测量平差复习题测绘工程

1、第一章：绪 论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观

2、测结果中加入改正数。8、测量平差的任务是什么？ 求观测值的最或是值(平差值) ； 评定观测值及平差值的精度。第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？列表法；绘图法；(3)密度函数法。2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性： 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。(2) 聚中性： 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。(3) 对称性： 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。(4) 抵偿性： 偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？制定测量限差的依据； 判断系统误差(粗差)的依据。4

3、、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差； (2) 极限误差； (3) 相对误差。6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。通常取三倍中误差为极限误差。 当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。7、误差传播律是用来解决什么问题的？误差传播律是用来求观测值函数的中误差。8、应用误差传播律的实际步骤是什么?(1)根据具体测量问题，分析写出函数表达式Z = f （Xi，X2， ,Xn）；(2)根据函数表达式写出真误差关系式富亠Xi;X1兰X工詁；x2Xn(3)将真误差关系式转换成中误差关系

4、式。9、水准测量的高差中误差与测站数及水准路线长度有什么关系？当各测站的观测精度相同时，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。10、什么是单位权？什么是单位权中误差？权等于1时称为单位权，权等于1的中误差称为单位权中误差。11、应用权倒数传播律时应注意什么问题？观测值间应误差独立。12、观测值的权与其协因数有什么关系？观测值的权与其协因数互为倒数关系。13、怎样计算加权平均值的权？加权平均值的权等于各观测值的权之和。证明:PLX =PPL1上PL2应用权倒数传播律，有：丄=(旦)2丄(旦)2丄(旦丄P2P

5、xP P P P2P PnPnPP故: PX 二P14、菲列罗公式有什么作用？根据三角形的闭合差计算测角中误差15、测量平差的原则是什么？(1) 用一组改正数来消除不符值；(2) 该组改正数必须满足 VTPV二最小。16、什么叫同精度观测值？在相同的观测条件下所进行的一组观测，这组观测值称为同精度观测值。17、支导线中第n条导线边的坐标方位角中误差怎样计算？支导线中第n条导线边的坐标方位角中误差，等于各转角测角中误差的.n倍。18、 在相同的观测条件测量了 A、B两段距离，A为1000米，B为100米，这两段距离的中误差均为 2厘米， 则距离A的测量精度比距离B的测量精度高。19、 在三角测量

6、中，已知测角中误差 二中=1.8”，若极限误差二限=3二中，那么，观测值的真误差.：的允许范围为-5.4,亠5.4。20、测定一圆形建筑物的半径为 4米土 2厘米，试求出该圆形建筑物的周长及其中误差。c = 2 二 r = 8 二米me = 2二 mr = 4 二厘米21、 如图，高差观测值 h1=15.752米土 5毫米，h2=7.305米土 3毫米，h3=9.532米土 4毫米，试求 A到D间的 咼差及中误差。hAD -15.752 7.305-9.532 =13.525= ；m： m m = . 52 32 42 =5 . 2毫米22、有一正方形的厂房，测其一边之长为a，其中误差为 ma

7、，试求其周长及其中误差。若以相同精度测量其a四边，由其周长精度又如何？ C =4a me = 4ma C =印 a2 a3 a4mc = 4ma 二 2ma23、对某一导线边作等精度观测，往测为-，返测为L2,其中误差均为 m，求该导线边的最或是值及中误差1V L2). 1m2 m2V4424、一个角度观测值为 60_21 ,试求该观测值的正切函数值及其中误差。dFdF d：d- =sec2 ： d:2 ”mF 二sec 6021206265=0.00425、测量一长方形厂房基地，长为1000m二0.012m，宽为100m二0.008m。试求其面积及中误 差。2s 二 ab =1000 100

8、 =100000mms 二.b2mf a2m( = 1002 0.0122 10002 0.0082 = 8.09m226、如图，已知ab方位角为45 1230二6”，导线角=40 1820 士8”:2 = 256 40 46 z 10 ，试求cd边方位角及其中误差Tcd 讥 1 80| -1 8 02 =34211 36陆口_ = m +mp + mp = 土J62 + 82 孑02 =1oJ227、设观测值l、l2和l3的中误差为2和8，单位权中误差为2，求各观测值之权。2 m Pi = _2 mi22 122 11628、设观测值Li、L2和L3的权为1、2和4,单位权中误差为土 5，求

9、各观测值中误差。5229、设观测值L1、L2和L3的权为1、2及4，观测值L2的中误差为6，求观测值L1和L3的中误差。m0 = m2 . p2 = 6、2R L P2 丄 2RP2RP +P2P2P +P2J1、222、22(p R)m1 (pm2、(16)2 22 a 821730、要求100平方米正形的土地面积的测量精度达到0.1平方米，如果正方形的直角测量没有误差，则边长的测定精度为多少？ms0.1S=a2dS=2a dams=2a mama =0.005 米=5 毫米2a2 1031、在三角形ABC 中,A和B已经观测，其权都为1，试求C角及其权。1 11cr1C=180-A -B2

