球的组合体问题教师版

1、球的组合体问题教师版题型1：球的截面问题说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量1.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B）4 （C）4 （D）6【答案】B2.在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和求球的表面积解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，且若、分别为两截面圆的圆心，则，设球的半径为，同理，设，则在中，；在中，解得，球的表面积为3.球面上有三点、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积分析：

2、求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径解：，是以为斜边的直角三角形的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，得球的表面积为4如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD【答案】A 题型2：球与几何体的切、接问题 正方体棱长为，则其内切球半径= ；棱切球半径= ；外接球半径= 长方体长宽高分别为，则其外接球半径=_正四面体棱长

3、为，则其内切球半径=_；外接球半径=_CBADSOE.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解：如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；， ， ，1.设长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】本题考查长方体的外接球问题.练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为练2.若三棱锥的三个侧面两两垂

4、直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .:练3已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,则球的半径为（）ABCD 【答案】C 2已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 _.【答案】 3.过球表面上一点引三条长度相等的弦、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度由条件可抓住是正四面体，、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、的截面圆半径，所以得4.正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径是正三棱锥的高，即是边中点，在上，的边长为， 可以

5、得到 由等体积法， 得：， 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法5.【2012高考新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 【答案】A【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为 另：排除,选A.6（2013年高考课标卷（文）已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为_.【答案】 7.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥

6、的体积为 。8已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_9把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距

7、离为正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 8（2009年理科）5.12已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥SABC的体积为 C （2011年理科）A B CD1图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外

8、接圆，易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.解：由已知可得、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