灰色GM(,)模型误差分析及误差修正模型研究

1、灰色GM(1,1)模型误差分析及误差修正模型研究/. - 1 - 灰色 GM(1,1)模型误差分析及误差修正模型研究 陈鹏宇 中国地质大学地质工程系，武汉（430074） 摘 要: 首先介绍了灰色 GM(1,1)建模机理，然后基于指数序列建模，从理论上分析灰色GM(1,1)模型预测指数序列产所生的相对误差特性，并基于Matlab程序进行实验做出相对误差特性曲线，发现相对误差近似服从线性分布。而实际中需要预测的数据并不可能完全服从指数分布，因此建立了随机值概念来表示实际数据对指数分布的偏离，并基于 Matlab 程序对不同类型的数据建立灰色 GM(1,1)模型，做出相对误差特性

2、曲线和相对误差的一次函数拟合曲线，从相对误差曲线特征入手建立误差修正模型。实例应用结果表明该模型提高了预测精度。 关键词: GM(1,1)；实验研究；相对误差；误差修正模型 中图分类号：N 941 1. 引言 灰色预测模型是灰色理论的重要组成部分，而 GM(1,1)模型是灰色预测模型中最基本预测模型，已经在许多领域得到了广泛的应用1-3。GM(1,1)模型假定原始序列近似服从指数分布, 因此得到的模拟数据实际上是一个等比数列4，并且由于 GM(1 ,1)模型本身的特性，它只适合于对呈现指数规律变化且增长速率较低的短序列进行预测5。而实际近似服从指数分布的数据，其增长速率有高有低，并且数据本身存

3、在扰动，传统的 GM(1,1) 模型对于这种数据的预测精度并不高。 本文以离散指数序列为基础，构造不同的离散序列来建立 GM(1 ,1)模型 ,通过Matlab程序进行实验，研究其相对误差特性并以图表的形式表示出来，观察并分析其规律，从而建立误差修正模型。 2. 灰色 GM(1,1)预测模型误差分析 2.1 GM(1,1)模型的建模过程 令 ( )0x 为 GM(1,1)建模序列, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )nxxxx 0000 ,2,1 ;= ， 令 ( )1x 为 ( )0x 的 AGO序列， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )n

4、xxxx 1111 ,2,1 ;= ， ( ) ( ) ( ) ( )11 01 xx = ； ( ) ( ) ( ) ( )mxkx km=101， 令 ( )1z 为 ( )1x 的均值(MEAN)序列 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15.05.0 111 ?+= kxkxkz ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )nzzzz 1111 ,3,2 ;= ， 则 GM(1,1)的定义型，即 GM(1,1)的灰微分方程模型为 ( ) ( ) ( ) ( ) bkazkx =+ 10 . /. - 2 - 其中 a为发展系数，b为灰作用

5、量，是微分方程的参数。 灰微分方程白化型为 ( ) ( ) baxdtdx =+ 11 GM(1,1)白化型响应式为 ( ) ( ) ( ) ( )abeabxkx ak +? ?=+ ?11? 01 nk ,1,0 ;= ， （1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kxkxkx 110 ?1?1? ?+=+ nk ,2,1 ;= ， （2） 参数计算 ( ) NTTT yBBBba 1?= 其中 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ?=11312111nzzzB # ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) TN nxxxy 000 ,3,2 ;= . 2.2

6、 GM(1,1)误差实验分析 首先由（1）式可以得到（2）式的具体表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) aka eeabxkx ? ?=+ 111? 00 令 ( ) ( ) ( )aeabxA ? ?= 110 则 ( ) ( ) akAekx ?=+1? 0 nk ,2,1 ;= ， ( )( ) ( )( )11? 00 xx = （3） 由（3）式可以看出，GM(1,1)预测模型对原始序列的拟合实质上就是指数曲线 akAe? 对除去第一个数据后原始数据的拟合。而文献5中经过实验分析指出 GM(1,1)预测模型只适合于对呈现指数规律变化且增长速率较低的短序列进行预测，也就是说

7、即使对于呈现指数规律变化的数据，GM(1,1)预测模型也不一定能很好地拟合。 定义一组指数数据 ( ) ( ) ( )10 ?= kaAekx nk ,2,1 ;= （4） GM(1,1)模型得到拟合式为 ( ) ( ) ( ) ( )11? 00 xx = ( ) ( ) ( )10? ?= kbBekx nk ,3,2 ;= 误差为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1100 ? ? ?=?= kbka BeAekxkxk nk ,3,2 ;= 相对误差（本文中为了建模方便，相对误差特指误差除预测数据）为 /. - 3 - ( ) ( )( )( )(

