求解微分方程

1、求解微分方程 数学实验数学实验 Experiments in Mathematics 微微 分分 方方 程程 求解微分方程 实验目的实验目的 实验内容实验内容 MATLAB 2、学会用、学会用Matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解. 实验软件实验软件 1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解. 1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解. 4 4、实验作业、实验作业. . 2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例数学建模实例 求解微分方程 求微分方程的数值解求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义（一）常微分

2、方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径 （三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解 返 回 求解微分方程 1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题、目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗、目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3、地中海鲨鱼问题、地中海鲨鱼问题 返 回 数学建模实例数学建模实例 求解微分方程 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3

3、 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程 0 2 2 dx yd 应表达为：D2y=0. 例例 1 求 2 1u dt du 的通解. 解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t) To Matlab（ff1） 结 果：u = tg(t-c) 求解微分方程 例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0( 0294 2 2 yy y dx dy dx yd 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结 果 为 : y =3e-2xsin（5x） To

4、 Matlab（ff2） 求解微分方程 例例 3 求微分方程组的通解. zyx dt dz zyx dt dy zyx dt dx 244 354 332 解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c

5、1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3） 返 回 求解微分方程 微分方程的数值解微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 。的相应近似值 求出准确值，值处，即对的若干离散的 开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程 nn n yyxyxy xxxxx y ,y )(,),( )

6、,y(x x )y(x y)f(x,y 212 1210 0 00 返 回 求解微分方程 （二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径 00 1i )y(x y)f(x,y , 1, 2 , 1 , 0 , x y nihxi解微分方程：可用以下离散化方法求设 1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有 h xyhxy xy )()( )( 故有公式： 1-n,0,1,2,i )( ),( 00 1 xyy yxhfyy iiii 此即欧拉法欧拉法。 求解微分方程 2、使用数值积分、使用数值积分 对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：

7、)(,()(,( 2 )(,()()( 11 1 1 1 iiii ii x x ii xyxfxyxf xx dttytfxyxy i i 实际应用时，与欧拉公式结合使用： , 2 , 1 , 0 ),(),( 2 ),( )( 11 )1( 1 )0( 1 kyxfyxf h yy yxhfyy k iiiii k i iiii 的计算。然后继续下一步 ，取时，当满足，对于已给的精确度 ）（ y y 2i 1 11i )( 1 )1( 1 k i k i k i yyy 此即改进的欧拉法改进的欧拉法。 故有公式： )( ),(),( 2 00 111 xyy yxfyxf h yy iii

8、iii 求解微分方程 3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔法库塔法、线性多步法线性多步法等方 法。 4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时 （k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回 求解微分方程 （三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解 t，x=solver（f,ts,x0,options） ode45 ode

9、23 ode113 ode15s ode23s 由待解 方程写 成的m- 文件名 ts=t0，tf， t0、tf为自 变量的初 值和终值 函数的 初值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变 量值 函数 值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 求解微分方程 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量， m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用M

10、atlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价 地变换成一阶微分方程组. 注意注意: 求解微分方程 例例 4 0)0( ; 2)0( 0)1 (1000 2 2 2 xx x dt dx x dt xd 解解: 令 y1=x，y2=y1 则微分方程变为一阶微分方程组： 0)0(, 2)0( )1 (1000 21 12 2 12 21 yy yyyy yy 1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000

11、，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-) 3、结果如图 050010001500200025003000 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 To Matlab（ff4） 求解微分方程 例例 5 解微分方程组. 1)0(, 1)0(, 0)0( 51. 0 321 213 312 321 yyy yyy yyy yyy 解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1

12、)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 3、结果如图 To Matlab（ff5） 024681012 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线. 返 回 求解微分方程 导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙

13、舰以最大的速度 v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求 导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一解法一（解析法） 假设导弹在 t 时刻的位置为 P(x(t), y(t)，乙舰位于), 1 ( 0t vQ. 由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线， 即有 x ytv y 1 0 即 yyxtv)1 ( 0 (1) 又根据题意，弧 OP 的长度为AQ的 5 倍， 即 tvdxy x 0 0 2 51 (2) 求解微分方程 由(1),(2)消去t整理得模型: (3) 1 5 1 )1 ( 2 yyx 初值条件

