曲线与方程三个课时修改PPT学习教案

1、会计学1 曲线与方程三个课时修改曲线与方程三个课时修改 复习回顾复习回顾: 我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程. . 1.1.经过点经过点P(0,b)P(0,b)和斜率为和斜率为k k的直线的直线L L的方的方 程程 为为_ 2.2.在直角坐标系中在直角坐标系中, ,平分第一、三象限的平分第一、三象限的 直线方程是直线方程是_ 3.3.圆心为圆心为C(a,b) ,C(a,b) ,半径为半径为r r的圆的圆C C的方程的方程 为为_._. x-y=0 第1页/共48页 点的横坐标与纵坐标相等 点的横坐标与纵坐标相等x=y（或 x-y=0） 第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l

2、 含有关系含有关系： l x-y=0 x y 0 （1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-yx-y=0=0的解的解 （2）以方程以方程x-yx-y=0=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都 在在 上上l 直直线线 条件条件 方程方程 坐标系中坐标系中, ,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是x-y=0 x-y=0 思考思考? ? 直线直线L上的点坐标与方程上的点坐标与方程 x-y=0 的解的解一一对应一一对应 第2页/共48页 圆心为圆心为C(a,b) ,C(a,b) ,半径为半径为r r的圆的圆C C的方程为的方程为: : 222 ()()xaybr 思考思考? ?

3、 x y . .C （1 1）圆）圆C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 的解的解; ; 222 ()()xaybr （2 2）方程）方程 的解为坐标的点都在圆的解为坐标的点都在圆C C 上。上。 222 ()()xaybr 圆圆C上的点的坐标与方程上的点的坐标与方程 的解的解一一对应一一对应 222 ()()xaybr 曲线上点的坐标与方程的解一一对应曲线上点的坐标与方程的解一一对应. 第3页/共48页 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么,这个方程叫做曲线

4、的方程曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线. 定义定义: : 2.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的反映的是图形所满足的数量关系数量关系; 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的反映的是数量关系所表示的图形图形. f(x,y)=0 0 x y 一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果如果某曲线某曲线C(看看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的上的 点与一个二元方程点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如的实数解建立了如 下的关系下的关系: 说明说明: :1.曲线上点的坐标与方程的解曲线上点的坐标与方程的解一一对应一一

5、对应. 第4页/共48页 2.“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” （纯粹性）（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上” （完备性（完备性 ）. 由曲线的方程的定义可知由曲线的方程的定义可知: 如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么点，那么点P0(x0 ,y0) 在曲线在曲线C 上的上的 充要条件充要条件 是是 f(x0, y0)=0 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例

6、外. 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 第5页/共48页 22 25xy 22 25xy 22 3( 4)25 22 25xy 22 ( 2)125 第6页/共48页 应为应为x=0(0y3). 第7页/共48页 , x=0(-3y0). (1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程轴的直线的方程 为为x=3 (2)到到x轴距离等于轴距离等于1的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方的点的轨迹方 程为程为xy=1 (4) ABC的顶点的顶点A(0,-3)

7、，B(1,0)，C(-1,0)， D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程x=0 第8页/共48页 例例 画出下列方程表示的曲线：画出下列方程表示的曲线： （1 1） ； （2 2）x x|y|y|0 0； （3 3）x x2 22x2xy y0(y0(y0).0). 10 y x += x x y y O O (1)(1) x x y y O O (2)(2) x x y y O O 2 2 1 1 (3)(3) 第9页/共48页 第10页/共48页 22 2axby 22 2axby 22 2axby 2 2 5 02 3 ab 22 112ab 第11页/共48页 练习练习2:

8、2:若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”f(x,y)=0”是正确的是正确的, ,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( ( ) ) A.A.方程方程f(x,y)=0 f(x,y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C C B.B.坐标满足坐标满足 f(x,y)=0 f(x,y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C C上上 C.C.方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C C的一部分或是曲的一部分或是曲 线线C C D.D.曲线曲线C C是方程是方程f(x,y)=0f(x,y)=0的曲线的一部分或是全的曲线的一部分或是全

9、 部部 D 例例: y |x| 第12页/共48页 C 练习练习3:设圆设圆M的方程为的方程为 ,直线直线l 的方程为的方程为x+y-3=0, 点点P的坐标为的坐标为(2,1),那么那么( ) 2) 2() 3( 22 yx A.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上； C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上 练习练习4:已知方程已知方程 的曲线经过的曲线经过 点点 ,则则 m =_, n =_. 04 22 nymx ) 1 , 2(),2, 1 (BA 第1