10、Pc 二PcPaPb232、设函数为F = qLi-a2L2 -a3L3- a4L4，式中观测值-、l?、L3和相应有权为Pi、P2、P3和P4，求F的权倒数。彳 2 2 2 2丄=生圭生屯箜PfPP2P3P4P33、使用两种类型的经纬仪观测某一角度得 L1 =24 1339”_2，L2 =24 13 2?2将观测值移至等式右端，并将观测值代入，得：w =片v2 = x2V3 一Xi -、x? -10v4 = % jx2 -15试题一设对某量分别进行等精度了 n、m次独立观测，分别得到观测值Li , (i = 1,2,n)，Li,(i =1,2, m)，权为 口 =p，试求:1)n次观测的加权

11、平均值xn3的权PPn2)m次观测的加权平均值xm二购的权PPm3)加权平均值x =卫凶PPn + Pm的权Px(15 分)Xn解：因为Pj = PpLp1PL1 - pL?- pLnnp1- L1nL2Ln（2 分）1 * L1Ln T根据协因数传播定律，则Xn的权pn :Pn/p+*11in:7pj11 *np（1 分）（2 分）则:Pn 二 np2）XmpLppL1pL2pLmL2Lm（2 分）1 * L1L2Lm T0 、11/ 、%11=（1 1 1 y+*I-Pmmm0,则极大值E在一、三象限，极小值 F在二、四象限，则:(5 分)E =52.018 ；32.018 =142.01

12、8 ；22.018(2)极大值E、极小值F的计算方法一根据任意方向位差计算公式E2(QxxCOS2 E Qyysin2 E QxySin2E)=4* (1.5* cos252.0182*sin2 52.0181*sin(2* 52.018 )= 11.123F 二Qx3?A、B点，等精度观测8个角值为:若选择/ ABC平差值为未知参数 *，用附有参数的条件平差法列出其平差值条件方程式。（10分）F2 二；？QxxCOS2F QyyS ；：F QXy S S 2： F)=4* (1.5* cos2142.0182* sin2142.018 1*sin(2*142.018 )= 2.877一 3.

13、34dm(5分)1.70dm1.5 1 A1 2方法二Q& Qyy = 1.5 2 = 0.5Qxx Qyy =1.5 2 =3.5H = (Qxx Qyy)2 4Q；y =.0.524*12 = 2.0622121E22(Qxx Qyy H)*4* (3.5 2.062) =11.123222121F22(Qxx QyH )* 4*(3.5 2.062)=2.87722E = 3.34dm(5分)F =： 1.70dm四、得到如下图所示，已知L? +?2心?4 L5 l?6 -180 -0L? +?6+L7-180 =0L4 ?5 忆-180 -0L?5心眾=0其平差值条件方程式为:（6 分

14、）sin ?3 *sinL5 *sin L6 sin L?2 * sin?4 * sin L?五、如图所示水准网，A、B、C三点为已知高程点，Pi, P2为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分）用条件平差法计算未知点 Pi，P2的高程平差值及其中误差;高差观测值/m对应线路长度/km已知点高程/mhi=-1.0441Ha=32.000h2 = 1.3111Hb=31.735ha=0.5411Hc=31.256h4=-1.2431则平差值条件方程式 AI?代=0为:（2 分）viV = v2V3M丿=-（Ah A。）= _HHbh2hi -C -h4h3hiHaH Af-2 !丿（3

15、 分）令c= 1,观测值的权倒数为:(111则组成法方程，并解法方程:（1 分）N 二 APAt2f-2 2丿（2 分）1X T 0、-2v =V2=P A K =2i-2丿求改正数，计算平差值则P1，P2点高程为:/ Q、J 1.044、? = h +v =1.3090.543l?4 丿1.245 丿?=（2 分）Hb 十忆 +!? H a =0HC 耐 +h?3 +i? H a =0则改正数方程式 Av -w = 0为:v1 v2 - Wj = 0v1 v3w2 二 01 1 0 0 A =1 0 1 1 丿H pi = H a h? = 33.044mH p2 = He ht - 32.

16、051 m（i 分）2）单位权中误差:（1 分）Hpi=HaI?=Ha +（j 0 0I?（2 分）Hp2=Hcl?4=He 0 0 0h?2h?3T 1由 Q|? = Qll - Qll a n aQll则Pi, P2点的权倒数为：2Qpi = fQLL fT - fQLLatnAQll f t53QpfQLL fT - fQLLATN 4AQll fT5则P1, p2点的中误差为：（2 分）、？P1；?P22U15m m = 1.55m m53 一- 10m m 二 1.90mm5（2 分）六、如下图所示，A, B点为已知高程点，试按间接平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水

