现代光学系统第三章

1、第三章第三章 光学成像系统的频光学成像系统的频 率特性率特性 主讲人：徐世祥主讲人：徐世祥 本章主要内容： l光波通过透镜的位相分布；光波通过透镜的位相分布； l透镜的傅立叶变换特性；透镜的傅立叶变换特性； l透镜孔径对傅立叶变换的影响；透镜孔径对傅立叶变换的影响； l衍射受限系统的点扩散函数、成像规律；衍射受限系统的点扩散函数、成像规律； l相干传递函数、光学传递函数；相干传递函数、光学传递函数； l有像差系统的传递函数；有像差系统的传递函数； l相干与非相干成像系统的比较。相干与非相干成像系统的比较。 本章的教学目的与要求： l掌握光波通过透镜的位相分布；掌握光波通过透镜的位相分布； l掌

2、握透镜傅立叶变换特性及孔径对傅立叶变换的影响；掌握透镜傅立叶变换特性及孔径对傅立叶变换的影响； l掌握衍射受限系统的点扩散函数、物象规律；掌握衍射受限系统的点扩散函数、物象规律； l掌握传递函数的物理意义及传递函数的计算。掌握传递函数的物理意义及传递函数的计算。 3.0 概述概述 l 透镜透镜能使人们在能使人们在较近的距离较近的距离观察到物体的远场衍观察到物体的远场衍 射图样。射图样。 l 透镜透镜能够改变光波的空间位相分布，能够改变光波的空间位相分布，即透镜具有即透镜具有 对透射光波进行空间位相调制的能力。对透射光波进行空间位相调制的能力。 l 透镜透镜可以用来实现物体的傅立叶变换。可以用来

3、实现物体的傅立叶变换。透镜的这透镜的这 一性质是光学模拟计算方法的基础，也是相干光学一性质是光学模拟计算方法的基础，也是相干光学 信息处理方法的基础。信息处理方法的基础。 光学成像系统最基本的元件：透镜光学成像系统最基本的元件：透镜 一、薄透镜的位相调制作用 l为研究透镜对入射波前的作用，引入透镜的为研究透镜对入射波前的作用，引入透镜的复振幅透过率复振幅透过率： 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) L Ux y P x y U x y 3.1 薄透镜的作用薄透镜的作用 透镜能将一点成像到另一点处。透镜能将一点成像到另一点处。 lP2平面上复振幅可表示为：平面上复振幅可表示为： 22 2

4、2 () 2 2 2 2 ( , ) k ixy ikdd A Ux yee d lo点发出的球面波到达点发出的球面波到达P1平面上某点平面上某点(x, y)时，其复振幅可表时，其复振幅可表 示为示为(A为紧靠透镜表面的光场振幅为紧靠透镜表面的光场振幅)： 22 11 () 2 1 1 1 ( , ) k ixy ikdd A Ux yee d 结合成像关系结合成像关系 l透镜的复振幅透过率可表示为：透镜的复振幅透过率可表示为： 22 11 2 1212 () () 221 112 ( , ) ( , ) ( , ) k dd ixy ik dd L Ux yA d P x yee Ux yA

5、d l略去与略去与x, y无关的常数因子，透镜的复振幅透过率可得：无关的常数因子，透镜的复振幅透过率可得： l忽略透镜表面的反射损耗，显然忽略透镜表面的反射损耗，显然 22 () 2 ( , ) k ixy f L P x ye 与x, y相关的空间位相调制作用 21 12 1 A d Ad l按照成像公式有按照成像公式有 （f 为焦距）：为焦距）： 12 111 ddf l考虑到透镜孔径的有限大小对光场分布的影响，考虑到透镜孔径的有限大小对光场分布的影响，透镜透镜 透过率透过率更一般的表示式可写为：更一般的表示式可写为： 22 () 2 ( , )( , ) k ixy f L Px yP

6、x y e l孔径函数孔径函数 22 0 0 22 0 1 ( , ) 0 xyr P x yr xyr 为透镜孔径 孔径函数 （振幅） 相位函数 l考虑光波由考虑光波由P1平面到平面到P2平面平面物函数对入射光波的菲物函数对入射光波的菲 涅耳衍射；涅耳衍射；P2面上的光波场分布为：面上的光波场分布为： 二 透镜的傅立叶变换性质 22 1 () 2 1 1 ( , )( , )* k ixy d l fx yf x ye d y P P4 4y P P1 1 O O1 1O O2 2 x x P P2 2P P3 3 f(x,y) fl(x,y) fl(x,y) L L g(x,y) l单色平

