2019年软件工程硕士辅导.doc

1、高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1极限定义：设f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果对于任意给定的正数0，总存在0 ，当0| xx0 |，有 | f ( x)A |，称 f (x) 在 x 趋于 x0 时有极限，并称 A 为 f (x) 在 xx0 的极限。记做limf ( x)A 。x x02 lim f ( x)A 的充要条件：lim f ( x)Af ( x0 )f (x0 ) Axx0xx03求极限的方法（ 1）若 f ( x) 在 x0 连续，则 limf (x)f ( x0 )x x0（2）“ 0 ”型0x0时）等价代换：当1x sin

2、 x tan x arcsin x arctanx ln(1x) ex11 cos x x222）洛必达法则：limf (x)limf( x)xx0 g( x)xx0 g ( x)（3）“ 1 ”f ( x) g x11 )x1）利用重要极限 lim (1x) xe ( lim (1e)x 0xx2）化为“0 ”型0（ 4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（ 5）利用泰勒公式：掌握ln(1x) 和 ex 在 x=0点的泰勒展开求极限。f ( x)f (0)f(0) xf (0) x2 f(0) x3f n (0) xno(xn )2!3!n!ln(1x) xx2x3x41 n 1 xno xn2

3、34n1ex1 xx2x3xno( xn )2!3!n!二、无穷小的比较极限为零的变量。limf ( x)0 ，称 f ( x) 在 xx0 时为无穷小x x0设 f (x), g( x) 在 xx0 时为无穷小，则如果 limg( x)0，就说 g( x) 是比 f ( x) 高阶的无穷小，记作g( x) o( f (x) ；f (x)如果 lim g (x)，就说 g (x) 是比 f (x) 低阶的无穷小；f ( x)如果 lim g (x)c0 ，就说 g( x) 与 f ( x) 同阶的无穷小；f ( x)如果 limg( x)1，就说 g( x) 与 f ( x) 是等价的无穷小，

4、记作f (x) g( x) 。f ( x)如果0,0, 0,0，且, ，则 limlimlimlim三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1定义：如果limf ( x)f ( x0 ) 那么就称函数 yf ( x) 在点 x0连续。 limy 0xx0x02主要条件：limf ( x)f ( x0 ) lim f (x) （由此可求两个参数）xx0x x0四、导数与微分1导数定义： f( x0 ) = limylimf (x0x)f ( x0 ) ，f (x0 )lim f ( x0h) f ( x0 )x0 xx0xh 0h和 f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )xx0xx022

5、充要条件：f ( x0 )f ( x0 )f ( x0 )limf ( x0h)f ( x0 )h 0h3必要条件：可导必连续4几何意义：切线斜率. 切线方程 yy0f( x0 )( xx0 )5微分： dyf (x)dx ， dyf(x0 ) dxyf (x0 ) x o( x)xx0题型求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五导数计算1初等函数求导公式（16 个求导公式，5 个求导法则）导 数公 式微分公式(x )x 1d ( x )x 1dx(sin x)cos xd (sin x)cos xdx(cos x)sin xd(cos x)sin xdx(tan x)sec2 xd

6、 (tan x)sec2 xdx(cot x)csc2 xd (cot x)csc2 xdx(sec x) secx tan xd(sec x) secx tan xdx(csc x)csc xcot xd (csc x)csc xcot xdx(a x )ax ln ad (a x )ax ln adx(ex ) exd (ex ) ex dx(log a x)1d (log a x)1dxx ln axln a(ln x)1d (ln x)1 dxxx(arcsin x)1d (arcsin x)1dx1x21x2(arccos x)1d (arccos x)1dxx211x2(arcta

7、n x)12d (arctan x)12 dx1x1x3(arc cot x)12d (arc cot x)12dx1x1x（1） u( x) v( x)u ( x)v ( x)（ 2） u(x)v( x)u (x)v(x)u( x) v (x)， cu( x)cu ( x)（3）。 u( x)u ( x)v(x) u( x)v (x) ( (x) 0)ccv ( x)() 0)v( x)v2vv(x)2v x(x)v ( x)(4)复合函数导数yf (u), u g(x), yf g (x) ， u 称为中间变量，dydydudxdudxx(t)dydy参数方程求二阶导数dty(t)dxdx

