轴向拉压杆的强计算

1、2.6 轴向拉压杆的轴向拉压杆的变形变形 2.7 简单拉压简单拉压超静定超静定问题问题 2.2 轴力轴力与与轴力图轴力图 2.3 轴向拉压杆的轴向拉压杆的应力应力 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 2.5 拉压拉压强度条件强度条件及应用及应用 2.1 轴向拉压轴向拉压的概念的概念 连杆连杆 2.1 轴向拉压的概念轴向拉压的概念 曲柄连杆机构曲柄连杆机构 P 特点：特点： 连杆为直杆连杆为直杆 外力大小相等外力大小相等 方向相反沿杆方向相反沿杆 轴线轴线 杆的变形为轴向伸杆的变形为轴向伸 长或缩短长或缩短 以以轴向伸长轴向伸长或轴向或轴向缩短缩短为主要特征的为主要特征

2、的变形变形形式称形式称 为为轴向拉伸或轴向压缩轴向拉伸或轴向压缩。 2.1 轴向拉压的概念轴向拉压的概念 2.1 轴向拉压的概念轴向拉压的概念 以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件称为以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件称为 拉（压）杆拉（压）杆. a) 受力特征受力特征: 构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合 力的作用线沿杆件轴线力的作用线沿杆件轴线. b) 变形特点变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短. FF FF 2.1 轴向拉压的概念轴向拉压的概念 讨论讨论: 下图中哪些是轴向拉伸杆下图中哪些是轴向拉伸杆?

3、 F (a) F (b) F F (c) F (d) q 2.1 轴向拉压的概念轴向拉压的概念 FN 称为称为 轴力轴力-内力的合力作用线总是与杆件的轴内力的合力作用线总是与杆件的轴 线重合线重合, 通常记为通常记为FN.( 或N). N FF F F F FN 杆件拉伸时杆件拉伸时, FN 为正为正拉力（方向从横截面指向外）拉力（方向从横截面指向外）; 轴力轴力FN的正负规定的正负规定: FN : + F F m m F FN m m F FN m m 杆件压缩时杆件压缩时, FN 为负为负压力（方向指向横截面压力（方向指向横截面 ）. 轴力轴力FN的正负规定的正负规定: FN : F F

4、m m F FN m m F FN m m 轴力图轴力图 用坐标用坐标 (x,FN) 来表示轴力沿杆件轴线的变化情况来表示轴力沿杆件轴线的变化情况. x 表示横截面的表示横截面的位置位置. FN 表示轴力的表示轴力的大小大小. 于是可以得到于是可以得到轴力图轴力图。 FN图 F FN图 F F F F F x FN x FN 在应用截面法时，外力不能自由移动。在应用截面法时，外力不能自由移动。 例如例如: 注意：注意： 等价吗等价吗? ? F F F F 我们的研究对象是我们的研究对象是 变形体变形体. . 举例：举例： F (b) m m A FN=F F (c) B A n n FN=F

5、m m (a) F C B A n n m m (d) C B A n n F (e) m m A FN=0 B (f) A n n FN=F F 例例1 画出如下所示杆件的轴力图画出如下所示杆件的轴力图. 步骤步骤 1 : 计算约束反力计算约束反力. 10kN R F 解：解： A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 600300 500 400 1800 FR 0 x F 1234 405525200 R R FFFFF F A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN FR A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 假设内力为正假设内力

6、为正.截面截面 1-1： N2 50kN(FTens i on） 截面截面 2-2： 2 2 3 31 14 4 步骤步骤2 : 使用截面法计算选定截面上的轴力使用截面法计算选定截面上的轴力. FR A 1 1FN1 N1 10kN(FTens i on） FR A B 40kN 2 2 FN2 截面截面 3-3： FR A B C 40kN 55kN 3 3 FN3 N3 5kN(Compression)F 选择右半部分更易于分析。选择右半部分更易于分析。 N4 20kN(FTens i on） 截面截面 4-4 ： FR A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 2 2

7、3 31 14 4 FN4 E 20kN4 4 步骤步骤3: 画出杆件的轴力图画出杆件的轴力图. FR A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 20 10 5 FN (kN) 50 从轴力图我们从轴力图我们 发现发现 N,maxN2 50kNFF F q=F/l l2ll F F q F F F FR F F FR F q 1 1 2 2 3 3 例例2 如下图所示杆件的轴力图如下图所示杆件的轴力图. FN3 F 3 3 FR FN1 1 1 2 FR F q 2 F x1 FN2 N F F F F F q=F/l l2ll F F aaa q F=qaF=qa F2F

8、F 2F 画出下列各杆的轴力图。画出下列各杆的轴力图。 （+） （-） 2F F 20kN 40kN 30kN 3F 2FF （+） （+） （-） （-） （+） F 2F 20kN 10kN 50kN （+） （-） （-） qa qa 1 横截面上的应力横截面上的应力 问题：问题： 1）横截面内各点处产生何种应力？）横截面内各点处产生何种应力？ 2）应力的分布规律？）应力的分布规律？ 3）应力的数值？）应力的数值？ 杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 所以讨论所以讨论横截面的应力横截面的应力时需要知道时需要知道变形的规律变形的规律