7、面光波垂直照明单色平面光波垂直照明 l光波由光波由P2平面到平面到P3平面平面P2平面的光波场乘以透镜的平面的光波场乘以透镜的 透过率函数；透过率函数；P3面上的光波场分布为：面上的光波场分布为： 22 2222 1 () 2 ()() 22 1 ( ,)( ,)( ,) 1 ( ,) *( ,) k ixy f ll kk ixyixy df fx yfx y P x y e fx yeP x y e d l光波由光波由P3平面到平面到P4平面平面P3面到面到P4面的菲涅耳衍射结面的菲涅耳衍射结 果；果；P4面上的光波场分布为：面上的光波场分布为： 222222 12 ()()() 222

8、2 12 1 ( , )( , )*( , )* kkk ixyixyixy ddf g x yf x yeP x y ee d d l积分形式为积分形式为 22 1 2222 2 ()() 2 2 12 ()()() 22 1 (,)(,)(,) k i d kk ixyi df gx yfeP d d eedddd l如果观测屏处于透镜后焦面，且不考虑透镜孔径的影响，如果观测屏处于透镜后焦面，且不考虑透镜孔径的影响， 有有d2=f, P(x, y)=1, 于是整理得于是整理得 221 (1)() 2 / / 1 ( ,)(,) x y dk ixy ff fxf xy fyf g x ye

9、Fff if 傅立叶谱位相弯曲 l物面不同位置讨论物面不同位置讨论 （1 1）物体位于透镜前焦面时，透镜后焦面上得光场分布为：）物体位于透镜前焦面时，透镜后焦面上得光场分布为： 物体位于透镜前焦面时，透镜后焦面上将得到物函数的准确 的傅立叶变换。 1 ( , )(,) xy g x yF ff if （2 2）物平面紧靠透镜前表面时透镜后焦面上的光场分布为：）物平面紧靠透镜前表面时透镜后焦面上的光场分布为： 后焦面上的光场分布仍然是物函数的傅立叶频谱，但多了 一个位相因子。 221 22 (1)() () 2 11 ( , )(,)(,) xy dk ixy ifff ff xyxy g x

10、yeF ffeF ff ifif （3）物体位于透镜后时，通过物的光波是会聚波，物面上）物体位于透镜后时，通过物的光波是会聚波，物面上 光强和它离后焦面的距离光强和它离后焦面的距离d有关。物面上光场可表示为有关。物面上光场可表示为 22 () 2 ( , ) k ixy d i fA gx ye d 2 2 21 ( , )( , )(,) xy I x yg x yF ff f l物后表面上的光场分布：物后表面上的光场分布： 22 () 2 ( , )( , ), k ixy ff d idd fA g x yef x y Pxy d 物面被照明部分物面被照明部分 的孔径函数的孔径函数 物物

11、(的透过的透过)函数函数 仍可在后焦面上得 到傅立叶功率谱。 l其光强分布为其光强分布为 l从物后表面到透镜后焦面可视从物后表面到透镜后焦面可视 为菲涅尔衍射过程，则：为菲涅尔衍射过程，则： 2222 ()() 22 ( , )( , ), kk ixyixy ff dd dd fA g x yef x y Pxye d 如果物面全部被照明，且令如果物面全部被照明，且令P(fx/d, fy/d )=1, 透镜后焦面上光场分布为：透镜后焦面上光场分布为： 2222 2 222 22 ()() 22 2 ()() 22 () 2 / 2 / ( , )( , ) ( , ) (,) x y kk

12、ixyixy dd kk iixy dd k ixy d fxd xy fyd fAfA g x yef x ye dd feed d fA eF ff d 物放在透镜后，在后焦面上仍可以得物的傅立叶谱，仅多一物放在透镜后，在后焦面上仍可以得物的傅立叶谱，仅多一 位相因子。强度分布仍然是物的功率谱。位相因子。强度分布仍然是物的功率谱。 2 2 2 2 ( , )( , )(,) , xyxy fAxy I x yg x yF ffff ddd 而且而且 2 222 22 222 22 1, , 2 0, dDxyD xyff fdd xyD ffxy Pff dd dd else 小结：小结：

13、 1）无论物放在透镜前还是后，在透镜的后焦面上都可以得到）无论物放在透镜前还是后，在透镜的后焦面上都可以得到 物的傅立叶变换功率谱。物的傅立叶变换功率谱。 2）物紧贴透镜前或后，在透镜的后焦面上得到相同的场分布。）物紧贴透镜前或后，在透镜的后焦面上得到相同的场分布。 3）值得注意的是，当物放在透镜后时，由于）值得注意的是，当物放在透镜后时，由于 ， 所以，通过调节所以，通过调节d 值，可以实现傅立叶谱空间缩放。值，可以实现傅立叶谱空间缩放。 , xy xy ff dd 物体被点光源照明时，谱面就不在透镜的后焦面上，而物体被点光源照明时，谱面就不在透镜的后焦面上，而 是在点光源经物镜后的像点所在

