西安电子科技大学研究生课程随机过程1.3

1、七七 几类重要的随机过程几类重要的随机过程 之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类. 随机过程可以按照不同的标准进行分类随机过程可以按照不同的标准进行分类. 本讲按照随机过程所具有的一些性质本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要介绍几类重要 的随机过程的随机过程: 二阶矩过程二阶矩过程 正态过程正态过程 正交增量过程正交增量过程 独立增量过程独立增量过程 Wiener过程过程 Poisson过程过程 1.二阶矩过程二阶矩过程 定义定义若若S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的一、二阶矩存在，的一、二阶矩存在， 则称则称. .X(

2、t),tT.X(t),tT是是二阶矩过程二阶矩过程 注注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在 可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程 的性质的性质.(下章内容下章内容) 二阶矩过程的相关函数具有以下性质二阶矩过程的相关函数具有以下性质 定理定理 设设X(t),tTX(t),tT是二阶矩过程是二阶矩过程, ,则相关函数则相关函数R RX X(s,t)(s,t) 有有 (1)(1)共轭对称性共轭对称性 R RX X(s,t)=R(s,t)=RX X(t,s)(t,s) (2)非负定性非负定性 对任意对任意 t1,t

3、2,tnT,T,任意复数任意复数 1 ,2, n有有 0),( 11 lkl n k n l kX ttR 证明证明(1) RX(s,t)=EX(s)X(t) =EX(s)X(t) = RX(t,s) (2) lkl n k n l kX ttR),( 11 lkl n k n l k tt)X()(XE 11 _ )X()(XE 11 _ ll n k n l kk tt )X( )X(E 11 _ ll n k n l kk tt )X()()X(E( 11 _ l n k n l lkk tt n l ll n k kk tt 1 _ 1 )X()X(E 0)(XE 2 1 n k kk

4、 t 2.正态过程正态过程 补充补充: n维正态随机变量分布及性质维正态随机变量分布及性质 1 1 ()() 2 1 22 1 ( ) (2 ) ( , ) T 12n n 12 xBx n X =(X ,X ,.,X )n fe B X =(X ,X ,.,X ) BnNB x 定义 设是 维随机变量， 如果其联合概率密度函数为 则称服从均值向量为 ， 协方差矩阵为 的是 维正态分布.记X 111 )( , ) . ,cov(,) 12n n kkk k=1 nnn kki kik k=i=k= X ,X ,.,XNB Yl Xl YNlllXX 定理 设X=(则 （1） =服从一维正态分布

5、是常数 即 2).Xm mnm（ ） 的（个分量服从 维正态分布 3)mNC BC T n m （ ）Y=XC(C),服从 维正态分布 ( C, 正态过程定义正态过程定义 设设X(t),tT是是S.P. ,若对任意的若对任意的n1 及及t1,t2,tnTT, X(t1), X(t2), , X(tn),是是n维正态随机变量维正态随机变量, 则称则称S.P.X(t),tT为为正态过程正态过程或或高斯过程高斯过程 注意注意 若若X(t),tT是一族正态随机变量是一族正态随机变量, 但但X(t),tT不一定是正态过程不一定是正态过程. (2) 正态过程的有限维分布由其均值函数正态过程的有限维分布由其

6、均值函数 与相关函数完全确定与相关函数完全确定. (3) 正态过程是二阶矩过程正态过程是二阶矩过程. 举例举例 独立的独立的r.v.，且都服从正态分布，且都服从正态分布N(0,2 2),),是常数是常数 设设S.P. ( )cossin,X tAtBt tR 试证明试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布该过程是正态过程，并求它的有限维分布 ,其中其中A,B为相互为相互 3.正交增量过程正交增量过程 定义定义 设设X(t),tT是二阶矩过程，若对任意的是二阶矩过程，若对任意的 t1t2 t3 t4TT 都有都有 0)(X)(X)()(X)X(E 34 _ 12 tttt 则称则称S.P.

