线性代数论文卫来应数二班120902203

1、行列式计算方法论文 行列式的历史背景 行列式出现于线性方程组的求经计算,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具. 行列式是因为莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693 年 4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件. 同时代的日本数学家关孝和1683年在其著作经计算伏题元法中也提出了行列式的概念与算法. 1750 年,瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析导引中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整,明确的阐述,并给出了现在我们所称的经计算线性方程组的克莱姆法则稍后,数学家贝

2、祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零经计算. 总之,在很长一段时间内,行列式只是作为经计算线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究. 在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,也就是把行列式理论与线性方程组求经计算相分离的人,是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) . 范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐,但对数学有浓厚的兴趣,后来终于成为法兰西科学院院士.特别地,他给出了用二阶子式和它

3、们的余子式来展开行列式的法则.就对行列式本身这一点来说,他是这门理 论的奠基人. 1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西. 1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的,几乎是近代的处理.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等. 19 世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士.西尔维斯

4、特 (J.Sylvester,1814-1894) .他是一个活泼,敏感,兴奋,热情,甚至容易激动的人,然而因为是犹太人的缘故,他受到剑桥大学的不平等对待.西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想,他的重要成就之一是改进了从一个 次和一个 次的多项式中消去 x 的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式 方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出证明. 继柯西之后,在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ,他引进了函数行列式,也就是雅可比行列式,指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式的导数公式.雅可比的

5、著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成. 因为行列式在数学分析,几何学,线性方程组理论,二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展. 整个 19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。计算n阶行列式的若干方法举例 1利用行列式的性质计算例： 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：因为知，也就是故行列式Dn可表示为，因为行列式的性质， 当n为奇数时，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.2化为三角形行列式例2 计算n阶行列式经计算 这个行列

6、式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同将第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 计算n阶行列式 经计算：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的经计算答中需要计算如下行列式的值：分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的

7、性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。经计算：4降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例1、计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何

8、况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：经计算：例2 计算n阶行列式经计算 将Dn按第1行展开.例3 计算n（n2）阶行列式经计算 按第一行展开，得 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则所以到5递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起Dn与Dn+1的递推关系式，逐步推下去，从而求出Dn的值。 有时也可以找到 Dn与Dn+1的递推关系，最后利用Dn求出Dn和Dn+1的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，也就是很难找出递推关系式，从而不能使

9、用此方法。例1 计算行列式.经计算：将行列式按第列展开,有,得 。同理得 , 例2 计算经计算同理联立经计算得当时,例3 计算n阶行列式经计算 首先建立递推关系式按第一列展开，得：这里与有相同的结构，但阶数是的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：因，故最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时，显然成立设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确因为可知，对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例4 证明n阶行列式证明 按第一列展开，得其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得

10、到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作这样，就有递推关系式：因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，结论正确当时，结论正确设对的情形结论正确，往证时结论也正确因为 可知，对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式： 分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，也就是知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展

11、开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：这是因为Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式。若因为上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是因为n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：或现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：因此当时因为（1）（2）式可经计算得：，证毕。6利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例1 计算行列式经计算 把第1行的1倍

12、加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 计算阶行列式其中经计算 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，n也就是按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，也就是例3 计算行列式.经计算：例4 计算行列式 经计算 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系数的相反数,而中 的系数为 ,因此, 例5、 计算n阶行列式经计算：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与

13、第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： 7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。

14、例1 计算n阶行列式 经计算： 例2 计算n（n2）阶行列式，其中经计算 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：显然，将的第一行乘以后加到其余各行，得因，将上面这个行列式第一列加第i（，）列的倍，得：8数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）例1 计算n阶行列式经计算：用数学归纳法. 当n = 2时， 假设n = k时，有 则当n =

15、k+1时，把Dk+1按第一列展开，得因为此，对任意的正整数n，有例2 计算行列式.经计算：,于是猜想 .证明：对级数用第二数学归纳法证明.时,结论成立.假设对级数小于时，结论成立.将级行列式按第行展开，有.例3 计算行列式经计算：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设nk 1 时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。9拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。例1 计算行列式 经计算：=例2 计算n（n2）阶行列式经计算 将按第一

16、列拆成两个行列式的和，也就是再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则所以到当n3时，当时，例3 计算n阶行列式 ，（）经计算 将第一行的元素都表成两项的和，使变成两个行列式的和，也就是将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得： 这里是一个与有相同结构的阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和： 仿上所以： （2）将（1）式两边乘以，（2）式两边乘以，然后相减以消去，得：5.消去法求三对角线型行列式的值例6 求n阶三对角线型行列式的值： （1）的构造是：主对角线元

17、全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。经计算 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n 1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为 （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为 93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，也就是。注3 一般的三对角线型行列式 （4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值

18、等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。10. 因式分经计算法如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较与的某一项的系数，求出值.例8 计算行列式.经计算:注意时，所以，. 同理均为的因式又与各不相同 所以 但的展开式中最高次项的系数为1，所以注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.行列式： 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 定理2：n阶行列式也可定义为D（-1）tap1ap2ap3apn其中t为行排列p1 p2p

19、n的逆序数 性质1：行列式与它的转置行列式相等 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则等于两个行列式之和 性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的 元素上去，行列式不变 引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij外都为零，那么这行列式等于ai