14、的横截面上。是在点光源经物镜后的像点所在的横截面上。 频谱面频谱面 在哪里在哪里? l透镜实现傅立叶变换的两种途径：透镜实现傅立叶变换的两种途径： 1 1 采用平行光照明，在透镜的后焦面上观察物的频谱；采用平行光照明，在透镜的后焦面上观察物的频谱； 2 2 采用点光源照明衍射屏，在点光源的像平面上得到衍采用点光源照明衍射屏，在点光源的像平面上得到衍 射屏函数的傅立叶频谱（无论衍射屏位于透镜前还是透射屏函数的傅立叶频谱（无论衍射屏位于透镜前还是透 镜后），且频谱的零频位置就在点光源的像点处。镜后），且频谱的零频位置就在点光源的像点处。 d d 三 透镜孔径的影响 透镜有限孔径：透镜有限孔径：1）

15、影响出射光通量；）影响出射光通量；2）影响空间频谱，）影响空间频谱， 进而影响成像质量。进而影响成像质量。 对于零频分量，在透镜对于零频分量，在透镜 的孔径范围内的物点发出的孔径范围内的物点发出 的都能通过透镜。的都能通过透镜。 对于离轴程度不同的点，对于离轴程度不同的点， 透镜孔径作用的截止频率透镜孔径作用的截止频率 不同。不同。 0 物面上点发出的都可以物面上点发出的都可以 经过透镜的最大空间频率经过透镜的最大空间频率 分量为：分量为： )( 2 max f dD f 物面上点发出的光被透物面上点发出的光被透 镜完全挡住的最小空间频镜完全挡住的最小空间频 率（截止频率）：率（截止频率）：

16、max () 2 Dd ff 如图，透镜焦距如图，透镜焦距40厘米，厘米，d=2厘米厘米, D=5厘米厘米, 波长为波长为500纳米，纳米， d1=60 厘米，求厘米，求 1）物面上点发出的都可以经过透镜的最大空间频率；）物面上点发出的都可以经过透镜的最大空间频率； 2）物面上点发出的光被透镜完全挡住的最小空间频率。）物面上点发出的光被透镜完全挡住的最小空间频率。 无论成像系统的具体结构如何，都可以将其归结为如下模型：无论成像系统的具体结构如何，都可以将其归结为如下模型： 光波由物平面到像平面可分为三个过程：光波由物平面到像平面可分为三个过程： 3.2 光学成像系统的一般分析光学成像系统的一般

17、分析 一 成像系统的普遍模型 物平面 入瞳出瞳 像平面 312 光学系统的孔径光栏：光学系统中对光起实际限制作用的光学系统的孔径光栏：光学系统中对光起实际限制作用的 那个光学元件孔径。那个光学元件孔径。 入瞳：孔径光栏通过它前面的光学系统所成的像。入瞳：孔径光栏通过它前面的光学系统所成的像。 出瞳：孔径光栏通过它后面的光学系统所成的像。出瞳：孔径光栏通过它后面的光学系统所成的像。 孔径光栏、入瞳和出瞳存在互为物像关系。孔径光栏、入瞳和出瞳存在互为物像关系。 实际光学系统：衍射受限系统、像差系统实际光学系统：衍射受限系统、像差系统 l衍射受限系统衍射受限系统：指系统可以不考虑像差影响，仅仅考虑：

18、指系统可以不考虑像差影响，仅仅考虑 光瞳产生的衍射限制；光瞳产生的衍射限制； l衍射受限系统衍射受限系统：当像差很小，或者系统的孔径和视场都：当像差很小，或者系统的孔径和视场都 不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限系统；不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限系统； l衍射受限系统的边端性质衍射受限系统的边端性质：物面上一点光源发出的发散：物面上一点光源发出的发散 球面波入射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球球面波入射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球 面波；面波； l像差系统的边端性质像差系统的边端性质：点光源发出的发散球面波入射到：点光源发出的发散球面波入射到 入瞳上，出瞳

19、处的波前明显偏离理想球面波。偏离的程入瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。偏离的程 度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。 二 衍射受限系统的点扩散函数 ),;,(),( 110000 yxyxhyx 研究光学系统的核心任务就是求系统的点扩散函数。 成像系统是线性系统，其像平面上的光场复振幅分布可写成像系统是线性系统，其像平面上的光场复振幅分布可写 为物函数与成像系统脉冲响应函数的叠加积分；为物函数与成像系统脉冲响应函数的叠加积分； 000000 (,)(,) (,;,) iiii g xyfxyh xyxydx dy 只要能够确定成

