棱柱和棱锥中的面积和体积问题

1、棱柱和棱锥中的面积和体积问题棱柱和棱锥中的面积和体积问题 面积问题面积问题体积问题体积问题 小结小结 练习练习 A. 面积问题面积问题:侧面积、底面积、截面积 例例1:如图已知正三棱锥如图已知正三棱锥S ABC中中,E、F分别是分别是SB、SC 的中点，平面的中点，平面AEF平面平面SCB. 求：三棱锥求：三棱锥SABC侧面侧面 积与底面积的比。积与底面积的比。 解：作正棱锥的高SO，连结AO并延长交BC于D， 连结SD交EF于G，连结AG. SO 平面ABC,O是ABC中心 D是BC的中点. 又EF是SBC的中位线 G是SD的中点根据对称性,AE=AF AG EF 平面AEF 平面SCB A

2、G 平面SBC， AG SD， ASD是等腰三角形，SA=DA A B D C S F E G O 设正三棱锥SABC的底面边长为 ，则AD= ，SA=SB=a 2 3 a 2 2 a = 于是： S侧 S ABC 3 SD BC 2 1 2 1 AD BC 3SD = AD = 6 A B D C S F E G O 例例2.正三棱锥的侧面积为正三棱锥的侧面积为18 cm2,高为高为3cm.被一个过底面中心且被一个过底面中心且 平行于一个侧面的平面所截平行于一个侧面的平面所截,求这个截面与底面所成的角和面积求这个截面与底面所成的角和面积 3 A B C V O G F D E 解：过底面AB

3、C的中心O作 ODBC，交AB、AC于D、E， 过DE作平面DEF 平面VBC， 与平面ABV、平面ACV分别交 于DF、EF。 设正三棱锥底面边长为 cm,AO 与BC交于G，连VG设VG=h cm a S侧=3 h=18 2 1 a3 h=12 a 3 在VOG中 VG2 =VO2 +OG2 VO = 3 OG = 3 1 2 3 a h2 - =9 12 1 2 a 解得h=2 =6 3 a S截面= DEOF DE= =4 OF= VG= 2 1 a 3 2 3 2 3 34 S截面= 3 38 G A B C V O F D E 由VO OG = = 3 3 3 AGV= AOF=6

4、00 B.体积问题体积问题:V棱柱 棱柱=sh V棱锥棱锥= sh 3 1 例例3.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是的侧棱与底面边长都是2， 侧棱与底面成侧棱与底面成 角，且侧面角，且侧面ABB1A1底面底面ABC 60 0 （1）求证：B1C 平面ABC1 （2）求C1A与A1B1所成的角 （3）求三棱锥B1ABC1的体积 D C O A1 B1 C1 AB C.练习练习: 1.正方体的棱长位正方体的棱长位 , 以它的上底面中心以它的上底面中心 以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧 面积是面积是_. 2.已知三棱锥的两个面是边长为已知三棱锥的两个面是边长为 的正的正 三角形三角形,另外两个面是等腰直角三角形另外两个面是等腰直角三角形,则则 此三棱锥的体积此三棱锥的体积_. 6 a a 2 2 3 3 D. 小结小结 1.棱柱 S侧 = c h (c为直截面周长,h为侧棱长) 棱锥 S侧= xy (