8、dtd 2 ydydyx(t )d 2 y(t )(t )(t )(t)dt，dx 2dxdxy(t )dx23(t )dt隐函数求二阶导数：F(x,y)=0yy(x) , 方程两边对 x 求导， y 的函数看成 x 的复合函数4. 几分上限函数求导dxxf ( x)dxf (t )dtf (t) dtaad(x )f ( ( x)( x) f ( ( x) ( x)dxf (t )dt( x)六、函数不等式的证明1方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性：单调升：f (x1 )f (x2 ) ，当 x1x2 时单调降： f (x1)f ( x2 ) ，当 x1x2 时f 0 ，

9、 f 单调升， f0 ， f 单调降利用单调性证不等式，证f ( x)g ( x) ， h(x) f (x)g( x) ，()0h x0拉格朗日中值定理：f ( x) 在 a, b 连续，在 ( a, b) 可微，则有f (b) f (a)f ( )(b a)落在 a,b 之间。42求导时最多到二阶七、求函数最值邻域： u(x0, )( x0, x0) ，极值：当 xu( x0 , ), f ( x)f (x0 ) 或者 f ( x)f ( x0 )称 f (x0 ) 为极大值（极小值） ，极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点成为极值点定理：如果f (x) 在 x0 可导，并且取得极值

10、，则f (x0 )0导数为零的点称为驻点。判别极值一个是利用单调性，一个是利用二阶导数，定理：f (x0 )0 ， f (x0 )0 极小值，反之是极大值。求最值：求出不可导点及驻点，计算这些点的函数值及边界点的函数值，找这里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是实际问题，并且只有一个驻点，这个驻点就是所求的最值点。八、不定积分1上，若F ( x) f (x)，称F ( x)为f ( x)的一个原函数。原函数：在区间 I2不定积分：在区间 I上 ， f ( x) 的 原 函 数 的 全 体 称 为 f ( x) 的 不 定 积 分 ， 记 为f ( x)dxF ( x) c3掌握下列基本公

11、式kdxkxC (k 是常数 )x dxx 1C (1)1dxln | x | C ,axdxa xCxln aex dxexCcos xdx sin x Csin xdxcosxCdxsec2 xdxtan x Ccos2xdx2secxtan xdxsecxCsin 2 xcsc xdxcot x C(11)csc xcot xdxcsc xC(12)dxC1arcsin xx25(13)dxarctan xC1x24凑分法：f ( x)(x)dxf (u)duu(x)掌握下列常用凑分法（1）f (axb)dx1b)d( axb)f ( axa1（2）xn 1 f (axnb)dxf (

12、axnb)d (axnb)na（3）ex f ( ex )dxf (ex )dex（4）cos xf (sin x)dxf (sin x) d sin x（5）sin xf (cos x)dxf (cos x)d cos x5换元法f ( x) dxf (t )(t )dt t1 ( x)掌握：含 n axb时，令 n ax bt含a2x2时令 xasin t6分布积分法：udvuvvduuv dxuvu vdx掌握（ 1） xexdxxdexxexexdxxexexc（ 2） x cos xdxxd sin xx sin xsin xdxxsin xcos xc（ 3） x ln xdxln

13、 xd x2x2ln x1xdxx2ln xx2c22224（ 4） x arctan xdxarctan xd x2x2arctan x1x2 2 dx222 1xx2arctan x1 ( x arctan x)c22(5)ex cos xdxexd sin xex sin xex sin xdxex sin xex d cos xex sin xex cos xex cos xdx1(ex sin xex cos x)c2一般如果被积函数是多项式与指数函数或者三角函数乘积，选多项式为u 指数函数或者三角函数为v ；如果被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数乘积，选多项式为 v对数函数或

14、者反三角函数为u ；九、定积分bb1牛顿 -莱布尼茨公式af ( x) dx F ( x) a F (b) F (a)62几何意义：曲边梯形面积b(t ), a( ), b( )f (t)(t )dt3定积分换元法f ( x) dxxabuvabb4定积分的分部积分法：audvvdua5.I n2 sin n xdx2 cosn xdx00n1n331为正偶数nn242, n2n1n342为大于 的正奇数.nn253,n16 （ 1）若 f (x) 在 a, a 上连续且为偶函数，则aaf ( x)dxf ( x) dx2a0（ 2）若 f (x) 在 a, a 上连续且为奇函数，则a0f (

