究题，现举儿例说明。一、有关勾股定理证明方面的探丸题图1图2【例题1】如图b是用硕纸板 做成的两个全等的直角三角形，两直 角边的长分别是a和b,斜边长是co 如图2,是以c为直角边的等腰直角 三角形。请你开动脑筋，将它们拼成 一个能证明勾股定理的图形。（1）画出拼成的这个图形的示 意图，写出它是什么图形？（2）用这个图形证

2、明勾股定理。（3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能利用图1中所给的直角三角形拼成另一种可以证明勾股定理的图形吗？请画岀拼后的示意图（无需证明）。 解：（1）示意图如图3,是直角梯形。（2）根据梯形面积公式知：S梯形二* （a+b） 2 ;同时该梯形面积等于所给三个三角形的面积之和：S梯形二2X（* ab） + j c2所以，S 梯形二 * (a+b) =2X(* ab) + c化简得：a+b：=c_（3）如图4,等等。a 6图3二、有关勾股数规律方面的探究题【例题2】观察下列表格：猜想列举3、4、5324+55、 12、 135【12+137、 24、 257二24+2513、 b c13

3、2=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、C的值。解：通过观察，每组勾股数的第一个都是奇数，3, 5, 7, 9那么第n个奇数为2n+l设第二个数为x,第三个数为y则(2n+l) 2 +x2 =y2/.4n2 +4n+l= (y+x) (y-x)通过观察，每组勾股数中，第三个数与笫二个数相差都为1 y-x二 1, /. y+x=4n2 +4n+l通过这两个就可求出x=2n2+2n, y=2n +2n+l本题中 2n+l二 13, n二6,那么，b二2X62 +2X6=84, c=2X62+2X6+1=85三、有关勾股定理拓展方面的探究题【例题3 A ABC中，BC=a, AC二b, AB二c

4、,若ZC二90 ,如图5,根据勾股 定理，则a2+b2=c若AABC不是直角三角形，如图6和图7,请你类比勾股 定理，试猜想/+戸与的关系，并证明你的结论。解：若AABC是锐角三角形，则有a2+b2c：:若AABC是钝角三角形，ZC 为钝角，则有a2+b20, x0/. 2ax0 a：+b2c=当AABC是钝角三角形时，证明：如上图9,过点B作BD丄AC,交AC的延长线于点D。设CD为x,则有DBW-x2根据勾股定理得(b+x) :+ (a：-x：)即b+2bx+x + ax = c/. a+b_+2bx=cVb0, x02bx0a2+b2 S3表示，请你确定Si、S, S3之间的关系并加以证明;(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别 用S】、S, S3表示，为使S】、S, S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形 应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.图10解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a. b. c,则cW+b：。(1) SX=S2+S3 o (2) S1=S:+S3 o 证明如下:(3)当所作的三个三角形相似时，S讦S?+