9、 我们可以做一个实验我们可以做一个实验 P P P P 杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。 变形后原来的矩形网格仍为矩形。变形后原来的矩形网格仍为矩形。 内力与变形是并存的，内力与变形是并存的，内力是抵抗变形的一种能力。内力是抵抗变形的一种能力。 对于轴向荷载情况，所有横截面变形后仍保持为平对于轴向荷载情况，所有横截面变形后仍保持为平 面并相互平行，且垂直于轴线面并相互平行，且垂直于轴线. 平面假设平面假设 因此，横截面各点处的正应变因此，横截面各点处的正应变都是相等的，都是相等的， 根据胡克定律，正应力根据胡克定律，正应力均匀分布

10、于横截面上均匀分布于横截面上. 推论推论: 1. 均质直杆受轴向荷载作用不产生剪切变形，因均质直杆受轴向荷载作用不产生剪切变形，因 此横截面上没有剪应力此横截面上没有剪应力. 2. 任意两个横截面之间纵线的伸长（或缩短）都是任意两个横截面之间纵线的伸长（或缩短）都是 相同的相同的. F F d a b c F a b s =常量常量 =常量常量 因此正应力计算公式为因此正应力计算公式为 A FN s 轴力与应力的关系轴力与应力的关系AAF A ss d N 理论计算理论计算: F F d a b c FNa bs F FNa b s F 1.横截面横截面上的上的应力应力: 公式的限制条件公式的

11、限制条件: 上述计算正应力的公式对横截面的形式没上述计算正应力的公式对横截面的形式没 有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如 果在轴向荷载作用时不能满足果在轴向荷载作用时不能满足平面假设平面假设，则，则 公式将不再有效公式将不再有效. 试验和计算表明，该公式不能描述试验和计算表明，该公式不能描述荷载作荷载作 用点附近截面上的应力用点附近截面上的应力情况，因为这些区域情况，因为这些区域 的应力变化比较复杂，截面变形较大的应力变化比较复杂，截面变形较大. A FN s 公式限制条件公式限制条件: 该公式不能描述荷载作用点附近的应力情况该公式不能描述荷载作用点附

12、近的应力情况. A FN s 圣维南原理圣维南原理 力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离 不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响. F F F F 影响区影响区 影响区影响区 2 F 2 F 2 F 2 F 例例3 计算阶梯状方形柱体的最大工作应力，已知荷计算阶梯状方形柱体的最大工作应力，已知荷 载载F =50 kN。 解解: 首先绘制轴力图首先绘制轴力图 MPa87. 0 )mm240()mm240( N1050 3 1 1N 1 A F s (压力压力) kN50 1N F 150kN 50kN F C B A F

13、F 40003000 370 240 I II 柱段柱段I上横截面的正应力为：上横截面的正应力为： 柱段柱段II上上 横截面的正应力为横截面的正应力为 1.1MPa )mm370)(mm370( N10150 3 2 N2 2 A F s (压力压力) kN150 2N F 因此因此最大工作应力最大工作应力为为 MPa1 . 1 2max ss 150kN 50kN F C B A F F 40003000 370 240 I II 例例4 4图图a a示正方形截面示正方形截面( (图图b b) ) 阶形砖柱，柱顶受轴向压阶形砖柱，柱顶受轴向压 力力F F作用。柱上段重为作用。柱上段重为G G

14、1 1， 下段重为下段重为G G2 2。已知：。已知：F=15kNF=15kN， G G1 1=2.5kN=2.5kN，G G2 210kN10kN，l l3m3m 求上、下段柱底截面求上、下段柱底截面l ll l 和和2 22 2上的应力。上的应力。 解：解：(1)(1)先分别求出截面先分别求出截面1 11 1 和和2 22 2的轴力。的轴力。 分别取截面分别取截面1 11 1和和2 22 2上部为脱离体（图上部为脱离体（图c c、d d），）， F FN1 N1=-F =-FG G1 1=-15kN=-15kN2.5kN=-17.5kN2.5kN=-17.5kN； 截面截面2 2一一2 2

15、：Fy=0Fy=0， F FN2 N2=-F =-FG G2 2=-15kN=-15kN2.5kN2.5kN10kN=-27.5kN10kN=-27.5kN 负号即压力负号即压力 根据平衡条件可求得：根据平衡条件可求得：截面截面1 1一一1 1：Fy=0Fy=0 运用截面法运用截面法 （2 2）求应力：）求应力：=F=FN N/A/A 分别将分别将1 1l l、2 22 2截面轴力截面轴力F FN1 N1、 、F FN2 N2和面积 和面积A A1 1、 A A2 2代入上式，得：代入上式，得： 1 1=F=FN1 N1/A /A1 1=-17.5x10=-17.5x103 3N/(0.2x0