10、3页/共48页 C 第14页/共48页 第二课时第二课时 2.1 曲线与方程曲线与方程 第15页/共48页 f(x,y)=0 0 x y “数形结合数形结合 ” 数学思数学思 想的基础想的基础 第16页/共48页 新课探究新课探究 第17页/共48页 我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式 先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件 第18页/共48页 ; )136(5 )1()28( )1()1( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 yy yy yxAM , )136(5 )7()24( )7()3( 11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

11、 11 BMAM yy yy yxBM 即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上. 由由(1)、(2)可知方程可知方程是线段是线段AB的垂直平分线的方的垂直平分线的方 程程. 点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是 这种求曲线的方程的方法叫：直接法 （2）设点）设点M1的坐标（的坐标（x1,y1）是方程）是方程 的解，即的解，即: x+2y17=0 x1=7 2y1 第19页/共48页 由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的 方程，一般有下面几个步骤：方程，一般有下面几个步骤： 说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，

12、化简前后方程的解集是相 同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情）可以省略不写，如有特殊情 况，可适当予以说明况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以另外，根据情况，也可以 省略步骤（省略步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程. (1)用有序实数用有序实数 对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； (2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M) (3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0; (4)化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的

13、点说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上都在曲线上. 第20页/共48页 求曲线的方程求曲线的方程( (轨迹方程轨迹方程) )的一般步骤的一般步骤: : 一、一、建建立适当的坐标系，立适当的坐标系，设设曲线上任一点的坐曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标标，及相关点的坐标; ; 二、二、( (限限) )找条件，由条件找条件，由条件( (代代) )列方程列方程; ; 三、三、化化简方程简方程. . 说明说明所得方程所得方程( (可以省略可以省略) )为所求的曲线方程为所求的曲线方程. . 方法小结方法小结 注注: :这这种种求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法叫叫做做直直接接法法. . 直接法

14、直接法是将动点满足的几何条件或者等量关是将动点满足的几何条件或者等量关 系系, ,直接坐标化直接坐标化, ,列出等式化简即得到列出等式化简即得到 第21页/共48页 例例2.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A 到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的的上方，它上面的 每一点到每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建建 立适当的坐标系，求这条曲线的方程立适当的坐标系，求这条曲线的方程. 取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴, 建立坐标系建立坐标系xOy,

15、解：解： 2MAMB 22 (0)(2)2xyy 2 1 8 yx 2 1 (0) 8 yxx 2)列式列式 3）代换）代换 4)化简化简 5）审查）审查 (0,2)A M B 1）建系设点）建系设点 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0, 所以曲线的方程所以曲线的方程 是是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点， MBx轴，垂足是轴，垂足是B， 第22页/共48页 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法， 明确明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 ；同时，根据曲线上的点所要适合的条

16、件列出；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出 等式，是求曲线方程的等式，是求曲线方程的重要环节重要环节，在这里常用在这里常用 到一些基本公式，如到一些基本公式，如， ，等等 ，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习. 第23页/共48页 应为应为x=0(0y3). 第24页/共48页 第25页/共48页 3 3y yx x| |A AD D| | 2 22 2 化简得化简得 :x2+y2=9 (y0) 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. 解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂的中垂 线为线为y轴，建立直角坐标系轴，建立

17、直角坐标系. 第26页/共48页 1.1.直接法直接法: : 求轨迹方程最基本的方法求轨迹方程最基本的方法, , 直接直接 通过建立通过建立x, yx, y之间的关系之间的关系, , 构成构成 F(x, y)=0 F(x, y)=0 即可即可. . 直接法直接法 定义法定义法 代入法代入法 参数参数 法法 求轨迹方程的常见方法求轨迹方程的常见方法: : 2.2.定义法定义法：（待定系数法）待定系数法）利用所学过的圆的定义利用所学过的圆的定义 、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定 义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方

18、 法叫做定义法这种方法要求题设中有法叫做定义法这种方法要求题设中有定点定点 与与定直线定直线及及两定点距离之和或差为定值两定点距离之和或差为定值的条的条 件，或利用平面几何知识分析得出这些条件件，或利用平面几何知识分析得出这些条件 （下一节重点讲）（下一节重点讲） 第27页/共48页 第28页/共48页 例、已知例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点 C C在曲线在曲线y=3xy=3x2 2-1-1上移动上移动, ,求求ABCABC的重心的轨迹的重心的轨迹 方程方程. . （代入法） 第29页/共48页 1.1.求曲线的方程

19、的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤： 设（设（建系设点建系设点） 找（找（找等量关系找等量关系） 列（列（列方程列方程） 化（化（化简方程化简方程） 验（验（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点以方程的解为坐标的点都是曲线上的点） - M(x,y) - P=M|M满足的条件 课堂小结课堂小结 第30页/共48页 ,( 5,0),(5,0), ,(0), ABCA B AC BCm m C 练习1、已知的两个顶点的坐标分别是 且所在直线的斜率之积等于试探求 顶点 的轨迹方程。 解：设 C（x，y） 由已知，得 直线 AC 的斜率 kAC 5 y x （x5） ； 直线 BC 的斜率 kBC 5 y