20、像系统的脉冲响应函数，就能完备的描述只要能够确定成像系统的脉冲响应函数，就能完备的描述 该成像系统的性质。该成像系统的性质。 即将物函数看成无穷多个即将物函数看成无穷多个 (x0- , y0- )函数的集合函数的集合。 22 1 2222 2 ()() 2 2 12 ()()() 22 1 ( ,)( ,)(,) k i d kk ixyi df g x yfeP d d eedddd 对于单对于单 透镜光透镜光 学系统学系统 显然对于物面点显然对于物面点( , ) 000000 (,)(,) (,;,)( , ;,) iiiiii g xyxyh xyxy dx dyhxy (1) (2)

21、(3) 物平面物平面 透镜前透镜前 表面表面 像平面像平面 31 2 透镜后透镜后 表面表面 物面上一点物面上一点 函数表示，函数表示，P(x, y)为出射光瞳函数为出射光瞳函数 22 1 2222 2 2222 00 1 ()() 2 0000 2 12 ()()() 22 ()()() 222 2 12 1 (,;,)(,) ( , ) 1 ( , ) ii k ixy d ii kk ixxyyixy df kkk ix xyyiixy df h xyx yxy ed d d d P x y eedxdy eP x y ee d d 22 2 ()() ii xxyy d dxdy 将单

22、透镜光学系统推广到复合成像系统将单透镜光学系统推广到复合成像系统 2 物平面物平面 入瞳入瞳像平面像平面 31 出瞳出瞳 等效等效 焦距焦距 入 瞳 00 2 ()() 2 00 2 12 00 00 22 1 (,;,)( , ) (,)(,) ii xMxxyMyy i d ii ii ii h xy x yP x y edxdy d d xMxyMy hh xxyy dd 对于对于成像系统，相位项可以忽略成像系统，相位项可以忽略，于是，于是 2222 00 12 00 2 22 00 2 12 ()() 2 21 1 (,;,) (,) /, ii ii kk ixyixy dd ii

23、xM xxyM yy i d h xyxyee d d P x y edxdy Mdd 系 统 横 向 放 大 率 。 应用成像公式：应用成像公式： 12 111 fdd 等效焦距等效焦距 傅里叶 变换 结论：结论： 单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应就是系统光瞳单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应就是系统光瞳 函数的傅立叶变换，其中心在几何光学理想像点函数的傅立叶变换，其中心在几何光学理想像点xi=Mx0， yi=My0 衍射受限成像系统为线性空不变系统。衍射受限成像系统为线性空不变系统。 如果光瞳无穷大，则物上一点，成像面上仍是一点。如果光瞳无穷大，则物上一点，成像面上仍是一点。 00

24、00 22 (,;,), ii ii xMxyMy h xyxy dd 相应的成像面上函数分布相应的成像面上函数分布 00 0000 22 (,)(,), (,)(,) ii ii gii xM xyM y gxyfxydx dy dd xy ffxy MM 当不考虑出瞳的有限大小时：几何光学的理想像是物体当不考虑出瞳的有限大小时：几何光学的理想像是物体 的准确复现，但尺寸进行了缩放。的准确复现，但尺寸进行了缩放。 考虑出瞳的有限大小时：像面上光波场的复振幅分布等考虑出瞳的有限大小时：像面上光波场的复振幅分布等 于几何光学理想像与系统脉冲函数的卷积，物面上一点，于几何光学理想像与系统脉冲函数的

25、卷积，物面上一点， 相面上一个斑。不是准确成像相面上一个斑。不是准确成像, ,部分高空间频率信息丢失部分高空间频率信息丢失 （卷积的加宽平滑效应）。（卷积的加宽平滑效应）。 00 0000 22 (,)(,), ( ,) ii ii xMxyMy g xyf xy hdx dy dd f x y 即物函数和脉冲响应函数的卷积。 三 准单色光照明的物像关系分析 单色光单色光：光只有一个时间频率，即光谱宽度无限窄。：光只有一个时间频率，即光谱宽度无限窄。 衍射传输衍射传输 f(x0,y0, t)f(xi,yi, t) 准单色光准单色光：光的时间频率宽度小小与其：光的时间频率宽度小小与其 中心频率值

