第三章应变状态理论

1、第三章应变状态理论第三章应变状态理论 第三章第三章 应变状态理论应变状态理论 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论2 外力(或温度变化)作用下，物体内部各部 分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态， 称为变形。 本章任务有两个： 1、分析一点的应变状态； 2、建立几何方程和应变协调方程。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论3 3.1 位移分量与应变分量几何方程位移分量与应变分量几何方程 3.2 一点的形变状态一点的形变状态 形变张量形变张量 3.3 转轴时应变分量的变换转轴时应变分量的变换 3.4 主形变主形变 形变张量不变量形变张量不变量 3.5

2、体应变体应变 应变协调方程应变协调方程 第三章应变状态理论第三章应变状态理论 3.1 位移分量与应变分量位移分量与应变分量 几何方程几何方程 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论5 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论6 如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移； 如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论7 如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变

3、形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论8 我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后 为PA，P点的位移为(u,v)，A点 x方向的位移为 y方向上的位移为 x x u ud x x v vd dx dx 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论9 PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为 PA的转角为 v vdxv vx dxx x u udxu ux dxx dx dx 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论10

4、我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 PB，B点y方向的位移为 x 方向上的位移为 PB的正应变在小变形时是由y方向的 位移所引起的，因此PB正应变为： y y v vd y y u ud y v y y u PB的转角为： 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论11 线段PA的转角是 线段PB的转角是 于是，直角APB的改变量为 y u x v xy 2 1 x v y u y u x v xy A 有时用张量分量 PA B 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论12 这样，平面上一点的 变形我们用该点x方向上 的正应变、y方向上的正 应变

5、和xy方向构成的直角 的变化来描述，称为应变 分量，也就是所说的几何 方程。 从几何方程可见，当 物体的位移分量完全确定 时，形变分量即完全确定。 y u x v y v x u xy y x 2 1 思考题：当形变分量完全确定时，位移分量 是否能完全确定。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论13 同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上的 正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化切应变来 描述。 张量形式为 i j j i ij x u x u 2 1 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论14 空间的应变分量共九 个分量，是一个对称

6、张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论15 物体除形变外，还存在转动、刚体位移：物体除形变外，还存在转动、刚体位移： （a）均匀形变：）均匀形变：u、v、w是线性函数，称为均匀形变；是线性函数，称为均匀形变； （b）刚体位移：）刚体位移：“形变为零形变为零”时的位移，即是时的位

7、移，即是“与形变与形变 无关的位移无关的位移”； （c）纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。）纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。 第三章应变状态理论第三章应变状态理论 3.2 一点的形变状态，形变张量一点的形变状态，形变张量 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论17 相对位移张量相对位移张量 6个应变分量是通过位移分量的个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导，即：个一阶偏导，即： 引入引入 其中其中 为那勃勒算子，为那勃勒算子， 是位移矢量，不难是位移矢量，不难 算得算得 的的3个分量为个分量为: z w y w x w z v y v x v z u y

8、 u x u U z e y e x e 321 U 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论18 这里的这里的 称为转动矢量，而称为转动矢量，而 ， ， 称为转动分量。称为转动分量。 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：由此，可将相对位移张量分解为两个张量： = + y u x v x w z u z v y w z y x x y z z w y w x w z v y v x v z u y u x u zyzxz yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 xy xz yz 202

9、1-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论19 如物体中一点如物体中一点M M的形变分量为的形变分量为 则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。动张量。 xyzxyyzzx 上式，等号右边第一项为对称张量，表示微上式，等号右边第一项为对称张量，表示微 元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称 张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变 形后微元体的方位变化。形后微元体的方位变化。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论20 3

10、.3 转轴时应变分量的变换转轴时应变分量的变换 x y z 设在坐标轴设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的下，物体内某一点的6个应个应 变分量为变分量为 。现使坐标轴旋。现使坐标轴旋 转一个角度，新老坐标的关系为：转一个角度，新老坐标的关系为： 其中其中 表示新坐标轴对老坐标轴的表示新坐标轴对老坐标轴的 方向余弦。方向余弦。 zxyzxyzyx , x y z 1 l 3 l 2 l 3 m 2 m 1 m 3 n 2 n 1 n ) 3 , 2 , 1(, inml iii 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论21 位移矢量在新坐标系中的位移矢量在新坐标系中的3个分量个分

11、量 分别为：分别为： 其中为其中为3个新坐标轴的单位矢量。个新坐标轴的单位矢量。 利用方向导数公式利用方向导数公式: ,wvu 333 3 222 2 111 1 wnvmuleUw wnvmuleUv wnvmuleUu )( )(),cos()(),cos()(),cos()( z n y m x l z zs y ys x xs s 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论22 同理，可求其它五个应变分量。经整理可得：同理，可求其它五个应变分量。经整理可得： 于是新坐标系中的应变分量为于是新坐标系中的应变分量为 111111 2 1 2 1 2 1 111111 )()(

12、)( )( ml y u x v nl x w z u nm z v y w n z w m y v l x u wnvmul z n y m x l x u x 111111 2 1 2 1 2 1 mlnlnmnml xyxzyzzyx x 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论23 同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸 长率长率 张量式表示为张量式表示为 jjii ij ji nn mlnlnmnml xyxzyzzyxr 222 第三章应变状态理论第三章应变状态理论 3.4 主形变，形变张量不变量主形变，形变张量不变量

13、2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论25 与应力状态相类似，把切应变等于零的面称为 主平面。主平面的法线方向称为主应变方向，主平 面上的正应变就是主应变。同样存在第一、第二和 第三应变不变量。 0 32 2 1 3 JJJ 第三章应变状态理论第三章应变状态理论 3.5 体应变体应变 应变协调方程应变协调方程 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论27 体应变：物体变形后单位体积的改变。 如给定的六面体，其微分体积为 其变形后的体积为： zyx dddV )1( )1()1()1( * zyxzyx zzyyxx ddd dddV 则体应变为 zyx V V

14、V * 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论28 又可表示为：又可表示为： z w y v x u 对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形 后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又 不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不 协调的。 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论29 从数学的观点说，要求位移函数 在其定义 域内为单值连续函数。如出现了开裂，位移函数 就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能 为单值。因此，为保持物体变形后的连续性，各 应变分量之间，必须有一定的关系。 i u 2021-7-15 第三章应变状态理论第三章应变状态理论30 由前面的讨论可知，在小变形情况下的六个应变由前面的讨论可知，在小变形情况下的六个应变 分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系 的。如已知位移分量的。如已知位移分量 ，极易通过几何方程求得，极易通过几何方程求得 各个应变分量。各个应变分量。 但反过来，如给定一组应变但反过来，如给定一组应变 ，几何方程是关于，几何方程是关于 未知位移函数未知位移函数 的微分方