16、.2)mN/(0.2x0.2)m2 2=-0.438 Mpa=-0.438 Mpa 2 2=F=FN2 N2/A /A2 2=-27.5x10=-27.5x103 3N/(0.4x0.4)mN/(0.4x0.4)m2 2=-0.172 Mpa=-0.172 Mpa （负号表示压应力）（负号表示压应力） （负号表示压应力）（负号表示压应力） 混凝土圆柱混凝土圆柱 重物重物 圆柱是怎样断裂的？圆柱是怎样断裂的？ 为什么圆柱会断裂？为什么圆柱会断裂？ 2 .斜截面上的应力斜截面上的应力 F k k FF 根据平衡方程计算内力根据平衡方程计算内力 F F 在斜截面上应力是如何分布的？在斜截面上应力是如

17、何分布的？ k k 说明不仅说明不仅横截面横截面上上有应力有应力，在，在其它方位的截面其它方位的截面 上（斜截面）上（斜截面）也有应力也有应力，故有必要研究全部方位的，故有必要研究全部方位的 截面上的应力，从中截面上的应力，从中找出哪一截面上的应力达到最找出哪一截面上的应力达到最 大大，以作为，以作为强度计算的依据强度计算的依据。 变形假设变形假设: 变形后，原先平行的两个斜面仍保持为变形后，原先平行的两个斜面仍保持为 平面并相互平行平面并相互平行. 推论推论: 两个平行斜面之间的全部径向直线具有相两个平行斜面之间的全部径向直线具有相 同的轴向变形同的轴向变形. 也就是说，斜面上各点的合应力相

18、同也就是说，斜面上各点的合应力相同. F F 这里这里 s s0 是横截面是横截面( )( )上的正应力上的正应力. . 0 A F p cos cos/A F A F scos 0 F F k k F k k A A p F 通常将斜截面上的应力分解为正应力和剪应力通常将斜截面上的应力分解为正应力和剪应力. ss 2 0 coscos p sinp s 2sin 2 0 ssincos 0 p s s 某点处各个方向上的应力称为该点的某点处各个方向上的应力称为该点的应力状态应力状态. 对于轴向受拉或者受压杆件，其在某一点对于轴向受拉或者受压杆件，其在某一点 的应力状态可以由横截面上的正应力确

19、定，称的应力状态可以由横截面上的正应力确定，称 为为单向应力状态单向应力状态. ss 2 0 cos s 2sin 2 0 2/ 0max s 讨论讨论: 0 (1) 45 0max ss 45 900 s (2) 2/ 0min s 0 0 (横截面横截面) (纵截面纵截面) p s ss 2 0 cos s 2sin 2 0 (横截面横截面) 90 0 (纵截面纵截面) 即即横截面上的正应力是所有各斜截面正应力中横截面上的正应力是所有各斜截面正应力中 的最大者的最大者。而最大切应力发生在。而最大切应力发生在=/4=/4的斜截面的斜截面 上，其值为上，其值为(=/4)=(=/4)=max m

20、ax=/2 =/2。 即与即与横截面成横截面成45450 0的斜截面的斜截面上的上的切应力切应力是所是所 有各斜截面切应力中的有各斜截面切应力中的最大者最大者。最大切应力最大切应力在在 数值上数值上等于最大正应力的二分之一等于最大正应力的二分之一。 m m 例例5 图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺 寸为寸为40mm10mm，荷载，荷载F50kN。试求斜截面。试求斜截面 m-m上的正应力和切应力。上的正应力和切应力。 F F m m 40 s s p s 解解: 直杆所受的轴力为直杆所受的轴力为 kN50 N F 2 mm400A横截面面积为横截面面积

21、为 则正应力为则正应力为 MPa125 400 1050 3 A FN s MPa6 .5150cos-125cos 22 ss MPa6 .61100sin 2 125- 2sin 2 s 50斜截面的方位角为斜截面的方位角为 斜截面上的正应力和切应力分别为斜截面上的正应力和切应力分别为 (压力压力) =50 2.4 材料拉伸和压缩时材料拉伸和压缩时 的的力学性能力学性能 拉伸试验拉伸试验 拉伸试验试样拉伸试验试样 圆柱形试样圆柱形试样: dl10或或 dl5 方柱形试样方柱形试样 Al3 .11 或或Al65. 5 国家标准国家标准-GB 标准试样：标准试样： 2.4 材料拉伸和压缩时的材

22、料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 电子万能试验机电子万能试验机 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 液压式万能液压式万能 试验机试验机 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 低碳钢的拉伸图低碳钢的拉伸图以及以及力学性能力学性能 拉伸图：拉伸图： 载荷载荷 伸长量伸长量 分为四个阶段分为四个阶段： 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 弹性阶段；弹性阶段； 屈服阶段；屈服阶段； 强化阶段；强化阶段； 局部变形阶段局部变形阶段 应力应力-应变曲线图应变曲线图 A