26、。中心频率值。 1/ 0 在频率域，不同频率的光在传输过程中在频率域，不同频率的光在传输过程中 是相互独立的。是相互独立的。 000000 2 00 000000 1 2 000000 (, )(, )(, ) (, )(, ) (, ),; (, )(, ) (, ),; t it ii ii iitii it ii f xytF xyf xyt f xyt edtG xy v F xyh xxyydx dy g xy tG xy v F xyh xxyydx dyed 于是 探测器测到的光强分布为探测器测到的光强分布为 完成从物函数到像函数之间的换算。完成从物函数到像函数之间的换算。 *

27、( ,)( ,; )( ,; )() iiiiii I x yg x y t gx y t时间平均 于是光强分布为于是光强分布为 00000000 * 00000000 ( ,) (,; ),;( , ; ),; (,; )( , ; ),;,; ii iiii iiii I x y f x y t h xx yydx dyfx y t hxx yydxdy f x y t fx y t h xxyyhxx yydx dy dxdy 同一时间，不同空间点光强的关联程度主要考察两处的相位同一时间，不同空间点光强的关联程度主要考察两处的相位 关联。关联。 假定物面上两点假定物面上两点（x0,y0）

28、和和(x, y)光场为：光场为： 000 (,) 0000 ( ,) (,; )(,) ( , ; )( ,) ixyt ix yt f xytf xye f x y tf x y e ； ； 和 000 (,)( ,) * 0000 (,; )( , ; )(,) ( , ) ixytx yt f xy t fx y tf xyf x ye ； 空间相干与非相干照空间相干与非相干照 明明 衡量物面上两点衡量物面上两点（x0, y0）和和(x, y)光场之间相干程度。光场之间相干程度。 0000 222 0000 ( ,)(,; )( ,)(,; ) * 0000 (,; )( , ; )(,

29、)( , ) (,)( , )(,) ( , ) ix ytxy tix ytxy t If xy tf x y tf xyf x y f xyfx y efxyf x y e ； 时间平均部分时间平均部分 显然显然 00 2 00 22 0000 (,)(,; ) (,; )(,; ) (,)(,)(,)(,) xytxyt Ifxytfxy t fxyfxyIxyIxy 如 果；和是 不 相 关 的 ， 则 时 间 平 均 部 分 为 零 ， 于 是 00 00 ( ,)(,; ) (,)( ,) x ytxyt II xyI x y 如 果；和是 相 关 的 , 则 时 间 平 均 部

30、分 就 不 为 零 ， 于 是 l 相干（空间）照明：物面上任意两点光场之间的相位差相干（空间）照明：物面上任意两点光场之间的相位差 随时间变换是恒定的。随时间变换是恒定的。 l 非相干照明：物面上任意两点光场之间的相位差随时间非相干照明：物面上任意两点光场之间的相位差随时间 变换是随机的。变换是随机的。 相干光场之间的叠加是电场叠加（相干叠加）；相干光场之间的叠加是电场叠加（相干叠加）； 非相干光场之间的叠加是强度叠加。非相干光场之间的叠加是强度叠加。 在相干照明方式下，衍射受限光学系统对光场复振幅变换而在相干照明方式下，衍射受限光学系统对光场复振幅变换而 言是线性空不变系统；对于光强度的变

31、换，则不是线性系统。言是线性空不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。 对于衍射受限光学系统，在相干光照明下有对于衍射受限光学系统，在相干光照明下有 000000 2 (,)(,), ( ,),(,) iiii iiii I xyfxyh xxyydx dy fx y h xx yy dxdyg xy 000 (,)( ,) * 0000 (,; )( , ; )(,) ( , ) ixytx yt f xy t fx y tf xyf x ye ； 的相位部分为常数，所以可忽略。于是光强分布为的相位部分为常数，所以可忽略。于是光强分布为 在非相干光照明下在非相干光照明下 000 (,)(

32、 ,) * 0000 22 *2 0000 (,; )( , ; )(,) ( , ) (,)( , ) 0 ixytx yt f xy t fx y tf xyf x ye f xyfx yxxyy else ； 非相干光的空间相干性很差，只有在非常小的空间范围非相干光的空间相干性很差，只有在非常小的空间范围 内的两点光场才有关联。当内的两点光场才有关联。当 足够小时有足够小时有 * 000000 (,; )( , ; )(,) ( , ),f xy t fx y tf xyf x yxxyy 在非相干光照明下，像面上的光强度分布：在非相干光照明下，像面上的光强度分布： 在非相干照明方式下，