17、准路线中央。（20分）hlh2六、证明：设AC距离为T,则BC距离为S-T;设每公里中误差为单位权中误差，则AC之间的高差的权为1/T，BC之间高差的权为1/(S-T);则其权阵为:1/T001/（S-T）（5 分）选C点平差值高程为参数 刃，则平差值方程式为：hl-h A=hb -竞则(i B =L1丿则平差后c点高程的权倒数为:（3 分）（2 分）T（S-T）S（5 分）求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数(权倒数)导令其等零，则，上式对T求S -2T=0T=S/2（3 分）则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位炸、X?2，按.，一般条件方

18、程1、如下图，其中A、B、C为已知点，观测了 5个角，若设L1、L5观测值的平差值为未知参数附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为2 ，多余观测个数为 3个数为4，限制条件方程个数为2.0-0.5QxxL2L52、 测量是所称的观测条件包括观测仪器、观测者、外界环境。3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（Li、L2），其中误差CT 1 =cr2 = 2cm，往返测的平均值的中误差为22或2.818 ，若单位权中误差 二0 =4cm，往返测的平均值的权为24、 已知某观测值X、Y的协因数阵如下，其极大值方向为157.2或337.5 ，若单位权中误差为2mm，极小值 F 为 1.78

19、 mm。1.0、已知某观测值X、Y的协因数阵如下，求X、Y的相关系数P。（ 10 分）、解:Qxx0.36-0.150.25（3 分）；-xyQxyQxyJ QxxQyy-0.15.0.36*0.25二-0.5（3 分）（2 分）（2 分）三、设有一函数T = 5x亠253 , F = 2 y671其中：X+CC2L2 + +nLny = P1L1 + P 2L2 +* 卩 nLna i= A、B i=B （i= 1 , 2 ,，n）是无误差的常数，J 的权为 pi= 1 , pj = 0 （i =j）。（15 分）1）求函数T、F的权；2）求协因数阵Qt$、 Qtf三、解：（1） L向量的权

20、阵为：10 0、01 aP =F+0则L的协因数阵为:00、401 亠3Qll = P =9+00 0b（2 分）T =5x 253=5* (一引 L| 匕2 L2 亠 亠：n Ln) 253= 5: 5: 2L2 g 讦 5: nLn 253= 5AL5AL25ALn 253L、L2= 5A(1 1 1 2 +253F =2y 671= 2*(L2-nLn) 671-2 ml! 2I2L22：nLn 671= 2BL2BL22BLn 671(2 分)SL2= 2B(1 1 q 2 +671Un依协因数传播定律则函数T的权倒数为:1Pt二 Qtt = 5A 11 * Qll * (5A 111

21、 )T =25nA2（3 分）则：Pt = 1 25nA2则函数F的权倒数为:Pf二Qff =2B11 *Qll * (2B 111 )T =4nB2（3 分）则：pF =1.4nB2-丄1- 2 L2n LnBL1BL2 川：；BLn（i 分）1：L2依协因数传播定律Qty = 5A11*Qll*(B1 11 )T 二 5nAB(2 分)Qtf - 5A11 *Qll *(2B 1 11 )T =10nAB (2 分)四、如图所示水准网,分）A、B、C三点为已知高程点，D、E为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。(20用间接平差法计算未知点 D、 E的高程平差值及其中误差;h 3高差观测

22、值/m对应线路长度/km已知点高程/mh1= -1.3481h2= 0.6911Ha =23.000h3= 1.2651Hb=23.564h4= -0.6621Cb=23.663h5= -0.0881h5= 0.7631四、解：1）本题 n=6， t=2， r=n-t=4 ；选D、 E平差值高程为未知参数 兄、X2(2 分)则平差值方程为:h?X?1h?3(2 分)h?4二 X?1h5-Hh?6则改正数方程式为:二？1-X?2二？2(1 分)二 X?2_l二？1_l-X?1_l取参数近似值 Xl =Hb +m +h2 =22.907、X； = Hb + h2 =24.255令C=1，则观测值的

23、权阵:I、1-11101丨201I =13=h10丨41015-110丿7 6丿-(BX卩1-(X01-X02厂“ 0h2-(X02-HB)0h3-(X02-HA)10h4-(X01-HB)-5h5-(X01-HA)56-(HC-X01）!)(4 分)组法方程N5?W二0，并解法方程:N 二BtPB4= N y = ll11J 4人10丿求D、E平差值:(4 分)H?c =X =X； +? =22.906mH?D =X2 =X X2 = 24.258m（1 分）2）求改正数:则单位权中误差为:则平差后D、E高程的协因数阵为:（2 分）Q x?（2 分）11 1根据协因数与方差的关系，则平差后 D、E高程的中误差为:-；?0 Q119 66-22mm - -3.32mm（2 分）11mm= 3.84mm五、如下图所示，A，B点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。（20分）h1h2五、证明：设水准路线全长为 S, h1水准路线长度为T,则h2水准路线长度为S-T; 设每公里中误差为单位权中误差，则 h1的权为1/T，h2的权为1/（S-T）;则其权阵为:（4 分）p _1/T0J 01 /（ S T ）丿 平差值条件方程式为:h? =o(3 分)则 A=( 11 )1 TN