23、FN s l l 这里这里 A 横截面原始面积横截面原始面积. s 名义应力名义应力 l 试验段原长试验段原长 名义应变名义应变 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 s tanE E 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能 .弹性阶段弹性阶段OB在此区段，变形是弹性的在此区段，变形是弹性的. sE E 直线直线 OA的斜率的斜率 比例极限比例极限 s sp 点点 A 弹性极限弹性极限 s se 点点B OA 段称为线性段段称为线性段 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 p p是材料应力与应变是材料应力与应变 成正比的最大应力。成正比的最

24、大应力。 A3A3钢的比例极限钢的比例极限 p p=200 MPa=200 MPa。 e e与与p p很接近，工程上通常不作严格区分。很接近，工程上通常不作严格区分。 胡克定律胡克定律. . 屈服阶段屈服阶段 在此阶段，应力几乎在此阶段，应力几乎 不变，而变形却急剧不变，而变形却急剧 增长增长，材料暂时失去，材料暂时失去 了抵抗变形的能力了抵抗变形的能力 在试件的磨光表在试件的磨光表 面上，可以看到与轴面上，可以看到与轴 线大致成线大致成45 的斜纹的斜纹 屈服极限屈服极限: 屈服屈服现象现象 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 滑移线滑移线 s s 段内应力最低值段

25、内应力最低值 在屈服阶段卸载后在屈服阶段卸载后, ,大部分变形为塑性变形，大部分变形为塑性变形， 它将导致构件不能正常工作它将导致构件不能正常工作, ,因此屈服极限因此屈服极限s s是低是低 碳钢的重要强度指标。碳钢的重要强度指标。 . 硬化阶段硬化阶段 在此阶段，材在此阶段，材 料又增强了抵抗变料又增强了抵抗变 形的能力形的能力. 强度极限强度极限: 要使材料应变增大要使材料应变增大 必须增加应力，这必须增加应力，这 种现象称为材料的种现象称为材料的 应变硬化应变硬化. 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 sb 最高点最高点 G 对对 应的应力值应的应力值 ，材，材

26、 料所能承受的最料所能承受的最 大正应力大正应力 硬化阶段的卸载和再加载硬化阶段的卸载和再加载 pe 在此阶段在此阶段E点卸载点卸载, s 曲线是一条直线曲线是一条直线. 如果立即重新加载，如果立即重新加载， 则则s 曲线首先沿卸曲线首先沿卸 载曲线线性变化，然载曲线线性变化，然 后沿原曲线变化。后沿原曲线变化。 e_ 弹性应变弹性应变 p 残余应变残余应变 (塑性塑性) 材料的比例极限或弹材料的比例极限或弹 性极限将获得提高性极限将获得提高。. se 或 sp p 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 E 硬化阶段的卸载和再加载硬化阶段的卸载和再加载 冷作硬化冷作硬化

27、。 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 E 不经过热处理，只不经过热处理，只 在常温下拉到强化阶段在常温下拉到强化阶段 再卸荷再卸荷( (预加塑性变形预加塑性变形) )， 而使材料的比例极限或而使材料的比例极限或 弹性极限提高弹性极限提高( (提高钢材提高钢材 强度强度) )的方法，的方法， 若在第一次若在第一次卸载卸载后后 间隔一段时间间隔一段时间再再加载加载， 这时的应力与应变关系曲线将沿虚线上升到一个更这时的应力与应变关系曲线将沿虚线上升到一个更 高的位置，高的位置，比例极限比例极限进一步得到进一步得到提高提高。这种现象称。这种现象称 为为冷拉时效冷拉时效。 .

28、缩颈阶段缩颈阶段 试件的某一局部范围内，横截面显著试件的某一局部范围内，横截面显著 缩小缩小缩颈现象缩颈现象, 直至断裂直至断裂. a. 伸长率伸长率 %100 1 l ll l 试件段原长试件段原长; l1 断裂时的试件段断裂时的试件段 长度长度. b. 断面收缩率断面收缩率 %100 1 A AA A1 断裂时断口的横截面面积断裂时断口的横截面面积. A 横截面的原面积横截面的原面积 . 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 35MPa2 s s MPa083 b s 低碳钢低碳钢Q235的的 力学性能指标力学性能指标 塑性指标塑性指标 %30%52 %60 弹性指

29、标弹性指标 : GPa200E 通常如果通常如果 , 该材料称为该材料称为塑性材料塑性材料;%5 如果如果 , 称为称为脆性材料脆性材料.%5 E 强度指标强度指标 : sE 胡克定律胡克定律 : 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 铸铁拉伸时的铸铁拉伸时的s s 曲线曲线 1. 变形始终很小，延伸率小。变形始终很小，延伸率小。 典型脆性材料典型脆性材料 其他材料拉伸时的力学性能其他材料拉伸时的力学性能 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 故认为故认为近似线弹性近似线弹性， 胡克定律近似成立胡克定律近似成立。 弹性模量由一条割线的斜率来确定，