33、衍射受限光学系统对光强度的在非相干照明方式下，衍射受限光学系统对光强度的 变化是线性空不变的，而对复振幅的变换则不是线性的。变化是线性空不变的，而对复振幅的变换则不是线性的。 * 00000 * 00000 2 2 0000000 00 (,)(,),;( ,) ,;, (,),; (,)*(,;) iiii ii ii iiIii I xyf xyh xxyyf x y hxx yyxxyydx dy dxdy f xyh xxyydx dy Ixyhxy 相干成像系统是光场复振幅变换的线性空不变系统相干成像系统是光场复振幅变换的线性空不变系统: : 像场复像场复 振幅振幅= =物场复振幅物

34、场复振幅* *系统脉冲响应函数系统脉冲响应函数 衍射受限相干成像系统的传递函数衍射受限相干成像系统的传递函数 在频域：在频域： 衍射受限相干成像衍射受限相干成像 系统的光学传递函系统的光学传递函 数，相干传递函数数，相干传递函数 相干传递函数的定义相干传递函数的定义 000000 00 00 00 (,)(,), 11 (,), (,) *(,) iiii ii giiii g xyfxyhxMxyMydx dy yx fhxxyyd x d y MMMM fxyh xy , , , ,( ,) ixy cxy gxy cxyii Gff Hff Gff Hffh x y 相干传递函数与系统物

35、理性质的联系相干传递函数与系统物理性质的联系 ),(),( yixiyxc fdfdPffH 单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应数值上等于系单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应数值上等于系 统光瞳函数的傅立叶变换，其中心在几何光学理想像点统光瞳函数的傅立叶变换，其中心在几何光学理想像点 xi=Mx0，yi=My0，而相干传递函数是脉冲响应函数的傅立叶变，而相干传递函数是脉冲响应函数的傅立叶变 换，故相干传递函数在数值上等于系统的光瞳函数。换，故相干传递函数在数值上等于系统的光瞳函数。 00 2 ()() 2 00 2 12 00 00 2222 1 (,;,)( , ) (,)(,) ( ,

36、 ) ii xMxxyMyy i d ii ii ii h xyx yP x y edxdy d d xMxyMy hh xxyy dddd P x y 衍射受限系统的脉冲响应衍射受限系统的脉冲响应 相干传递函数：相干传递函数： 1 (,) 0 cxy Hff 出瞳内 出瞳外 频域坐标（频域坐标（fx, fy）与空域坐标）与空域坐标(x, y)的关系：的关系： , xiyi fxdfyd注意与以前注意与以前 的区别！的区别！ 系统截止频率为：系统截止频率为： 光学系统输出像光学系统输出像 的频谱为：的频谱为： maxmax , CxiCyi fxdfyd 衍射受限系统对输入的各种频率分量的作用

37、就相当于一个低衍射受限系统对输入的各种频率分量的作用就相当于一个低 通滤波器。对低于截止频率的频率分量，无衰减通过；对于通滤波器。对低于截止频率的频率分量，无衰减通过；对于 高于截止频率的频率分量，则完全截止。截止频率高于截止频率的频率分量，则完全截止。截止频率fCx和和fCy是是 衡量光学系统质量的重要参数之一（分辨率）。衡量光学系统质量的重要参数之一（分辨率）。 (,) (,) 0 gxy ixy Gff Gff 出瞳内 出瞳外 像差对系统传递函数的影响像差对系统传递函数的影响 光学系统的像差：入射的球面波经光学系统后，从出瞳射出光学系统的像差：入射的球面波经光学系统后，从出瞳射出 波的位

38、相分布与球面波的位相分布的偏差。波的位相分布与球面波的位相分布的偏差。 ( , ) ( , ) (,) (,) ( , )( , ) 0 (,)(,) 0 (,) (,)(,)(,) ixiy ixiy ikW x y ikW x y ikWd fd f ixiy ikWd fd f gxy ixygxycxy e P x yP x y e e Hc fx fyPd fd f Gffe GffGffHff 有像差时系统的光瞳函数为： 在出瞳内 在出瞳外 有像差时系统的相干传递函数为： 在出瞳内 在出瞳外 系统输出像的频谱函数也可写为： 0 在出瞳内 在出瞳外 像差存在的影响：像差存在的影响：

39、不影响相干传递函数的通频带宽度，仅在通频带内引入了相不影响相干传递函数的通频带宽度，仅在通频带内引入了相 位畸变，使位畸变，使像失真像失真。 相干传递函数计算举例相干传递函数计算举例 例例1 1 有一出射光瞳为正方形的衍射受限成像系统，正方形有一出射光瞳为正方形的衍射受限成像系统，正方形 的边长为的边长为l l，试计算该系统的相干传递函数。，试计算该系统的相干传递函数。 正方形光瞳正方形光瞳相干传递函数相干传递函数 先求光瞳函数：先求光瞳函数： 1 1, ( ,),2 0 xy y llx ll P x yrect else 相干传递函数数值上等于系统的光瞳函数，即相干传递函数数值上等于系统的

