全国I卷2021届高三数学第二次模拟考试题二文【含答案】

1、（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（二）文注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知，其中为虚数单位，则复数在

2、复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知直线，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如果执行下面的程序框图，输入，那么输出的等于（ ）A360B240C120D605高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，已知，则函数的值域为（ ）ABCD6若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）AB2C4D7若两个非零向量、满足，则向量与的夹角是（ ）ABCD8已知等差数列满足，则数列的最大项为（ ）ABCD9下

3、列式子结果为的是（ ）；ABCD10在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（ ）ABCD11设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）AB1C2D312已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，则（ ）A16B9C4D3第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若一组数据的平均数是30，另一组数据的平均数是，则第三组数据的平均数是_14海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点、，测得，则、两点的距离为_15在

4、正三棱锥中，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为_16已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和18（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，（1）证明：平面（2）若四棱锥的体积为12，求点到平面的距离19（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测

5、试满分为分，该校某专业的名大一学生参加了学校举行的测试，记录这名学生的分数，将数据分成组：，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于分的称为优秀，已知这名学生中男生有人，其中测试优秀的男生有人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为测试优秀与性别有关；男生女生优秀不优秀附：（3）对于样本中分数在，的人数，学校准备按比例从这组中抽取人，在从这人中随机抽取人参与学校有关的宣传活动，记这人分数不低于分的学生数为，求的分布列20（12分）已知函数，（1）当时，求的最小值；（2）若曲线与有两条公切线，求的取值范围21（12分）已知椭圆与的离心率相同，

6、过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、，且，求的值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与极轴交于点，且动点满足（1）求直线的极坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；（2）若直线分别交直线、曲线于点，（非极点），求的值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，（1）若，解不等式；（2）当，时，的最大值是，证明：文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题

7、共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】因为，所以，故选B2【答案】D【解析】由题意，对应点为，在第四象限，故选D3【答案】C【解析】若，则，解得或，当时，直线，重合，充分性成立；当时，显然，必要性成立，故“”是“”的充要条件，故选C4【答案】C【解析】程序在执行过程中，的值依次为；，此时不成立，结束循环，输出，故选C5【答案】C【解析】，当时，则，故，故；但时，则，故，综上所述，函数的值域为，故选C6【答案】B【解析】画出约束条件或所表示的平面区域，如图所示：则表示可行域内的点到定点距离的最小值，过作的垂线，距离为，则的最小值为，故选B7

8、【答案】D【解析】在等式两边同时平方可得，在等式两边同时平方可得，所以，所以，故选D8【答案】C【解析】因为数列是等差数列，所以，解得，则，因为，当且仅当时等号成立，所以当时，；当时，故数列的最大项为，故选C9【答案】C【解析】对于，由于，所以；对于，由于，所以；对于，因为，；对于，因为，故选C10【答案】C【解析】设所取的两个数分别为、，则事件构成的全部区域为，区域是边长为的正方形区域，事件“这两个数之和小于”构成的区域为，如下图所示：直线交直线于点，区域表示的是图中阴影部分区域则三角形区域是直角边长为的等腰直角三角形，区域的面积为，因此，事件“这两个数之和小于”的概率为故选C11【答案】B

9、【解析】由题可知，设，其定义域为，又，即，由于，即，所以是奇函数，而，由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为，由于是奇函数，得的最小值为，所以的最小值为，故选B12【答案】B【解析】设动点，由双曲线方程可得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，由此可得，所以因为动点在双曲线上，所以，所以，则，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】161【解析】数据共有个，其平均数为，因此，故数据的平均数是，故答案为16114【答案】【解析】在中，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因此，故答案为15【答案】【解析】设的中心为，连接，平面，面，又，平面，平面，又，平面平面，为

10、正三棱锥，两两垂直，故外接球直径为，故三棱锥外接球的表面积为，故答案为16【答案】【解析】当时，令，则，故此时的图象为圆的一部分，在坐标平面中画出的图象如下：因为关于的方程有三个不同的实数根，所以的图象与的图象有3个不同的交点当时，的图象与的图象无交点，舍去；当时，的图象的左边的射线与的图象有一个交点，当射线与相切时，设切点为，则，故，当射线过时，；当与圆相切时，有，故因为，故当的图象与的图象有3个不同的交点时，有或故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）数列满足，当时，两式作差有，所以，当时，上式也成立，所

11、以（2），则，所以18【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为底面是菱形，所以因为，且，所以平面因为平面，所以因为，且，所以，因为，所以，则因为与相交，所以平面（2）解：由（1）可知平面，则设，则四棱锥的体积为，解得在中，则的面积为设点到平面的距离为因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，解得，即点到平面的距离为19【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析【解析】（1）设这名学生测试分数的中位数为，由前5组频率之和为，前6组频率之和为，可得，所以，（2）列联表如下：男生女生优秀不优秀，所以没有的把握认为测试优秀与性别有关（3）由题意可知，人中分数在内的共有人，分数不低于分的学生有人，的取值依次为，所以的分布列为：20【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，令，令且，可得，；，即函数在上单调递减，在上单调递增，（2）由函数和的图象可知，当时，曲线与有两条公切线，即在上恒成立，即在上恒成立，设，令；，即函数在上单调递增，在上单调递减，即，因此，21【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的方程为，焦距为，将代入的方程可得，解得由题意得，解得，因此的方程为（2）设、，由，得（或），与、相交，只需当时，解得当时，由韦达定理可得，所以，与的中点相同，所以，即，整理可得，解得，