2019年华南理工大学微积分下21.doc

1、一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分）基本计算的两个步骤：1）定限； 2）定积分的计算基本计算方法： 1）在直角坐标下的计算方法：x 型区域、 y 型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个r 。其他知识点：改变积分的次序二重积分的应用：曲面 : zfx , y 的面积为1fx2f y2 dxdy ，其中 DD为 在 xoy 面上的投影区域。例 1：2y2R2 , y 0 R 0y x d , D : y R x , x2D解：原式0Rx22 dR3sincos2dx0yx dyrdrR000R3x3Rdx2 1sin2dr 3drR3

2、300R4R41R44428例 2：交换下列二次积分的次序1x231 3 xf x , y dy13 2 yf x , y dx 。dxf x , y dydx 2dyy00100二、三重积分（引例：求空间立体的质量）基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算基本计算方法： 1）投影法； 2）切片法； 3）柱面坐标下计算法； 4）球面坐标下计算法22例 3：计算三重积分zdv，式中为由zxy所确定的圆台体。1z2解：方法一、用截面法：2z42zdvz3dz141方法二、用球面坐标：15402, 0,124coscos224sinsind4

3、dcos3sincosd24dzdv133000coscos4cos22142412115cos28cos20484三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例 4：计算x2 ds，其中为球面 x2y2z2a2 与平面 xyz0 的交线。xa cosa sin26解： : y2a sin023zaacossin262原式0a cosa sin2ad263232323acos2 dasin2 dasin2 d

4、2 a32060203四、关于坐标的曲线积分 （引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限； 2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例5：计算曲线积分12xyeydxcos yxey dy ，其中 L 为由点LA1 ,1 沿抛物线 yx2 到点 O0 , 0 ，再沿 x 轴到点 B 2 , 0 的弧段。解：原式03ex222x2212x2xcos x2x edx1dx103x4sin x2x2023 sin1e 2e sin11

5、xe1其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、两类曲线积分的联系例 6：求 a , b ，使得曲线积分axy2y3dx6x2 ybxy2dy 在整个 xoy 面L上与积分路径无关，并计算3 ,4y3dx 6x2 y bxy2dy 。1 ,axy22解： Paxy2y3, Q6x2 ybxy2P2axy3y2,Q12xyby 2yx所以 a6 , b33 , 4y3dx6x2 ybxy2dy324 x454 y9 y2dyaxy218 dx1 , 2212x2327 y23y342368x21五、关于面积的曲面积分（引例：曲面状物体的质量）基本计算思路：把曲面积分化为二重积

6、分基本计算的两个步骤： 1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了xoy面，确定曲面在 xoy 面上的投影区域为Dxy ，曲面的方程化为z fx,y ，Fx , y , zdSFx , y , f x , ydxdyDxy2）二重积分的计算例 7：x 2y 2dS，其中为立体 x2y 2z 1 的边界曲面。解：原式x2y 2dSx 2y2dS12其中 1 : z1 ,2 : zx2y2，在 xoy面上的投影都为1圆盘 x2y 212213 dr213 dr12上式dr2 dr00002六、关于坐标的曲面积分（引例：不可压缩流体流过某曲面单位时间的流量）基本计算思路：把曲面积分化为二重积分基本计算的

7、两个步骤：1）把曲面向指定坐标面投影，无妨设指定了 xoy 面，确定曲面在 xoy 面上的投影区域为Dxy ，曲面的方程化为z f x , y ，注意曲面 指定的侧P x , y , z dxdyP x , y , fx , ydxdyD xy2）二重积分的计算例 8：计算曲面积分 Iz2 x dydz zdxdy，其中 为旋抛物面 z 1 x2 y2 下2侧介于平面z0 及 z2 之间部分。解： 原式z22zy2 dydzD yzz22zy2dydz1x2y2dxdyDyzDxy222z22zy2dz2222zy2dz22 13drdy y2dyy2 zd2r22220022213222dy2zydz42zydy42y2232222y222123146431ydy44216costdt44242334222 308这里用换元法计算定积分，（令 y2sin t ）及2 cosn dtt的计算公式。0其他知识点：两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式；了解散度、通量、环流量、旋度的概念。例 9：xdydzydzdxzdxdy，其中是曲线zy21 绕 z 轴旋转所得旋转x0z面的上侧。解：此曲面方程为zx2y 2z 1，化为第一型