15、 x)dxaaTTT2T f ( x)dx(1)f ( x)dxf (x)dxa027周期函数的积分，f ( xT )f ( x)anTTTf ( x)dxf ( x) dx n 2T f (x)dx(2)na028绝对值函数的积分：去掉绝对值，令f (x) =0 ，找出是 f ( x) =0 的 x9面积（与x 为积分变量），体积（绕x 轴旋转的旋转体的体积）1）面积b一个函数且二个函数且f (x)0 ， Sf (x)dxaf (x)g ( x) Sb( g (x) f ( x)dxa不知道大小 Sbf (x) | dx| g ( x)a2）体积： Vxbf 2 ( x)dxb2 dxVyd

16、x2 ( y) dy ， Vybayc2xf ( x)dxaa十、微分方程dy1可分离变量微分方程的通解与特解。标准型：yg( x) h( y)dx解法：dyg( x)dx ch( y)2一阶线性微分方程通解与特解，标准型yP(x) yQ (x)7P( x)dx( )P (x) dx)通解：y e(dx cQ x e3二阶常系数线性齐次方程通解。标准型ypyqy 0，其中 p, q 常数。解法：特征方程：r 2prq0 ，特征根 r1, 2pp24q2c1er1xc2er2 x , r1r2实根通解 Y( x) （ c1c2 x)er1 x ,r1r2实根e x (c1 cosxc2 sin

17、x) , r1,2i4二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型ypyqyPm( x)e x ，其中 p,q, 常数Pm (x)a0 a1xam xm ， am 0解法：通解 y( x)Y (x)y* (x) ，其中 Y ( x) 为对应齐次方程通解，y* (x) 为本身的特解。0 , 当r1且r2y* ( x)xkQm( x)e x ，其中 k1 , 当r或r2， Qm ( x) b0b1xbm xm2 ,当r1且r2十一、向量与空间解析几何（不单独出题，与多元微分学结合出题）1向量：既有大小又有方向的量（ 1）表示法 a(ax , ay, az )ax i ay jaz k（ 2）模： | a

18、|ax2ay2az2， | a |1称为单位向量（ 3 ） 方 向 ： 方 向 余 弦 ： cosax， cosay，ax2 ay2ax2ay2az2az2cosazax2ay2az2（ 4）与 a 方向一致的单位向量aaax,ay,az(cos, cos ,cos )| a | a | | a | | a |2直线的点向式方程：直线L过点 P0(x0 , y0 , z0 ) 且与方向向量 s(m,n, p) 平行，则 L 的方程为： xx0yy0zz0mnp83平面的点法式方程：平面过点 P0( x0 , y0 , z0 ) 且与法向量 n(A,B,C) 垂直，则的方程为： A( x x0

19、) B( yy0 ) C( zz0 ) 0十二、多元函数微分学1多元函数偏导数与全微分（ 1）二元函数zf (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点对 x 的偏导数：zlimf (x0x, y0 )f ( x0 , y0 )x( x0 , y0 )x 0xfx (x0, y0 ) zx (x0, y0 )df (x, y0 )dxxx0z2 zz2zzxxyxx2，yx y 连续时xfx ( x0 , y0 )2z ，y xf x ( x0 , y0 )zx (x0 , y0 )zy2 zyy2（ 2）二元函数 zf (x, y) 的全微分 dzz dxz dyxy2多元复合函数求偏导数设

20、函数 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x, y) 点分别具有对x 和 y 的偏导数，而对应的函数 zf (u, v) 在 相 应 的 (u, v) 点 具 有 对 u 和 v 的 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数zf ( ( x, y), ( x, y) 在 ( x, y) 点具有对 ( x, y) 的偏导数，且zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy若 u( x, y) 和 v( x, y) 二阶可导， zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，则2 z2uu( f11uv2vvvvf1x yxf12)f 2x( f21f 22 )x yyyx yyy .空间曲线切线

21、与法平面方程xx(t )设空间曲线yy(t )t在 P0 ( x0, y0, z0 ) 参数 t0 ，zz(t )9切向量 s( x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ，切线方程： x x0y y0z z0x (t 0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程： x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 ) z (t0 )( z z0 )05空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面： F (x, y, z)0 在切点 P0 (x0 , y0 , z0 ) ，法向量 n(Fx , Fy, Fz) P0切平面方程： Fx( xx0 )Fy( yy0 ) Fz( z z0 )0