20、 x （x5） ； 写成 2 25 x 2 25 y m 1（x5） （直接法） 第31页/共48页 我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表 示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合 ，用曲线上点的坐标，用曲线上点的坐标(x,y)(x,y)所满足的方程所满足的方程F(x,y)=0F(x,y)=0表示表示 曲线。曲线。 在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线 的方法

21、，叫做的方法，叫做解析法（或坐标法）。解析法（或坐标法）。 解析几何的两大基本问题解析几何的两大基本问题 （1）据已知条件，求表示平面曲线的方程）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程。（由曲线求方程 ） （2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线。（由方程来研究曲线 ） 第32页/共48页 解析几何的本质解析几何的本质 坐标法坐标法对于一个几何问题，在建立直角坐标系的对于一个几何问题，在建立直角坐标系的 基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究研究 方程的性质间接地来研究曲线的性质方程的性质间

22、接地来研究曲线的性质，这一研究几何，这一研究几何 问题的方法称为坐标法问题的方法称为坐标法 用代数的方法来研究几何问题。用代数的方法来研究几何问题。 第33页/共48页 如果某条曲线如果某条曲线C是由动点是由动点M运动产生的，我们就称运动产生的，我们就称 曲线曲线C是点是点M的轨迹，曲线的轨迹，曲线C的方程称为的方程称为M的轨迹方的轨迹方 程。程。 注意：注意：“轨迹轨迹”、“方程方程”要区要区 分：分： 知识链接知识链接 (2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。 (1)

23、求求轨迹方程轨迹方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了； 轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程： 第34页/共48页 f(x,y)=0 0 x y 第35页/共48页 新课探究新课探究 第36页/共48页 我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式 先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件 第37页/共48页 第38页/共48页 求曲线的方程求曲线的方程( (轨迹方程轨迹方程) )的一般步骤的一般步骤: : 一、一、建建立适当的坐标系，立适当的坐标系，设设曲线上任一点的坐曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标标，及相关点的坐标; ; 二、二、( (限限) )找条件，

24、由条件找条件，由条件( (代代) )列方程列方程; ; 三、三、化化简方程简方程. . 说明说明所得方程所得方程( (可以省略可以省略) )为所求的曲线方程为所求的曲线方程. . 方法小结方法小结 注注: :这这种种求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法叫叫做做直直接接法法. . 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系, ,直直 接坐标化接坐标化, ,列出等式化简即得到列出等式化简即得到 第39页/共48页 总结：总结： 第40页/共48页 练习练习2:2:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？所列出的

25、方程吗？为什么？ (1) (1)曲线曲线C C为过点为过点A(1A(1，1)1)，B(-1B(-1，1)1)的的 折线折线( (如图如图(1)(1)其方程为其方程为(x-y)(x+y)=0;(x-y)(x+y)=0; (2) (2)曲线曲线C C是顶点在原点的抛物线其方是顶点在原点的抛物线其方 程为程为x+ =0;x+ =0; (3) (3)曲线曲线C C是是, , 象限内到象限内到x x轴，轴，y y轴的轴的 距离乘积为距离乘积为1 1的点集其方程为的点集其方程为y y= = 。 1 0 x y -1 1 0 x y -11-22 1 0 x y -11-22 1 y 第41页/共48页 上

26、一节，我们已经建立了曲线的方程上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的方程的 曲线的概念曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标（标（x,y）所满足的方程）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. 这一节，我们就来学习这一方法这一节，我们就来学习这一方法. M点 , )x y坐标( 按某中规律运动 C曲线 ,

27、x y的制约条件 ( , )0f x y 方程 几何意义 代数意义 “数形结合数形结合 ” 数学思数学思 想的基础想的基础 第42页/共48页 1解析几何与坐标法：解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫 解析几何解析几何的学科的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几因此，解析几何是用代数方法研究几 何问题的一门数学学科何问题的一门数学学科. 2平面解析几何研究的主要问题平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，）根据已知条件，求求出表示平面出表示平面曲线的方程曲线的方程； （2）通过方程，）通过方程，研究研究平面平面曲线的性质曲线的性质. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤. 第43页/共48页 | MBMAMP 2222 ) 7() 3() 1() 1( yxyx . 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：所适合条件可表示为： 将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得： x+2y7=0 我们证明方程我们证明方程是线段是线段AB的垂直的垂直 平分线的方程平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直）由求方程的过程