初中数学-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系[优选课资]

1、初中数学初中数学 )0(0 2 acbxax 0 0 a a c c x x a a b b 两两边边除除以以a a，得得：x x 0 00 0中中a ac cb bx xa ax x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 4a a 4 4a ac cb b 2 2a a b b x x变变形形得得： 2 2a a b b a a c c 2 2a a b b 2 2a a b b 2 2x x配配方方得得：x x a a c c x x a a b b 移移项项得得：x x ：则要开平方，必须满足则要开平方，必须满足 0 0故4a故4a0,0,因a因a 2

2、 2 0 04 4a ac cb b 2 2 。 2 2a a 4 4a ac cb bb b 整整理理即即得得：x x 2 2a a 4 4a ac cb b 2 2a a b b 故故：x x 2 2a a 4 4a ac cb b 2 2a a b b 开开方方得得：x x 2 2 2 2 2 2 2 2a a 4 4a ac cb bb b x x 2 2 4 4a ac cb b2 2 0 04 4a ac cb b 2 2 0 04 4a ac cb b2 2 。0 0时时，方方程程没没有有实实数数根根4 4a ac c当当b b3 3 的的实实数数根根；0 0时时，方方程程有有两

3、两个个相相等等4 4a ac c当当b b2 2 等等的的实实数数根根；0 0时时，方方程程有有两两个个不不相相4 4a ac c当当b b1 1 二二次次方方程程的的根根的的情情况况：由由它它可可以以直直接接判判断断一一元元 程程的的根根的的判判别别式式，4 4a ac c叫叫做做一一元元二二次次方方b b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 14 4x x( (4 4) )5 5x x y y2 22 22 2( (3 3) )y y 1 14 4x x( (2 2) )3 3x x 0 04 47 7x x( (1 1) )2 2x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 03 3) )

4、( (a a1 1) )x x( (2 2a ax x 2 2 1 13 38 8a a4 4a a 3 3) )( (a a1 14 41 1) ) ( (2 2a a解解： 2 2 2 2 9 91 1) )4 4( (a a 9 91 1) )2 2a a4 4( (a a 2 2 2 2 的的实实数数根根。则则原原方方程程有有两两个个不不相相等等 0 09 91 1) )所所以以( (a a 0 0, ,1 1) )因因( (a a 2 2 2 2 0 0m m2)x2)x(m(mx x 4 4 1 1 2 22 2 。，m m的的最最大大整整数数值值为为所所以以原原方方程程有有实实数

5、数根根时时 1 1解解得得：m m 0 04 44 4m m化化简简得得： 0 0m m 4 4 1 1 4 42 2) ) ( (m m即即 0 04 4a ac c则则b b解解：因因方方程程有有实实数数根根， 2 22 2 2 2 0 02 2x xx x2 2 0 04 43 3x xx x 2 2 0 06 65 5x xx x2 2 方方程程 1 1 x x 2 2 x x 2 21 1 x xx x 2 21 1 x xx x 0 0q qp px xx x 2 2 2 21 1 、x xx xp p、q q q q。x xp p；x xx xx x 2 21 12 21 1 。

6、 a a c c x x；x；x a a b b x x则：x则：x 0的两根，0的两根，c cbxbx是一元二次方程ax是一元二次方程ax、x、x若x若x 2 21 12 21 1 2 2 2 21 1 0 0。x xx x) )x xx x( (x xx x 程程可可以以是是：为为两两个个根根的的一一元元二二次次方方、x x以以x x 应应用用： 2 21 12 21 1 2 2 2 21 1 0 0 x x2 2x x3 3( (4 4) ) 3 3m mm mx x( (3 3) )x x 0 01 1x x( (2 2) )2 2x x 1 15 5x x( (1 1) )3 3x

7、x 积积。口口答答两两根根之之和和与与两两根根之之 练练习习：不不解解方方程程， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 x x；x x 3 3 5 5 x xx x 2 21 12 21 1 2 2 1 1 x x；x x 2 2 1 1 x xx x 2 21 12 21 1 mmx xmm；x xx xx x 2 21 12 21 1 0 0 x x；x x 3 3 6 6 x xx x 2 21 12 21 1 。x x；(3)x；(3)x x x x x x x x x ；(2)；(2)x xx xx x(1)x(1)x 的值。的值。0的两根，求下列各式0的两根，求下列各式6

8、 64x4x是方程x是方程x、x、x例1：设x例1：设x 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 22 2 2 22 21 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 2 22 2；x xx x) )x x( (x xx xx xx x( (1 1) )x x 6 6x x4 4，x xx x解解：由由根根系系关关系系得得x x 2 21 1 2 2 2 21 1 2 2 2 22 21 1 2 2 1 1 2 21 12 21 1 ； 3 3 1 14 4 x xx x x x2 2x x) )x x( (x x x xx x x xx x x x x x x x x x ( (2 2) )

9、 2 21 1 2 21 1 2 2 2 21 1 2 21 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 。1 10 02 24 40 0 x x故故x x 4 40 0 x x4 4x x) )x x( (x x) )x x( (3 3) )( (x x 2 21 1 2 21 1 2 2 2 21 1 2 2 2 21 1 抓住代抓住代 数式的数式的 恒等变恒等变 形。形。 求求k k的的值值及及另另一一个个根根。 1 1，0 0的的一一个个根根是是2 2k kx x例例2 2：若若方方程程x x 2 2 2 2x x1 1) )( ( k kx x1 1 则则有有

10、 ，解解：设设另另一一个个根根是是x x 1 1 1 1 1 1 1 1。2 2，k k2 2解解得得：x x1 1 若用法若用法2 2 就得先解就得先解 一元一次一元一次 方程，再方程，再 解一元二解一元二 次方程。次方程。 (1)有两个正根？(1)有两个正根？ 0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关 2 2 有有两两个个实实数数根根。故故k k取取任任何何数数原原方方程程都都 0 05 5) )( (2 2k k4 4) )4 4( (2 2k k3 3) ) ( (2 2k k 4 4a ac c因因b b 0

11、04 4a ac c由由题题意意b b解解 2 22 22 2 2 2 ： 2 2。解解不不等等式式组组得得：k k 0 04 42 2k kx xx x 0 03 32 2k kx xx x 数数，则则有有( (1 1) )若若方方程程两两根根为为正正 2 21 1 2 21 1 将根的特将根的特 点与根系点与根系 关系联系关系联系 起来。起来。 根绝对值较大？根绝对值较大？(2)两根异号，且正(2)两根异号，且正 0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关 2 2 0 04 42 2k kx xx x 0 03 32 2k kx xx x 绝绝对对值值大大，则则有有( (2 2) )两两根根异异号号且且正正根根 2 21 1 2 21 1 2 2。k k 2 2 3 3 解解上上不不等等式式组组得得： 一根小于3？一根小于3？(3)一根大于3，(3)一根大于3， 0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关 2 2 。 2 2 7 7 解得