30、切割点弹性模量由一条割线的斜率来确定，切割点 通常定在应变为通常定在应变为0.1%0.1%的点处。的点处。 2. 没有屈服、硬化、颈缩阶没有屈服、硬化、颈缩阶 段，只有强度极限段，只有强度极限s s b (拉断拉断 时的最大应力时的最大应力)。其值远低于。其值远低于 低碳钢。低碳钢。 3. 无明显直线阶段。无明显直线阶段。 铸铁试件轴向拉伸时的断裂截面铸铁试件轴向拉伸时的断裂截面 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 强度极限是脆性材料唯一的强度指标。强度极限是脆性材料唯一的强度指标。 其他材料拉伸时的力学性能其他材料拉伸时的力学性能 锰钢没有屈服和缩颈阶段锰钢没有屈服

31、和缩颈阶段. 硬铝和退火球墨铸铁没有明硬铝和退火球墨铸铁没有明 显的屈服阶段显的屈服阶段. 总的来说总的来说, 对于以上材料对于以上材料: 5%, 5%, 属于塑性材料属于塑性材料. 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 对于没有屈服阶段的塑性对于没有屈服阶段的塑性 材料，可以将材料，可以将sp0.2作为名义屈作为名义屈 服极限，称为条件屈服应力或服极限，称为条件屈服应力或 屈服强度屈服强度. s sp0.2 卸载后产生卸载后产生 p=0.2%塑塑 性应变所对应的应力值性应变所对应的应力值 0.002残余应变残余应变 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能

32、力学性能 压缩试件压缩试件 短的圆截面柱体短的圆截面柱体 35.1 d l 短的正方形截面柱体短的正方形截面柱体 35 . 1 b l 标准试件：标准试件： 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 Compression tension a.低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的-曲线曲线 特点：特点： 1)压缩时的屈服应力压缩时的屈服应力ss 和弹性和弹性 模量模量E 与拉伸时基本相同与拉伸时基本相同. 2) 具有较好延展性，压缩时无具有较好延展性，压缩时无 断裂发生断裂发生. 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 特点：特点： 1) 压缩时，其强度极限压

33、缩时，其强度极限sb 和延伸率和延伸率 远高于拉伸时远高于拉伸时 的强度极限和延伸率的强度极限和延伸率, 因此铸铁适合于作为抗压构件因此铸铁适合于作为抗压构件; 2) 其其s 曲线仅在较低应力水平上接近胡克定律曲线仅在较低应力水平上接近胡克定律; 3) 破坏断面的法线与轴线大致成破坏断面的法线与轴线大致成45的夹角，由于该由于该 斜截面上的切应力最大。斜截面上的切应力最大。 b.铸铁压缩时的铸铁压缩时的-曲线曲线 2.4 材料拉伸和压缩时的材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能 抗压强度极限抗压强度极限bc bc比抗拉强度极限 比抗拉强度极限bt bt要大得多，达到 要大得多，达到 3 35 5倍

34、倍 ( (砼的抗压强度极限是其抗拉强度极限的砼的抗压强度极限是其抗拉强度极限的1010倍左右倍左右) ) 3 3塑性材料和脆性材料的主要区别。塑性材料和脆性材料的主要区别。 1 1）多数塑性材料多数塑性材料在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，符合胡符合胡 克定律克定律；多数脆性材料多数脆性材料在拉（压）时，在拉（压）时，一开始就是一开始就是 一条一条微弯的曲线微弯的曲线，但由于，但由于曲线曲率较小，应用上仍曲线曲率较小，应用上仍 设它们成正比；设它们成正比； 2 2）塑性材料塑性材料断裂时断裂时较大较大，故塑性材料可压成，故塑性材料可压成薄片薄片 或抽成或抽成细丝细丝，脆性材料脆性材料则则不能

35、不能； 3 3）多数）多数塑性材料屈服阶段以前塑性材料屈服阶段以前，抗拉、抗压性能基抗拉、抗压性能基 本相同本相同，应用范围广；多数，应用范围广；多数脆性材料抗压脆性材料抗压抗拉抗拉, , 价廉，价廉， 易就地取材，用做受压构件；易就地取材，用做受压构件； 4 4）塑性材料力学性能指标）塑性材料力学性能指标p p、e e、s s、b b 。、 较大；较大；E E为切线模量；为切线模量； 脆性材料：脆性材料：p p 。2%2%5%5%；E E为割线模量为割线模量 5 5）塑性材料受动荷载能力强，脆性材料受动荷载能）塑性材料受动荷载能力强，脆性材料受动荷载能 力差。力差。 2.5 破坏破坏 断裂断