7、X(t),tT是一是一正交增量过程正交增量过程. 注注: 这里这里 =EXY可视为内积可视为内积 若若T取为有限区间取为有限区间a,b,对对 astb ( )( )( )( )0E X sX aX tX s 特别的，当特别的，当X(a)=0时，有时，有 ( )( )( )0E X sX tX s 定理定理 设设X(t),ta,ba,b是正交增量过程是正交增量过程, 且且X(a)=0,则则 (2) X X(t)(t)是单调不减函数是单调不减函数 ),(min(),(tstsR XX ,bats )()(),(min(),(min(),( 2 tmsmtsmtsDtsC XXXXX (1) ,ba

8、ts 4 独立增量过程独立增量过程 设设X(t),tTT是一是是一是S.P. 如果对如果对3n 12 , n tttT 21321 ( )( ),( )( ),( )() nn X tX tX tX tX tX t 是相互独立的随机变量，则称是相互独立的随机变量，则称X(t),tT 是是独立增量过程独立增量过程 以及以及 有有 如果对于任意如果对于任意 stT,T, X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布仅依赖于的分布仅依赖于t-s，而与，而与s, t本身取本身取 值无关，则称值无关，则称X(t),tT 为为平稳增量过程平稳增量过程 如果如果S.P.X(t),tT既是平稳增量过程，又是既是

9、平稳增量过程，又是 独立增量过程，则称独立增量过程，则称X(t),tT 为为平稳的独平稳的独 立增量过程立增量过程 定理定理 独立增量过程的有限维分布函数由其一独立增量过程的有限维分布函数由其一 维分布函数和增量分布函数确定维分布函数和增量分布函数确定 证明思路证明思路 由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应. 只需证只需证 独立增量过程的有限维独立增量过程的有限维特征函数特征函数由其一维特征由其一维特征 函数和增量特征函数确定函数和增量特征函数确定 证明证明,1 21 Ttttn n 及对 )(,),(),( 21n tXtXtX n维随机变量的维随

10、机变量的 的特征函数为的特征函数为 1212 ( , ,., ;,.,) nn t tt u uu E )()( 11nn tXutXuj e 令令)()(,),()(),( 112211 nnn tXtXYtXtXYtXY 则则 nn YYYtX YYtX YtX 21 212 11 )( , ,)( ,)( 代入代入式式 由题意知由题意知 Y1,Y2,Yn独立独立 1212 ( , ,., ;,.,) nn t tt u uu E )()( 11nn tXutXuj e E )()( 2121211nn YYYuYYuYuj e E )()( 232121nnnn YuYuuuYuuuj

11、e E 232121 )()( nnnn YjuYuuujYuuuj eee EEE 232121 )()( nnnn YjuYuuujYuuuj eee 由Y1Y2,Yn的独立性 )()()( 3221 21 nYnYnY uuuuuuu n 证毕证毕 Wiener过程过程 1. 1827年观察到的现象 2. 1905由物理定律导出其数学描述 3. 1918后提出简明的数学公式 Wiener过程定义过程定义 称称实实S.P.W(t),t0是参数为是参数为2 2的的Wiener过程过程, 如果如果 (1)(0)0W (2)( ),0W t t 是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程 2 (3

12、)0,( )( ) (0,()st W tW sNts 定理定理 设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则则 2 (1)0,( ) (0,)tW tNt 2 2 (2)( )0,( ),0, ( , )( , )min( , ), , ,0 WW WW mtDttt Rs tCs ts t s t 证明证明 (1) 由定义由定义,显然成立显然成立. (2) 由由(1)易知有易知有 0,)(, 0)( 2 tttDtm WW 对对s0, 0, t 0,0,不妨设不妨设 st,t,则则 )()(E),(tWsWtsR W ),min( )(E()( )(E0 )(E)()

13、()(0()(E )()()()(0()(E 2 2 2 2 2 ts s sWsWD sW sWsWtWWsW sWsWtWWsW 独立性 ),min(t)(),(),( 2 tsmsmtsRtsC WWWW 定理定理 Wiener过程是正态过程过程是正态过程 证明证明 设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程. 则对任意的则对任意的n1,1,以及任意的以及任意的 n ttt 21 0 W(t1), W(t2), , W(tn)是是n维随机变量维随机变量 由由Wiener过程的定义知过程的定义知 )()(,),()(),( 1121 nn tWtWtWtWtW 相互独立相互独立 分布，服从)(0()()( 1 2 1 kkkk