14、为: 0)0(y 0)0( y 解即为导弹的运行轨迹: 24 5 )1 ( 12 5 )1 ( 8 5 5 6 5 4 xxy 当1x时 24 5 y，即当乙舰航行到点) 24 5 , 1 (处时被导弹击中. 被击中时间为: 00 24 5 vv y t. 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. To Matlab(chase1) 轨迹图见程序chase1 求解微分方程 解法二解法二(数值解) 1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取

15、x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰 To Matlab(ff6) 2 1 5 1 )1 (yyx )1/(1 5 1 2 12 21 xyy yy 令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。 求解微分方程 解法三解法三(建立参数方程求数值解) 设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t

16、)，y(t). 1设导弹速度恒为w，则 222 )()(w dt dy dt dx （1） 2. 由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量， 即： yY xX dt dy dt dx ， 0 （2） 消去得： )( )()( )( )()( 22 22 yY yYxX w dt dy xX yYxX w dt dx （3） 3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t 求解微分方程 因此导弹运动轨迹的参数方程为： 0)0(, 0)0( )( )()1 ( 5 )1 ( )()1 ( 5 22 22 yx yt ytx dt dy x ytx

17、dt dx 4. 解导弹运动轨迹的参数方程 建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(chase2) 求解微分方程 5. 结果见图1 导弹大致在（1

18、，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致. 图1 图2 返 回 在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1， 0.5,0.25,直到tf=0.21时，得图2. 结论：时刻结论：时刻t=0.21时，导弹在（时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。）处击中乙舰。 To Matlab(chase2) 求解微分方程 慢跑者与狗慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭 圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗 从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者. 分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.

19、1. 模型建立 设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t)，狗的坐标为(x(t)，y(t). 则X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗 的运动轨迹的参数方程: 0)0( , 0)0( )sin1520( )sin1520()cos2010( )cos2010( )sin1520()cos2010( 22 22 yx yt ytxt w dt dy xt ytxt w dt dx 求解微分方程 2. 模型求解 (1) w=20时时,建立m-文件eq3.m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy

20、(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); 取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),

21、*) 在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15时, 狗刚好追上慢跑者. To Matlab(chase3) 求解微分方程 建立m-文件eq4.m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); 取t0=0，tf=10，建立主程序

22、chase4.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80, 可以看出,狗永远追不上慢跑者. To Matlab(chase4) (2) w=5时时 返 回 求解微分方程 地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关 系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的 几

23、种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明 显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显 下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之 增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学 家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型， 定量地回答这个问题. 年代19141915191619171918 百分比11.921.422.121.236.4 年代19191920192119221923 百分比27.316.015.914.819.7 求解微分方程 1符符号号说说明明： )( 1 tx食饵在 t 时刻的数量； )( 2 t

24、x捕食者在 t 时刻的数量； 1 r食饵独立生存时的增长率； 2 r捕食者独自存在时的死亡率； 1 捕食者掠取食饵的能力； 2 食饵对捕食者的供养能力. e捕获能力系数 2基本假设：基本假设： （1） 食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比； （2）捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长 的程度与食饵数量成正比。 3模型建立与求解模型建立与求解 模型（一） 不考虑人工捕获 )( 2111 1 xrx dt dx )( 1222 2 xrx dt dx 该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约 关系，没有考虑食饵和捕食

25、者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的 模型. 求解微分方程 针对一组具体的数据用 Matlab 软件进行计算. 设食饵和捕食者的初始数量分别为 101 )0(xx， 202 )0(xx 对于数据2,25,02. 0, 5 . 0, 1 . 0, 1 20102211 xxrr， t的终值经试验后确定为 15，即模型为： 2)0(,25)0( )02. 05 . 0( )1 . 01 ( 21 12 2 21 1 xx xxx xxx 首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1); 其次，建立主程序shark.m如下： t,x=ode45