8、 ) ( )( )( )( ) 1?11110 ?=?= ?kbakbkbkaeBABeBeAekxkk nk ,3,2 ;= 对相对误差求导 ( ) ( ) ( )( )1?= kbaebaBAk nk ,3,2 ;= 由于 a和 b值相差不大，a-b的值近似等于零，所以 ( )( )1? kbae 在 k值不大时近似等于 1，也就是 ( )k 在 k值不大时趋于常数，所以 ( )k 近似为线性函数。 为了证明本文观点，取初始离散指数序列 ( ) ( ) ( )12.00 100 ?= kekx nk ,2,1 ;= 前 7级数据建立 GM(1,1)模型，得到相对误差分布如图 1。 图 1

9、GM(1,1)模型相对误差图 Fig1 The relative error of the gray model GM(1,1) 从图 1中可以看出对于指数序列建立的GM(1,1)模型所得到的相对误差非常接近线性发展。因此完全可以考虑利用一次函数拟合相对误差建立误差修正模型。但是这样做会存在两个问题：1、原始数据并不可能完全具有指数规律；2、原始数据本身具有误差，比如观测误差、统计误差等。这些都会影响相对误差近似线性规律的体现程度。为了表示这两个问题的影响，作以下定义： ( ) ( ) ( ) ( )kAekx ka += ?10 nk ,2,1 ;= 其中 ( )( )kx 0 为一组近似具

10、有指数律的原始数据， ( )1?kaAe 为最接近该数据发展的指数函数，( )k 为偏离指数函数的随机值，表示上述两个问题的影响。 由于随机值和指数函数增长律的影响，GM(1,1)模型不可能完全拟合 ( )1?kaAe ，因此定义其拟合式为 ( ) ( ) ( )10? ?= kbBekx nk ,2;= 此时有 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 11111?=?= ?kbakbkbkaeBABeBeAek nk ,2;= （5） /. - 4 - 本文称之为固有相对误差。 预测相对误差为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1111?+=?+

11、= kbkbkbkaBekkBeBekAek nk ,2;= （6） 前面已证明（5）式近似为线性函数，因此（6）式实际上是一近似线性函数与一随机值表达式相加。所以预测相对误差规律的体现取决于( )( )1?kbBek相对于 ( )k 的大小。因此本文基于Matlab程序随机数产生函数 rand（产生 0到 1之间的随机数），在离散指数序列的基础上产生随机值 ( )k 。分别对不同类型的数据建立 GM(1,1)预测模型，观察预测相对误差规律，并用一次多项式拟合预测相对误差。实验内容如下： 原始数据为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11201.01100 10 ?+= ? randekx

12、 ka nk ,2,1 ;= ( ) ( ) ( )( )11201.0100 1 ?= ? randek ka nk ,2,1 ;= 随机数的值取在原始数据的-1%到 1%之间。 分别对 a=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 时前 7 级原始数据建立 GM(1,1)预测模型，实验结果如图 26所示。不同初始数据所建立模型的后验差比值见表 1。 表 1 后验差比值表 Tab.1 The ratio of posterior error a值 后验差比值 C 0.1 0.0291 0.2 0.0145 0.3 0.0239 0.4 0.0391 0.5 0.0796 图 2 a=0.1时

13、GM(1,1)模型相对误差图 Fig2 The relative error of the gray model GM(1,1) when a=0.1 /. - 5 - 图 3 a=0.2时 GM(1,1)模型相对误差图 Fig3 The relative error of the gray model GM(1,1) when a=0.2 图 4 a=0.3时 GM(1,1)模型相对误差图 Fig4 The relative error of the gray model GM(1,1) when a=0.3 图 5 a=0.4时 GM(1,1)模型相对误差图 Fig5 T

14、he relative error of the gray model GM(1,1) when a=0.4 /. - 6 - 图 6 a=0.5时 GM(1,1)模型相对误差图 Fig6 The relative error of the gray model GM(1,1) when a=0.5 观察图 2-6，可以看出预测相对误差的发展趋势是与固有相对误差相关，并且随着 a值的增大，预测相对误差越来越接近于固有相对误差。也就是说随着 a值的增大，固有相对误差在预测相对误差中所占的比重越来越大，此时利用一次多项式拟合可以达到很好的拟合效果。 对于 a=0.2时，本实验并未

