求极限的方法及例题总结

1、n32211nn1 2sin(-+i)-I例7i ESI (sin疗=ss jt . JM导教的激求极限lim %3 r. JTsint+xj-sm-r贯解；朦式邛m-=(sinx)1 =cos-=(k，丽 x-y2J户+1 _ 3xx + sin x例6：黜解 i iS 式=lim 31i mx-hsin xx + sin jv=1-3=- 2*.sin x1Hx8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限lim 3X 1一2例 1 x 1 x 一1注：本题也可以用洛比达法则lim * n(、. n 2 Tn -1) 例2 3x-3(x-1)(、3x 1 2)limx 1-limx 1(x

2、 -1)(. 3x 1 2)(、.3x 1)2 -224o3Jn(n+2) (n -1)分子分母”以3精品资料上下同除以原式 (-1)n 3n lim m m 3 -6 sin x +3 解:(一孑ilim -3二 1(守 133x精品资料3.两个重要极限s sin x /lim = 1(1)3 x1lim (1 x)x = e 3说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,sin 3x /lim1例如：x 0 3xlim(1 -2x) /xxim(1五利用两个重要极限求极限lim例51 一cosx23x 解：原式二2 x2sin 一2lim 2 x 0 3x=li

3、m2 x2sin 一2x0x 212 (2)注：本题也可以用洛比达法则。-6sin xlim (1 - 3sin x)x lim (1 - 3sin x) 与inx lim(1 -3sinx) sinx x 二 ex0-3n丁 11im(1n 1-3ngw”11 J-3二e4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xT 0时，下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1 + x)ex 1 0说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T 0),仍有上面的等价3x 2

4、2关系成立，例如：当0时，e - 13x ； ln(1 x )- x。定理4如果函数f(x)，g(x)，f1(x)，g1(x)都是XT X。时的无穷小，且 f1(x)f (x)lim lim f (x)f1(x), g(x)g1(x),则当Jx0 g1(x)存在时，Jx0 g(x)也存在且等于f1(x) f (x) f1(x)lim lim lim f (x) 5 g1(x) 即 XTx0 g(x) = JX0 g1(x) q利用等价无穷小代换(定理4)求极限limx0例9xln(1 3x)2、arctan(x )lim 学=3J,原式=T0Xotan x -sin x解：:xT 0时，ln(

5、1+3x)3x , arctan(x2)x2x sin x e -e lim 例 10 J0 x - sin xsin xx -sin xsin x ,e (e -1) e (x-sinx)lim 二 lim二 1解.序式=x 0x - sin xx-0x - sin x注：下面的解法是错误的:lim -in . 原式=x-0x - sin xx-0 x - sin x正如下面例题解法错误一样:_ . x 一 x 一 八- lim -3- 0xT x。2 . 1、 tan(x sin ) lim -例 11 x-0sin x;当x T解：1110时，x sin 是无分小，tan(x sin )

6、与x sin 等价2 Ze 1x sin1limx = lim xsin 0所以，原式二Jx J0 x。(最后一步用到定理2)五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替 换求极限常常行之有效。例1.1 lim ( x 0 xsin x -1e -1sin sin(x -1) lim 2 x,0ln x5.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满 足：(1) f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0;lim(3)lim则极限f(x)f

7、 (x)g (x)存在(或是无穷大)；f (x) lim g(x)也一定存在，且等于g(x)f (x) f (x) lim lim ，即 g(x) = g(x) o说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验 证所求极限是否为“。”型或型；条件Q) 一般都满足，而条件(3)则在求 导完毕后可以知道是否满足。另外， 洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件利用洛比达法则求极限 说明：当所求极限中的函数比较复杂时， 也可能用到前面的重要极限、等价无穷 小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续

8、使用。1 - cosxsin x 1lim 2lim 一 二 一例12T 3x （例4）解：原式=3 6x 6 0 （最后一步用到了重要极限）例13二 x coslim -limI1 X1解：原式=TxZ =二2o例14x-sin xlim 3x Q x31 - cosx sin xlim 2 lim 一 解：原式=xT0 3x = T 6x（连续用洛比达法则，最后用重要极限）sin x - xcosxlim 2例 15 x0x sin x解:原式=limx_0=limx0sin x - xcosx2x xxsin x 1=limx )0cosx -(cosx - xsin x)3x23x2l

9、im - - 例 18 x R xln(1 x)1 1lim 解：错误解法：原式=x 0 x x正确解法:ln(1 x) - x二 limx 0xln(1 x)，一11 x ln(1 x) - x=lim-一jox x2x=-02x(1 x) 2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x - 2sinx lim 1 - 2cosx lim 一例 19 x 3x cosx解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到： + 3-sinx ,此极限 不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:, 2sinx1 lim x-x- 3 cosx1原式二x（分子、分母同时除以x = 3 （利用定理

10、1和定理2）6 .连续性定理6 一切连续函数在其定义去问内的点处都连续,即如果x0是函数f（x）的定义去问内的一点，则有lim f(x) = f(x0) x xo利用函数的连续性（定理6）求极限精品资料ilim x v 解：因为x0 =2是函数f(x) = x eex例 4 x ,21的一个连续点，所以原式=221=4几7 .极限存在准则定理7 （准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例 1 设 a A0 Xi = Ja,X2 =xa +va = :a + x1,，Xn邛 = a + Xn (n = 1,2,)

11、r、Em lim xn求极限n廿O定理8 （准则2）已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1) yn E Xn EZn , (n = 1,2,3,)(2)lim yn = a lim Zn = a n n ：则极限lim Xnn)：lim Xn ua定存在，且极限值也是a ,即5。10.夹逼定理定理z t数列夫猥定理如果觐列Q, （乂），4满足下列获明 乂 W/Wq(所krk+，k+2(2) IM% =1油% =5.则 1加4 =定理3 f囱取夫遇定震 如果音B3）质罡F列泰的 当0 4 L5(fttfhbl) mi(2)Hm歙幻=hm i：F=兑那2hm4)存在.且等于小 lHRa-

12、1-4 -例停an JTAT IftS ITT IJT sin - siti smj 因为一生之一生一 豳+ 界十】西/ fl+21升1 G S白妹；1三行不】白 m r J 2 2l.*n Tstn - ralitn - xsin = I an axdx s+m n 占比+廿 M n ht* 打 hJrn于是由定温定理可知质式等于2.利用极限存在准则求极限例20已知X1=，2,Xn1 = .2 Xn ,(n = 1,2,)lim Xn求 n解:易证：数列xn单调递增，且有界（xlim xn0 n:=lim xn = 2例21lim (nj 二二a = 2 或 a=_1（不合题意，舍去）n2

13、1, n2 2.n2 n一12解：易见：vn +n. n dlim 1因为n -n2.nlim n 二n =1n2 1所以由准则2得:lim ( n2 11 1 1)=19.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算, 收到奇效。f-i口 r (刃n x - $1力 口 x) 1n xM 2：求极限hm7丫NT解lim xOsin1 x) 2,(sin x-sin sin x)stnx_ (jinxsinsinx)xcosxfl-cossmx)r= hm12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问”1+(与1+3产nn】7T=事0 4_ _ri 1十是有 lim & =人jdx = arctan x 8.利用复合函数求极限定理 =lo(hm(! + x)r = In 审=1- 5H设有11&函