[原创]必修第一册第五章5.7三角函数的应用

1、5.7三角函数的应用三角函数的应用 先平移变换，再周期变换先平移变换，再周期变换, ,最后振幅变换：最后振幅变换： )sin(xy )sin(xy 1 xysin )sin(xAy 的图象的两种策略的图象的两种策略的图象变换到的图象变换到由由)sin(sin xAyxy 复习旧知 先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：先周期变换，再平移变换，最后振幅变换： xysin xysin 1 )(sin xy)sin(xAy 复习旧知 例例1.下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？）这个简谐运动的

2、振幅、周期与频率各是多少？ （2）从点）从点O算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复 运动？如从点运动？如从点A算起呢？算起呢？ （3）写出这个简谐运动的函数解析式）写出这个简谐运动的函数解析式. /cmy C A 0.4 0.8 DF 1.2 E /x s BO 2 解：解： （1）从图象上）从图象上 可以看到，这个可以看到，这个 简谐运动的振幅简谐运动的振幅 为：为： 2 cm； . 周期为：周期为： 频率为：频率为： 0.8 s； 5 . 4 （2）如果从点）如果从点O算起，到曲线上的算起，到曲线上的D点，表示完成了一点，表示完成了一 次往复运动；次

3、往复运动； 如果从点如果从点A算起，到曲线上的算起，到曲线上的E点，表示完点，表示完 成了一次往复运动成了一次往复运动. /cmy C A 0.40.8 DF 1.2 E /x s BO 2 例例1.下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （2）从点）从点O算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复算起，到曲线哪一点，表示完成了一次往复 运动？如从点运动？如从点A算起呢？算起呢？ （3）写出这个简谐运动的函数解析式）写出这个简谐运动的函数解析式. 解：

4、解： （3）设这个简谐运）设这个简谐运 动的函数解析式为：动的函数解析式为： sin() 0,) yAx x ， 则则 2;A 2 0.8T 由由 得得 5 ; 2 由图象知初相由图象知初相 0. 故所求表达式为：故所求表达式为： 5 2sin, 2 yx 0,).x 例例2 如图如图,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲线近时的温度变化曲线近 似满足函数似满足函数y=Asin(x+)+b (1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式. 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 解解:(1)最大温差是最大温

5、差是20 (2)从从614时的图象是函数时的图象是函数y=Asin(x+)+b的的 半个周期的图象半个周期的图象 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 1 30 1010 2 A 1 30 1020 2 b 12 146 2 8 将将x=6,y=10代入上式代入上式,解得解得 3 4 3 10sin20,6,14 84 yxx 所求出的函数模型只能所求出的函数模型只能 近似刻画这天某个时段近似刻画这天某个时段 温度变化温度变化,因此应当特别因此应当特别 注意自变量的变化范围注意自变量的变化范围 所以所以 练习题：练习题：如图，为函数如图，为函数 的的 部分图象求出函数的解

6、析式。部分图象求出函数的解析式。 ) 2 ( ,)sin( bxAy 代入得 T 2 2 ) 1(3 A 62 解：由图可知 1) 3 4 sin( )( 6 2zkk 1 2 ) 1(3 b 将 )( 2 3 2 3 4 zkk 412 3 3 2 12 11 4 T 2 T2 , 3 2 x 1y 1 2 3 -1 3 2 12 11 y x 综上，所求解析式为 1) 6 2sin(2 xy 题型总结：题型总结： maxminmaxmin 1 1 A =f x-f xA =f x-f x 2 2 maxminmaxmin 1 1 b=f x+f xb=f x+f x 2 2 利利用用求求得

7、得 2 2 T T = =， 利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图图象象上上 该该点点的的坐坐标标满满足足函函数数解解析析式式可可求求得得 , , 也可以利用函数的零点来求也可以利用函数的零点来求 f求函数的方法：(x)= Asin( x+ )+b(x)= Asin( x+ )+b 例例3 画出函数画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期的图象并观察其周期. x y -1 1 O 2 2 2 2 y=|sinx| 解解 周期为周期为 验证验证:|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx| 通过对比， 的图像可由正弦函数 的图像通过怎么样的变换得到？ 正弦函数正弦函数y=sinx的图