40、光瞳函数，即 (,), iy ix ixiy d f d f Pd fd frect ll (,)(,) 1 1, ,2 0 xyixiy iy ix iy ix HffPd fd f d f d f d f d f rectll ll else （用空间频率表示）（用空间频率表示） X X方向截止频率：方向截止频率： Y Y方向截止频率：方向截止频率： 最大截止频率：最大截止频率： m a x 2 2 2 C xC y i i l ff d l f d 衍射受限非相干成像系统的传递函数衍射受限非相干成像系统的传递函数 对上式做傅立叶变换，并运用卷积定理，得：对上式做傅立叶变换，并运用卷积定理

41、，得： 在非相干照明方式下，衍射受限光学系统对光强度的变化在非相干照明方式下，衍射受限光学系统对光强度的变化 是线性空不变的：是线性空不变的： 一一 衍射受限非相干系统的光学传递函数衍射受限非相干系统的光学传递函数 0 ( ,)( ,)*( ,;) iiigiiIii I x yIx yh x y (,)(,)(,) i IxyIgxyIxy GffGffHff 2 2 2 2 2 ( , )( , )(,)( , ) (,)( , )( , )( , )( , )( , ) (,)( , )( , )( , )( , )( , ) gg IIxyI IxyIgggg IixyIiiiii h

42、 x yh x yHffh x y Gffgx yg x yg x yg x yg x y Gffgx yg x yg x yg x yg x y ， 注意： 与前面与前面 功功 率谱比率谱比 较较 功率谱功率谱 实函数实函数傅立叶变换函数的实部为偶函数，虚部为奇函数，即傅立叶变换函数的实部为偶函数，虚部为奇函数，即 ),(),( * yxIyxI ffGffG ii 研究的对象是光强：实数，非负数！研究的对象是光强：实数，非负数！ (,) (,)(,) (,)(,), (, (,)(,)A(,) (,) ( , , ( ) ) xy ii xyxy iff IxyIxyxy iffiff x

43、yxy xyxy xyxy GffGffffe A ffeAffe A ffAff ffff 如果将写 振幅部分为偶函数 ，相位部分为奇函数 成 归一化频谱归一化频谱 2 () 2 () , (,) (,) (0,0) , ,(,) (,) (0,0) , xy i i i xy g g if x f y i Ixy Ixy I i if x f y g Ixy Igxy I g Ix y edxdy Gff Gff G Ix y dxdy Ix y edxdyGff Gff G Ix y dxdy 对零频分对零频分 量归一化量归一化 如果将光学传递函数写成如果将光学传递函数写成 ),( ),

44、(),( yx ffi yxoyxo effHffH OTF，光学，光学 传递函数传递函数 MTF，调制，调制 传递函数传递函数 PTF，位相，位相 传递函数传递函数 归一化传递函数（非相干传递函数，光学传递函数）归一化传递函数（非相干传递函数，光学传递函数） 2 () 0 0 , (,) (,) (0,0) , (,) (,) (,) xy g if xf y I xy Ixy xy I I xy Ixy xy Ixy hx y edf df Hff Hff H hx y df df Gff Hff Gff 或 l光学系统对零频信息百分之百的传递，即光学系统对零频信息百分之百的传递，即H0(

45、0, 0)1;1; l任意空间频率的任意空间频率的MTFMTF低于零频下的值，即非相干成像系低于零频下的值，即非相干成像系 统是一个低通的空间滤波器统是一个低通的空间滤波器: : H0(fx, fy) H0(0, 0)1;1; l光学传递函数的实部为偶函数，虚部为奇函数。光学传递函数的实部为偶函数，虚部为奇函数。 l调制传递函数为调制传递函数为偶函数，相位传递函数为奇函数。偶函数，相位传递函数为奇函数。 三三 光学传递函数的一般性质光学传递函数的一般性质 二二 OTF与与CTF的关系的关系 * 2 ( , )(,) (,) ( , ) ccxy oxy c HHffd d Hff Hd d 光

46、学传递函数等于相干传递函数的归一化自相关。光学传递函数等于相干传递函数的归一化自相关。 调制传递函数（调制传递函数（MTF）描述系统对各频率分量对比度的）描述系统对各频率分量对比度的 传递；而位相传递函数（传递；而位相传递函数（PTF）描述系统对各频率分量）描述系统对各频率分量 施加的相移。施加的相移。 将物像频谱将物像频谱 描述为：描述为： 从而有从而有 (,) (,) (,)(,) (,)(,) ixy ii gxy iff IxyIxy iff IgxyIgxy GffGffe GffGffe (0,0)(0,0)(0,0) ig III GGH 0 (0,0)(0,0) ig II G