36、裂 塑性变形塑性变形 塑性材料塑性材料, ,当应力达到当应力达到屈服强度屈服强度S S时，将发生时，将发生 较大的塑性变形，即使杆件不会破坏，由于过大较大的塑性变形，即使杆件不会破坏，由于过大 的塑性变形，使之丧失正常工作的能力，故的塑性变形，使之丧失正常工作的能力，故极限极限 应力为应力为 脆性材料脆性材料, ,最大工作应力为最大工作应力为强度极限强度极限，极限应力为，极限应力为 当材料发生当材料发生屈服屈服或者或者断裂断裂致使构件丧失正常工致使构件丧失正常工 作能力的现象称为作能力的现象称为强度失效强度失效。 bu ss su ss 2 . 0pu ss 或或 u s 材料即将丧失正常工作

37、能力时材料即将丧失正常工作能力时( (强度失效强度失效) )的应的应 力称为危险应力，或极限应力力称为危险应力，或极限应力 。 n u s s n n安全因数安全因数，实际强度与必需强度的比值。，实际强度与必需强度的比值。塑性塑性 材料和脆性材料的安全因数具有不同的取值材料和脆性材料的安全因数具有不同的取值 1n 调节经济性与安全性之间的矛盾。调节经济性与安全性之间的矛盾。 疲劳破坏也是构件的一种失效形式。疲劳破坏也是构件的一种失效形式。 r ss 为保证构件能正常地工作并具有足够的安全储备，为保证构件能正常地工作并具有足够的安全储备， 将极限应力除以一个大于将极限应力除以一个大于1 1的系数

38、的系数n n（安全系数也称（安全系数也称 为安全因数），便得到为安全因数），便得到许用应力许用应力 ，即，即 拉压杆的强度条件：拉压杆的强度条件： max ss或或 max N s A F 强度分析的三类问题强度分析的三类问题 (1) 强度校核强度校核 (2) 选择截面尺寸选择截面尺寸 (3) 确定许可载荷确定许可载荷 max N max ss A F max,N s F A maxN, sAF 杆内的最大应力杆内的最大应力 不得超过材料的许用应力。不得超过材料的许用应力。 max s 工程上，工程上， 是允许的。是允许的。%5 max sss 例例5 三角形屋顶如图所示，已知：均布荷载密度三

39、角形屋顶如图所示，已知：均布荷载密度 q=4.2kN/m, AB杆许用应力杆许用应力 s = 170MPa .（1）若）若 AB杆直径杆直径d =16mm,请校核该杆的安全性请校核该杆的安全性.（2）确定）确定 AB的最小直径的最小直径. A C B 1.42m 8.5m 9.3m 0.4m q 解解: 1. 计算支座反力计算支座反力. 由结构的平衡及对称性由结构的平衡及对称性 0 Ax F 0 x F kN5 .19 2 m3 . 9kN2 . 4 2 ql FF ByAy FBy FAx FAy A C B 1.42m 8.5m 9.3m 0.4m q 由分离体受力图由分离体受力图, 可得

40、可得 0 C M 2. 计算杆件轴力计算杆件轴力. 0) 2 5 . 8 ( ) 2 3 . 9 ( 2 42. 1 2 N Ay F q F m42. 1 )m 2 3 . 9 ( 2 )m 2 5 . 8 ( 2 N q F F Ay m42. 1 )m65. 4(kN/m1 . 2)m25. 4(kN5 .19 2 kN3 .26 FAy q C A 1.42m 4.65m 4.25m FN FCy FCx 3. 计算杆件应力并校核强度计算杆件应力并校核强度. kN3 .26 N F A FN s 4/mm)16( N103 .26 2 3 MPa131MPa170s 可见杆件满足强度要

41、求可见杆件满足强度要求. FAy C A 1.42m 4.65m 4.25m FN FCy FCx 4. 确定确定AB杆的最小直径杆的最小直径. kN3 .26 N F FAy C A 1.42m 4.65m 4.25m FN FCy FCx 4 1 2 N max s s d F 4 s N F d 03mm.14 170 103 .264 3 （取（取14.1mm） AB杆的最小直径为杆的最小直径为14.1mm。 例例6 两杆桁架如图所示两杆桁架如图所示. 杆件杆件AB 由两个由两个10号工字钢杆号工字钢杆 构成构成, 杆杆 AC 由两个截面为由两个截面为80mm80mm 7mm 的等边的

42、等边 角钢构成角钢构成. 所有杆件材料均为钢所有杆件材料均为钢 Q235，s =170MPa. 试确定结构的许用荷载试确定结构的许用荷载F . F 1m 30 A C B (1) 由节点由节点A的平衡条件的平衡条件 )(2 1N 拉力FF 0 x F 解解: 0 y F 030cos N1N2 FF 030sin N1 FF ）(732. 1 2N 压力FF 可得可得 F 1m 30 A C B A F x y FN2 FN1 30 (2) 从型钢表查得两杆件截面面积为从型钢表查得两杆件截面面积为 (3) 根据强度条件，计算杆件的许用轴力根据强度条件，计算杆件的许用轴力: kN24.369N1