15、对预测相对误差进行拟合，因为前 2-7级预测相对误差发展趋势很不明显，预测相对误差主要在 x轴周围浮动，这主要是由于 GM(1,1)模型对于原始数据的拟合效果很好，从表 1中的后验差比值也可以看出，a=0.2时，后验差比值最小，此时固有相对误差在预测相对误差中的主导地位降低，因此无需修正。其实这种情况的发生 是受随机值影响的，具有很大的随机性。 对于其他 a值的初始数据建立的模型，可以看出一次多项式拟合的结果在一定程度上接近于固有相对误差，因此可以利用该拟合结果减小预测结果中的固有误差。 3. 灰色 GM(1,1)误差修正模型的建立及实例应用 通过前面的分析，利用一次多项式拟合预测相对误差可行

16、的，因此本文的误差修正模型将建立在一次函数拟合相对误差的基础上。定义相对误差一次多项式拟合结果为 ( ) nmkk += nk ,2;= 原 GM(1,1)模型拟合式为 ( ) ( ) ( )10? ?= kbBekx nk ,2;= 误差修正后模型拟合式为 ( ) ( ) ( ) ( )( )kBekx kb += ? 1 10 nk ,2;= 对于该模型的应用，本文有一下几点建议： 1） 预测数据应尽可能多取，这样预测相对误差的发展趋势更容易体现。 2） 由于本实验所选的数据具有一定的局限性，而实际的数据变化可能比较复杂，预测相对误差的发展趋势应尽量以最近几级数据发展趋势为准，也可观察初始

17、数据的变化趋势确定，如果最后几级的变化趋势较稳定，则预测相对误差以这几级的发展趋/. - 7 - 势为准。对于预测结果取最近 2-3级为好。 3）预测初始数据应近似指数发展，此时该修正模型效果更加。 基于以上误差修正模型建立方法，本文对文献7-9 中实例建立了误差修正模型，其预测结果与原模型结果见表 2-4。从表中结果中可以看出经误差修正后模型预测精度明显提高，并且在多数情况下优于其他改进模型。 表 2 文献7中实例预测结果 Tab.2 Forecasting results of the example in document 7 GM(1,1)模型 文献6中改进模型 误差

18、修正模型 序列号 原始值 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 1 1.285 2 1.647 3 2.119 4 2.716 5 3.494 6 4.477 7 5.760 8 7.382 7.294 1.199 7.294 1.199 7.393 -0.153 9 9.497 9.355 1.497 9.355 1.497 9.495 0.025 表 3 文献8中实例预测结果 Tab.3 Forecasting results of the example in document 8 GM(1,1)模型 文献7改进中模型 误差修正模型 年份 序号 城市人均住房面

19、积/m 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/%1986 1 8.8 1987 2 9 1988 3 9.3 1989 4 9.7 1990 5 9.9 1991 6 10.3 1992 7 10.7 1993 8 11 1994 9 11.4 1995 10 11.8 1996 11 12.3 1997 12 13 1998 13 13.6 1999 14 14.2 13.87 2.29 13.90 2.11 14.27 -0.50 2000 15 14.9 14.40 3.37 14.60 2.01 14.97 -0.46 2001 16 15.5 14.94 3.

20、61 14.99 3.29 15.70 -1.29 /. - 8 - 表 4 文献9中实例预测结果 Tab.4 Forecasting results of the example in document 9 GM(1,1)模型 文献8中改进模型 误差修正模型 年份 序号 我国市均医院床位数/万张 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/%1990 1 138.7 1991 2 144.8 1992 3 152.4 1993 4 159.6 1994 5 170.7 1995 6 174 1996 7 179.1 1997 8 184.2 1998 9

21、187.2 1999 10 188.7 2000 11 191.4 207.00 -8.15 193.05 -0.86 197.87 -3.38 2001 12 195.9 213.84 -9.16 195.42 0.25 200.19 -2.19 4. 结论 本文首先对灰色 GM(1,1)预测模型预测相对误差进行了理论和实验分析，得出了利用一次多项式拟合原始数据预测相对误差的可行性，进而建立了误差修正模型，对灰色 GM(1,1)预测模型的进一步应用具有实际意义。最后基于不同实例证明了该方法能在一定程度上提高预测精度。 /. - 9 - 参考文献 1 侯丽敏.灰色模型及其在经

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