47、GG 00 00 00 00 0(,)(,) 0 0 (,)(,) (,) (,) (,) iixygxy II ii II iiixygxy II gg II gg Ixyiffff xy Igxy GGGG GGGG iffff GGGG GGGG GffG Hffe GffG e 于是于是 00 00 00 00 (,)(,) 0 (,) (,), (,) (,),(,) ixygxy II IIgg ii II IIii gg iffff ixy xy gxy GGGG GGGG ixygxy GGGG GGGG Vff Hffe Vff VffVff 其 中 像对比度像对比度物对比度

48、物对比度 PTF MTF (,)(,) ixygxy VffVff 光学系统中像的对比度小于物的对比度。光学系统中像的对比度小于物的对比度。 四四 衍射受限系统的衍射受限系统的OTF计算计算 光学传递函数是光瞳函数的归一化自相关光学传递函数是光瞳函数的归一化自相关 * 2 (,)(,) ( , )(,) (,) ( , ) cxyixiy ccxy oxy c HffPd fd f HHffd d Hff Hd d 光瞳函数的值非零即光瞳函数的值非零即1，即，即 2 * (,)(,),(,)(,) CxyCxyCxyCxy HffHffHffHff * ( , ) (,) (,) ( , )

49、ixiy oxy Px y P xd fyd fdxdy Hff P x y dxdy xy 0 , (,) , ii oxy xy d fd f Hff ff 中心为(0,0)的出瞳与中心为(-)出瞳的重叠面积 出瞳总面积 （） 衍射受限系统衍射受限系统OTF的计算的计算 光学传递函数步骤：光学传递函数步骤： 1） 确定系统出瞳的形状和大小，计算出瞳总面积确定系统出瞳的形状和大小，计算出瞳总面积 0 。 2）计算出瞳面至像平面之间的距离）计算出瞳面至像平面之间的距离di。 3）任意给定一组）任意给定一组(fx, fy)值，算出值，算出( difx, dify)值；将出瞳平值；将出瞳平 移，使

50、其中心落在移，使其中心落在(- difx, - dify)处，计算移动前后两出瞳处，计算移动前后两出瞳 的重叠面积。的重叠面积。 4）相继再给定一组）相继再给定一组(fx, fy)值，再算出重叠面积。依次类推，值，再算出重叠面积。依次类推， 就可算出就可算出 (fx, fy)值。值。 5）计算）计算 (fx, fy) / 0,从而算出从而算出HO (fx, fy) 自相关意味着两出瞳分别朝相反方向平移，直至重叠面积自相关意味着两出瞳分别朝相反方向平移，直至重叠面积 刚好为零时，它们已经平移开了刚好为零时，它们已经平移开了2xmax和和2ymax距离。距离。 maxmax maxmax 22 2

51、, 2, imximymxmy ii xy xd fyd fff dd 非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍。非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍。 衍射受限非相干成像系统的截止频率计算：衍射受限非相干成像系统的截止频率计算： 像差对像差对OTF的影的影 响响 ( , ) ( , ) ( , )( , ) 0 ikW x y ikW x y e P x yP x y e 有像差时系统的光瞳函数为： 在出瞳内 在出瞳外 * 2 (,)(,) ( , )(,) (,) ( , ) cxyixiy ccxy oxy HffPd fd f HHffd d Hff Hcd d * 2 (

52、,) (,) ( ,)(,) (,) ( ,) ( ,)(,) ( ,) ixiy xy oxy ikWxd fyd f ikWx y ixiy PPffdd Hff Pdd P x y P xd fyd feedxdy P x y dxdy 将 像 差 和 光将 像 差 和 光 学 传 递 函 数学 传 递 函 数 联系起来了。联系起来了。 (,)(,) oxyoxy HffHff 有像差无像差 1）像差的存在会使光学系统的调制传递函数下降，像面光强）像差的存在会使光学系统的调制传递函数下降，像面光强 度分布的各个频率分量的对比度降低。度分布的各个频率分量的对比度降低。 2）只要是同样大小和形状的出射光瞳，则对于有像差系统和）只要是同样大小和形状的出射光瞳，则对于有像差系统和 无像差系统，其截止空间频率都是相同的。无像差系统，其截止空间频率都是相同的。 0 2 (,) ( , ) 2 2 2 2 (,) ( , ) (,) (,)(,) 2 ( , ) (,) , ( , ) ( , ) ( , ) ixiy i