8、象保留的图象保留x轴上方部分，将轴上方部分，将x 轴下方部分翻折到轴下方部分翻折到x轴上方，得到轴上方，得到y=|sinx|的图象的图象 xysin xysin 练习巩固 1、 函数函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ） sin(2) 3 yx 4 . 3 A x . 2 B x .0D x . 12 C x 2、求、求 函数的对称轴和对称中心。函数的对称轴和对称中心。) 3 2sin( xy zk k x 212 zk k )0 , 26 ( 练习巩固 例例4 4 海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的时候发生涨落的现象在一定的时候发生涨落的现象 叫潮叫潮. .一般地一般地,

9、,早潮叫潮早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐. .在通常情况下在通常情况下, ,船在船在 涨潮时驶进航道涨潮时驶进航道, ,靠近码头靠近码头; ;卸货后卸货后, ,在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋. . 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: : 时刻时刻水深水深/ /米米时刻时刻水深水深/ /米米时刻时刻水深水深/ /米米 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 (1)(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的选用一个函数来近似描述这个港口

10、的水深与时间的 函数关系函数关系, ,给出整点时的水深的近似数值给出整点时的水深的近似数值( (精确到精确到0.001).0.001). (2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度( (船底与水面的距离船底与水面的距离) )为为4 4米米, ,安安 全条例规定至少要有全条例规定至少要有1.51.5米的安全间隙米的安全间隙 ( (船底与洋底的船底与洋底的 距离距离),),该船何时能进入港口该船何时能进入港口? ?在港口能呆多久在港口能呆多久? ? (3)(3)若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米米. .安全间隙为安全间隙为1.51.5米米, ,该船在该船在 2:002:00开始卸货

11、开始卸货, ,吃水深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少米的速度减少, ,那那 么该船在什么时间必须停止卸货么该船在什么时间必须停止卸货, ,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域? ? 课件演示 解解:(1):(1)以时间为横坐标以时间为横坐标, ,水深为纵坐标水深为纵坐标, ,在直角在直角 坐标系中画出散点图坐标系中画出散点图 3 6 9 12 15 18 21 24Ox y 6 4 2 根据图象根据图象,可以考虑用函数可以考虑用函数y=Asin( x+ )+h刻画水深与时间之间的对刻画水深与时间之间的对 应关系应关系. A=2.5,h=5,T=12, =0 . 6 12, 2

12、 T 得由 所以所以,港口的水深与时间的关系可用港口的水深与时间的关系可用 近似描述近似描述. 5 6 sin5 . 2xy 时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5

13、.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5 6 sin5 . 2xy 由由得到港口在整点时水深的近似值得到港口在整点时水深的近似值: : (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进 港 . 5 . 55 6 sin5 . 2x 2 . 0 6 sinx 由计算器可得 SHIFTsin-1 MODEMODE 2 0.2 = 0.201357920.2014 A BCD y=5.5 y Ox 51015 2 4 6 8 2.5sin5 6 yx 因此 有两个交点的图象与直线函数内在区间 B,A, 5 . 55 6 sin5 . 2,0

14、,12yxy 2014. 0 6 -,2014. 0 6 xx 或 6152. 5,3848. 0 BA xx 6152.176152. 512 ,3848.123848. 012 : D C x x 由函数的周期性易得 因此因此, ,货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港分左右进港, ,早晨早晨5 5时时3030分左右出港分左右出港; ;或或 在中午在中午1212时时3030分左右进港分左右进港, ,下午下午1717时时3030分左右出港分左右出港. .每次可以每次可以 在港口停留在港口停留5 5小时左右小时左右. . O 2 4 6 8 10 x y 8 6 4 2 2.5sin

15、5 6 yx 5.50.32yx P (3)设在时刻设在时刻x货船的安全水深为货船的安全水深为y,那么那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同在同 一坐标系内作出这两个函数一坐标系内作出这两个函数,可以看到在可以看到在67时之间两个函时之间两个函 数图象有一个交点数图象有一个交点. 通过计算.在6时的水深约 为5米,此时货船的安全水 深约为4.3米.6.5时的水深 约为4.2米,此时货船的安全 水深约为4.1米;7时的水深 约为3.8米,而货船的安全水 深约为4米.因此为了安全, 货船最好在6.5时之前停止 卸货,将船驶向较深的水域. 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型型, ,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题, ,在刻画周期变化规律、预在刻画周期变化规律、预 测