数学物理方法试卷答案

1、数学物理方法试卷答案一、选择题（每题4分，共20分）1柯西问题指的是（ B ）A微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件.C微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确.2定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3牛曼内问题 有解的必要条件是（ C ） A. B. C. D.4用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题 的解是（ B ） A. B. C. D.5指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A. B. C. D.二、填空题（每题4分，共20分） 1求定解问题的解是().2对于

2、如下的二阶线性偏微分方程其特征方程为( ).3二阶常微分方程的任一特解（ 或0).4二维拉普拉斯方程的基本解为（ ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）.5已知，利用Bessel函数递推公式求（ ）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 解：第一步：分离变量 (4分)设，代入方程可得此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与无关的常数。设为，则有 将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题 (4分)1) 若，方程的通解形式为由定解条件知，从而，不符合要求。2) 若，方程的通解形式为由边界条件知，从而。3) 若，方程的通解形式为代入边界条

3、件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分)求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解第四步：确定叠加系数 (4分)由初始条件可知可得故原方程的解为四、（10分）用行波法求解下列问题解：其特征方程为 (2分)由此可得特征线方程为 (2分)因此作变换 (2分)从而可得0从而有由初始条件可得所以有，从而可得 (2分)故而可知。 (2分)五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记，对方程做拉氏变换可得 (4分)用系数待定法很容易解求上常微

4、分方程的一特解 (2分)又上常微分方程相应的齐次问题的通解为所以，上常微分方程的通解为， (2分)再由定解条件可得AB0，从而故而，原定解问题的解。 (2分)六、（15分）用格林函数法求解下定解问题解：设为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为 (2分)设为调和函数，则由第二格林公式知 （2）（1）（2）可得 (2分)若能求得满足 （3）则定义格林函数，则有 (2分)由电象法可知，为的象点，故可取 (2分)显然其满足（3）。从而可得格林函数 (5分)故而 (2分)七、（10分）将函数在区间0，1上展成Bessel函数系的级数，其中为Bessel函数的正零点，.解：设有如下级数形式 (1分)下面利用Bessel函数的正交性确定系数易知，对上等式两边同时乘以并关于x在0,1内积分可得 (2分)再由递推公式,可得 (2分)故而 (3分)这里用到递推公式。所以， (2分)T12、（12分）将函数在区间上展开成Bessel函数系的级数，其中是B