实变函数与泛函分析总复习题

1、第一章 复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。（ ）2、小个子全体构成集合。（ ）3、所有集合都可用列举法表示。（ ）4、所有集合都可用描述法表示。（ ）5、对任意集合，总有。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、若，则。（ ）9、，其中表示全集。（ ）10、。（ ）11、，。（ ）12、，。（ ）13、若，则。（ ）14、若，则，反之亦然。（ ）15、若，且，则。（ ）16、若，则。（ ）17、若，且，则。（ ）18、可数集的交集必为可数集。（ ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（ ）20、因整数集有理数集，所以为不可数集。（ ）21、。（ ）第二章 复习题一、判断题1、设，则。

2、（ ）2、设，则。（ ）3、设，则。（ ）4、设点为点集的内点，则。（ ）5、设点为点集的外点，则。（ ）6、设点为点集的边界点，则。（ ）7、设点为点集的内点，则为的聚点，反之为的聚点，则为的内点。（ ）8、设点为点集的聚点，则为的边界点。（ ）9、设点为点集的聚点，且不是的内点，则为的边界点。（ ）10、设点为点集的孤立点，则为的边界点。（ ）11、设点为点集的外点，则不是的聚点，也不是的边界点。（ ）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（ ）13、开集中可以含有边界点和孤立点。（ ）14、是开集的内部（开核）。（ ）15、任意多个开集的并集仍为开集。（ ）16、任意多个开集的交集仍为

3、开集。（ ）17、有限个开集的交集仍为开集。（ ）18、闭集中的每个点都是聚点。（ ）19、和都是闭集。（ ）20、是闭集。（ ）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（ ）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（ ）23、有限个闭集的并集仍为闭集。（ ）24、是开集是闭集。（ ）25、是完全集（完备集）是无孤立点的闭集。（ ）二、填空题1、设，是上的全部有理点，则；的内部 空集 ；。2、设，则；的内部 空集 ；。3、设，则；的内部；。4、设是康托（三分）集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； 0 。5、设为上的开集的构成区间，则满足，且，。6、设，写出的所有的构成区间。7、设，写出的

4、所有的构成区间。8、设为上的闭集，为的孤立点，则必为的两个邻接区间的 公共 端点。9、设为上的闭集，则的邻接区间必为的构成区间。第三章复习题一、判断题1、对任意，都存在。（ ）2、对任意，都存在。（ ）3、设，则可能小于零。（ ）4、设，则。（ ）5、设，则。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、设为中的可数集，则。（ ）9、设为有理数集，则。（ ）10、设为中的区间，则。（ ）11、设为中的无穷区间，则。（ ）12、设为中的有界集，则。（ ）13、设为中的无界集，则。（ ）14、是可测集是可测集。（ ）15、设是可测集列，则，都是可测集。（ ）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测

5、集。（ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（ ）19、若，则。（ ）20、若是无限集，且，则是可数集。（ ）21、若，则必为无界集。（ ）22、在中必存在测度为零的无界集。（ ）23、若，都是可测集，且，则。（ ）24、和都是可测集，且，。（ ）25、设为可测集，则。（ ）26、设为可测集，且，则。（ ）二、填空题1、若是可数集，则 0 ；为 可测 集； 0 。2、若为可测集，则 小于或等于 ；若为两两不相交的可测集，则 等于 。3、设为可测集，则 大于或等于 ；若还有，则 大于或等于 。4、设为可测集，

6、且，则 等于 。5、设为的内点，则 大于 。6、设为康托三分集，则为 可测 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的差集 。9、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的并集 。第四章 复习题一、判断题1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（ ）2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（ ）3、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。（ ）4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数，

7、为可测集。（ ）5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（ ）6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（）， 为可测集。（ ）7、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（ ）8、若可测集上的可测函数列在上几乎处处收敛于可测函数，则在上“基本上”一致收敛于。（ ）9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（ ）10、设为可测集，若上的可测函数列（），则的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。（ ）11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（ ）二、填空题1、 等于 ， 等于 。2、 包含于 ， 包含于

8、； 等于 ， 等于 。3、设，则 等于 。4、设，则 等于 。5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为 至多可数 集，则为上的 几乎处处 连续函数，从而为上的 可测 函数。6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。9、叙述叶果洛夫定理 设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。10、叙述鲁津定理

9、设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数 。11、若，（），则 等于 几乎处处于 。第五章复习题复习题（一）一、判断题1、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（ ）2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（ ）3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（ ）6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（ ）8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（ ）9、设是可测集上的可测函数，

10、且，至少有一个成立，则在上勒贝格可积。（ ）10、设是可测集上的可测函数， 若且，则在上勒贝格可积。（ ）11、设是可测集上的可测函数， 若，则。（ ）12、设是可测集上的可测函数， 若且，则。（ ）13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（ ）14、若，则。（ ）15、若，则。（ ）16、若，则。（ ）17、若，为的可测子集，则。（ ）18、在上勒贝格积分值存在。（ ）19、若，且，则于。（ ）20、若在上可积，则若在上可积，且。 （ ）21、若，且于，则。（ ）22、若，则于。（ ）23、若，则于。（ ）24、若与存在，且，则。（ ）25、若存在，是的可测子集，且，则。（ ）26、勒贝格积

11、分也是黎曼广义积分的推广。（ ）二、计算题1、设，求。解：因为有理数集为零测集，所以，于，于是。2、设，其中为中的三分康托集，求。解：因为，所以，于，于是。第五章 复习题（二）一、判断题1、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果于，则。（）2、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果（），则。（）3、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果且（）或于，则。（）4、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（）6、设是可测集上的非负可测函数列，则。（）7、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）8、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）9、设是可测集上的非正可测函数列，则。（ ）10、设是可测集上的可测函数列，则。（）11、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，则。（）12、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，