22、 ，P0P0P0法线方程： xx0yy0zz0Fx P0FyP0Fz P0设空间曲面： zf (x, y) 在切点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ，法向量 n( f x , f y ,1) P0切平面方程： f x( xx0 )f y( yy0 ) ( zz0 ) 0 ，P0P0法线方程： xx0yy0zz0f xP0f y P016方向导数与梯度(1) 方向导数： 函数 u f (x , y , z)在 P0 ( x0 , y0 , z0)点沿方向 e l (cos, cos, cos) 的方向导数f=fx (x0 , y0 , z0 ) cosf y ( x0 , y0 , z0

23、 ) cosf z ( x0 , y0 , z0 ) cosl ( x0 , y0 , z0 )（ 2）梯度：函数 u f (x , y , z)在 P0 ( x0, y0 , z0 )点的梯度 grad u P (f ,f, f )P0xyz0（ 3）梯度的意义：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值7条件极值条件极值问题可表述为：求函数 u f ( x1, x2 , xn ) 在条件 g( x1 , x2 , xn )0 下的极值。方法：构造拉格朗日函数L x xxfg ，令， ，(1,2, , n , )Lx1 Lx2, Lx

24、n0 L 0解出 (x1, x2 , , xn ) ，代入 f ( x1 , x2 , xn ) ，其中最大（小）者为最大（小）值。10十三、二重积分n1积分形式：f ( x, y)dxdylimf ( i ,i )iD0 i 02f ( x, y)1时，d为 D 的面积。几何意义：曲顶柱体体积。当D3D为X型区域1( x)y2( x)， a x b计算方法：积分区域f ( x, y) d=b2 ( x)dxf (x, y) dy ，Da1 ( x)积分区域 D 为 Y 型区域1 ( y)x2 ( y) ， cy df ( x, y) d=ddy2 ( y )f (x, y) dx ，c1 (

25、 y)D积分区域 D 在极坐标系下可以用不等式1 ()2( ),f ( x, y)dd2 ()f (cos,sin ) d .1 ()D题型 a 积分交换顺序问题题型 b 极坐标问题 :圆心在原点的圆或圆的一部分或圆环或圆环的一部分十四、第二类曲线积分（平面上）1积分形式：P(x, y)dx Q(x, y)dyLL2计算方法：（ 1）设参数化定积分1）L：x(t),t 由（起点）变到（终点），y(t),LP(x, y) dx Q( x, y)dy P(t), (t) (t )Q(t), (t ) (t) dt2y( x)，x从a（起点）变到b （终点） L ：P(x, y) dxQ( x, y

26、) dyb( x) Q x,( x)(x) dxL P x,a3x( y)， y 从c（起点）变到d （终点） L ：11P(x, y)dxd( y) Q ( y), y dyQ( x, y)dy P ( y), yLc（ 2）格林公式设闭区域 D 由分段光滑的曲线L 围成，函数 P( x, y) 及 Q( x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有DQPdxdyPdx Qdy ，（ 1）xyL其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 .曲线积分与路径无关的条件：曲线积分与路径无关的充要条件是QP 在D内恒成xy立十五、级数（重点幂级数，会求幂级数收敛半径，收敛域及展开与求和）1定义。数列 u

27、n ，称 u1u 2u3un =un 为级数，令 sn n 1nui ，得 sn ，若 lim snu1 u2u3un s ，称无穷级数un收敛 ,这时极限i 1nn 1s叫做这级数的和 , 并写成 s = u1u2 u3un; 如果 sn 没有极限 , 则称无穷级数un 发散 .n1级数收敛的必要条件如果级数un收敛 , 则它的一般项 un 趋于零 ,即lim un0.n 1n2特殊级数（1） p 级数 11111当 p1时收敛，当p1时发散2 p3p4 pn p（ 2）等比级数aqnaaqaq2aqn当 | q | 1收敛 , 且其和为a; 当n01q| q |1时 , 等比级数发散3交错级数( 1)n 1 un (un 0) 的莱布尼茨定理判别法：若（ 1）un un 1 (n 1,2,3, );n112（ 2） lim un0, 则级数收敛n幂级数a( xx )n , x ( ,)4n0n 1（ ）收敛半径， 收敛域： 如果 liman 1, 其