43、024.369 )mm2172()MPa170( 3 2 1N F 22 2 68mm282)4mm143(A 22 1 mm21722)mm1086(AAC AB 56kN. 748N1056. 748 )8mm286()MPa170( 3 2 2N F AC AB kN24.369 1N F 56kN. 748 2N F FF2 1N FF732. 1 2N (4) 杆件的许用荷载为杆件的许用荷载为 kN6 .184 2 kN24.369 2 1N 1 F F 5kN. 128 732. 1 56kN. 748 732. 1 N1 2 F F kN6 .184F F 1m 30 A C B

44、 例例1 1 拉杆沿斜截面拉杆沿斜截面m-nm-n由两部分胶由两部分胶 合而成。设在胶合面上许用拉应合而成。设在胶合面上许用拉应 力力 =100MPa=100MPa，许用切应力，许用切应力 =50MPa=50MPa。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。试问：。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。试问： 为使杆件承受最大拉力为使杆件承受最大拉力F F，角的值应为多少？若杆件横角的值应为多少？若杆件横 截面面积为截面面积为4cm4cm2 2，并规定，并规定6060，试确定许可载荷，试确定许可载荷F F。 解：解： =cos2，=(sin2)/2； s s tg 2 1 0 52.26 使杆承受最大拉力为：

45、使杆承受最大拉力为： 2 1 s Mpa A F 10052.26cos 02 ss kN A F50 52.26cos 100 02 例例2 2 用一根灰口铸铁圆管作受压杆，材料的许用应力为用一根灰口铸铁圆管作受压杆，材料的许用应力为 =200MPa=200MPa，轴向压力，轴向压力F=1000kNF=1000kN，管的外径，管的外径R=65mmR=65mm，内，内 半径半径r=50mmr=50mm。试校核其强度。试校核其强度。 解：解： MpaMpa rRA F 2006 .184 5 .5416 10 )( 101000 6 22 3 s s 杆的强度满足要求。杆的强度满足要求。 =17

46、0MPa=170MPa 根据强度条件，确定杆件所需的根据强度条件，确定杆件所需的 最小横截面面积。即：最小横截面面积。即：AFAFNmax Nmax/ / 根据计算面积，利用附录选择型钢规格。即：根据计算面积，利用附录选择型钢规格。即：A A实际 实际 A A计算 计算 每根型钢所需面积为：每根型钢所需面积为：A=AA=A计算 计算/2 /2； 则则1 1杆选为：杆选为：2L70 x42L70 x4，A A实际 实际=11.14cm =11.14cm2 2； 2 2杆选为：杆选为：2L50 x5 2L50 x5 ，A A实际 实际=9.61cm =9.61cm2 2 ， 或或2L63x42L6

47、3x4， A实际 实际=9.96cm2 2.6 轴向拉压杆的轴向拉压杆的变形变形 实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下， 沿轴线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂沿轴线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂 直的方向）必发生缩短或伸长，如所示。直的方向）必发生缩短或伸长，如所示。 绝对变形绝对变形 正应变正应变 lll- 1 l l 相对变形相对变形 长度变化的测量长度变化的测量 l1 d1 单位长度上的变形单位长度上的变形; 无量纲量无量纲量 l1 d1 F F d l 轴向（或纵向）变形轴向（或纵向）变形 横向变形横向变形 d d 绝对变形绝对变形

48、 ddd- 1 横向正应变横向正应变 F F d l l1 d1 规定，规定，l l和和d d伸长为正，缩短为负；伸长为正，缩短为负；和和1 1 的正负号分别与的正负号分别与l l和和d d一致一致。因此规定：。因此规定：拉应拉应 变为正，压应变为负变为正，压应变为负。 或 - - 泊松比泊松比 泊松比泊松比 在线弹性范围内，杆件上任一点的横向正应在线弹性范围内，杆件上任一点的横向正应 变变与该点的纵向正应变与该点的纵向正应变成正比，但符号相反成正比，但符号相反. F F d l l1 d1 载荷和变形之间的线性关系载荷和变形之间的线性关系 . 胡克定律：胡克定律： 当当 p p = =E E

49、 (a) (a) 因为因为 , N FFl AAl s 带入带入 (a), (a), 可得可得 (b) 上述关系式上述关系式(a)(a)和和(b)(b)称为胡称为胡 克定律克定律. . F F d l l1 d1 EA lF l N E 弹性模量弹性模量; 具有与应力相同的量纲具有与应力相同的量纲, 单位单位 Pa. EA lF l N 胡克定律胡克定律在拉（压）杆上的应用在拉（压）杆上的应用 EA 杆件的杆件的轴向抗拉（或抗压）刚度。轴向抗拉（或抗压）刚度。 =E 区别区别 胡克定律胡克定律在任意单独应力状态下在任意单独应力状态下 的应用的应用 低碳钢低碳钢 (Q235) 弹性常数弹性常数:

50、0.24 0.28 GPa200E FN、A或或E分段变化：分段变化： ii ii i AE lF ll N FN或或A沿轴线连续变化沿轴线连续变化 : ll EA dxF ldl N 在弹性变形范围内，每一种材料的在弹性变形范围内，每一种材料的值均为值均为 一常数，可由实验测得。一常数，可由实验测得。 E E和和都是表征材料弹性的常量，工程中的材都是表征材料弹性的常量，工程中的材 料均为料均为E E、值。值。 例例6 台阶形杆件受载如图所示，已知台阶形杆件受载如图所示，已知AB和和BC段的段的 截面面积为截面面积为 A1=400mm2、A2=250mm2. 材料的弹性材料的弹性 模量为模量为

51、 E=210GPa。试计算。试计算AB段、段、BC段和整个杆段和整个杆 件的伸长量；并计算截面件的伸长量；并计算截面C相对于截面相对于截面B的位移以的位移以 及截面及截面C的绝对位移的绝对位移. F=40kN C BA B C 解解:由平衡方程计算各截面上的轴力由平衡方程计算各截面上的轴力 FF N l1 =300l2=200 因此因此 1 1N 1 EA lF l mm143. 0 2 2N 2 EA lF l mm152. 0 3 32 40 10 N300mm 210 10 MPa400mm 23 3 mm250MPa10210 mm200N1040 F=40kN C BA B C l1

52、 =300l2=200 杆件杆件AC的总伸长量的总伸长量 21 lll mm295. 0152. 0143. 0 截面截面C相对于截面相对于截面B的位移的位移 )( mm153. 0 2 lCB 截面截面C的绝对位移的绝对位移 )( mm295. 0lC F=40kN C BA B C 例例7 7 求图示构件求图示构件B B点的位移（点的位移（EA=EA=常数）。常数）。 解：解：(1)(1)求各段杆轴力。求各段杆轴力。 F FNAC NAC=2F =2F，F FNBC NBC=F =F EA Fa lAC 2 EA Fb lBC (2)(2)求各段杆变形。求各段杆变形。 (3)B(3)B点的

53、竖向位移点的竖向位移 )2(ba EA F ll BCACBV 例例8 8 由两种材料组成的受轴向荷载作用的变截面杆，由两种材料组成的受轴向荷载作用的变截面杆， 如图如图a a所示。各段横截面面积为别为所示。各段横截面面积为别为A AAC AC=100mm2 =100mm2， A ACD CD=50mm2 =50mm2，A ADB DB=35mm2 =35mm2 。已知两种材料的弹性模量为。已知两种材料的弹性模量为E E 钢钢=200GPa =200GPa，E E铜 铜=95GPa =95GPa。试求杆。试求杆ABAB总的轴向变形和总的轴向变形和D D截截 面的绝对位移。面的绝对位移。 解：解

54、：(1)(1)求各段杆轴力求各段杆轴力， 绘制轴力图绘制轴力图 。 由截面法可求得各段轴力为由截面法可求得各段轴力为 F FN1 N1=6kN =6kN，F FN2 N2=0 =0，F FN3 N3=-4kN =-4kN 轴力图见图轴力图见图b b。 （2 2）计算各段变形）计算各段变形 mm AE lF l AC N 3 . 0 10010200 101106 3 33 1 1 钢 0 2 2 CD N AE lF l 钢 (3)(3)计算杆计算杆ABAB总的轴向变形总的轴向变形 mm AE lF l DB N 6 . 0 351095 105 . 0104 3 33 3 3 铜 mm AE

55、 lF l AC N 3 . 0 10010200 101106 3 33 1 1 钢 0 2 2 CD N AE lF l 钢 mmllll3 . 06 . 003 . 0 321 这里负值表示杆这里负值表示杆ABAB在外力作用下缩短。在外力作用下缩短。 0 2 2 CD N AE lF l 钢 mm AE lF l DB N 6 . 0 351095 105 . 0104 3 33 3 3 铜 mm AE lF l AC N 3 . 0 10010200 101106 3 33 1 1 钢 0 2 2 CD N AE lF l 钢 mmll DAD 3 . 003 . 0 21 （4 4）

56、计算）计算D D截面的位移截面的位移 由于由于A A端固定，所以端固定，所以D D截面的绝对位移为截面的绝对位移为D D截面相对于截面相对于 A A截面的位移。即：截面的位移。即： 所得结果为正，表示所得结果为正，表示D D截面的位移向右。截面的位移向右。 由此可见，变形与位移是两个不同的概念。变形与内力是由此可见，变形与位移是两个不同的概念。变形与内力是 相互依存的，而位移与内力之间则没有绝对的依存关系。相互依存的，而位移与内力之间则没有绝对的依存关系。 谢谢 谢谢 大大 家家 ！ 杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 所以讨论所以讨论横截面的应力横截面的应力时需要知道时需要知道变形的规律变形的规律 我们可以做一个实验我们可以做一个实验 P P P P 杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。 变形后原来的矩形网格仍为矩形。变形后原来的矩形网格仍为矩形。 内力与变形是并存的，内力与变形是并存的，内力是抵抗变形的一种能力。内力是抵抗变形的一种能力。 圣维南原理圣维南原理 力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离 不大于杆的横向尺寸的范围