八年级上学期轴对称练习题精选

1、 八年级上学期轴对称练习题精选一解答题1如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上的一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求证：BM=CN2如图，ABC中，点D在BC上，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若FAC=B，求证：AD平分BAC3如图，ABC中，ABAC，DF垂直平分BC交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB 于E，连接BD，CD求证：DBE=DCA4（2013荆门）如图1，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45，原题设其它条

2、件不变求证：AEFBCF5（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=B

3、AC，试判断DEF的形状6（2004十堰）如图，已知ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF7（2012仪陇县模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论8（2012泸州）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC9已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F（1

4、）求证：AN=BM；（2）求证：CEF为等边三角形10题目：如图1，ABD，AEC都是等边三角形，求证：BE=DC由已知易证ABEADC，得BE=DC扩变：1如图2，若ABD，AEC都是等腰直角三角形，D=E=90，那么 BE=DC吗？2如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BEDC 3如图4，若点A在线段BC上，ABD，AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？4在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5（1）AF=AG吗？（2）AFG是等边三角形吗？为什么？11如图，已知MAN=120，AC平分MANB、D分别在射线A

5、N、AM上（1）在图（1）中，当ABC=ADC=90时，求证：AD+AB=AC（2）若把（1）中的条件“ABC=ADC=90”改为ABC+ADC=180，其他条件不变，如图（2）所示则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由12（2013六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做

6、法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_ （2）实践运用 如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_ （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法13（2009益阳）如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路

7、，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值14（2008恩施州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值15（2013石景山区一模）问题解决：已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作

8、CAAB于点A，EBAB于点B，联结CD、DE（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？（2）若AB=8，AC=4，BE=2，设AD=x用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值16（2012青田县模拟）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x则，则问题即转化成求AC+CE的最小值（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值

9、等于_，此时x=_；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值17（2012溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是

10、BD上一动点连接EP，CP，则EP+CP的最小值是_；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是_；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹）18（2010江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短（不要求写画法）19为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线

11、（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，AOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）20作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论（1）如图所示，104国道OA和327国道OB在曲阜市相交于O点，在AOB的内部有工厂C和D，现要建一个货站P，使P到OA和OB的距离相等，且使PC=PD，用尺规作出P点的位置（2）在图中直线上找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小21如图（1），A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直

12、线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥（1）天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）（2）根据图（1）中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长（单位：米）八年级上学期轴对称练习题精选参考答案与试题解析一解答题（共21小题）1如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上的一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求证：BM=CN考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质1125860专题：证明题分析：根据O是BC的中点，DOBC，

13、可知OD是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是BAC的平分线，DMAB，DNAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定RtBMDRtCND，从而有BM=CN解答：证明：连接BD，CD，如图，O是BC的中点，DOBC，OD是BC的垂直平分线，BD=CD，AD是BAC的平分线，DMAB，DNAC，DM=DN，在RtBMD和RtCND中，RtBMDRtCND，BM=CN点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用2如图，ABC中，点D在BC上，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若FA

14、C=B，求证：AD平分BAC考点：线段垂直平分线的性质1125860专题：证明题分析：由EF是ADAD的垂直平分线，可得AF=DF，然后由等边对等角，可证得EAF=EDF，然后利用三角形外角的性质与FAC=B，可证得AD平分BAC解答：解：EF是ADAD的垂直平分线，AF=DF，EAF=EDF，EAF=FAC+CAD，EDF=BAD+B，又FAC=B，BAD=CAD，即AD平分BAC点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3如图，ABC中，ABAC，DF垂直平分BC交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB 于E，

15、连接BD，CD求证：DBE=DCA考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质1125860专题：证明题分析：过D作DGAC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DG，然后利用“HL”证明RtDBE和RtDCG全等，根据全等三角形对应角相等证明即可解答：证明：过D作DGAC，DF是BC的垂直平分线，BD=DC，AD是ABC的外角平分线，DEAB，DGAC，DE=DG，DEAB，DGAC，DEB=DGC=90，在RtDBE和RtDCG中，RtDBE和RtDCG（HL），DBE=DCA点评：本题考查了线段垂直平分线上的

16、点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键4（2013荆门）如图1，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1125860专题：证明题分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BAE=EAC，然后利用“边角边”证明ABE和ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）先判定ABF为等腰直角三角形，再

17、根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出EAF=CBF，然后利用“角边角”证明AEF和BCF全等即可解答：证明：（1）AB=AC，D是BC的中点，BAE=EAC，在ABE和ACE中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45，BFAF，ABF为等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，点D是BC的中点，ADBC，EAF+C=90，BFAC，CBF+C=90，EAF=CBF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等

18、的判定方法与各性质是解题的关键5（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AE

19、C=BAC，试判断DEF的形状考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定1125860分析：（1）根据BD直线m，CE直线m得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）与前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BF

20、D=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形解答：证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=

21、CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（sas），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF为等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质6（2004十堰）如图，已知ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质1125860专题：证明题分析：过D作DGAF交BC于G，证明DG

22、EFCE，得出DG=CF，再证明DB=DG，通过等量代换得到BD=CF解答：证明：过D作DGAF交BC于G，如图，则F=GDE，DE=EF，DEG=FECDGEFCE（ASA），GD=CF，AB=AC，B=ACB，又DGAF，ACB=BGD，B=BGD，BD=GD，又GD=CF，BD=CF点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点7（2012仪陇县模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ观察并猜想AP与CQ

23、之间的大小关系，并证明你的结论考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质1125860专题：探究型分析：先猜想AP=CQ，再在ABP与CBQ中，由AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60可得出ABP=CBQ，进而可判断出ABPCBQ，由全等三角形的对应边相等即可得出结论解答：猜想：AP=CQ证明：在ABP与CBQ中，AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60，ABP=ABCPBC=PBQPBC=CBQ，ABPCBQ，AP=CQ点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出ABPCBQ是解答此题的关键8（2012泸州）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的

24、一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定；等边三角形的性质1125860专题：证明题分析：根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60，求出BCD=ACE，根据SAS证ACEBCD，推出EAC=DBC=ACB，根据平行线的判定推出即可解答：证明：ABC和DEC是等边三角形，BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60，BCADCA=ECDDCA，即BCD=ACE，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），EAC=B=60=ACB，AEBC点评：本题考查了等边三角形性质

25、，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出ACEBCD，主要考查学生的推理能力9已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F（1）求证：AN=BM；（2）求证：CEF为等边三角形考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质1125860专题：证明题分析：（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到ACNMCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得CAN=CMB，进而得出MCF=ACE，由ASA得出CAECMF，即CE=CF，又ECF=60，所以CEF为等边三角形解答：证明：（1）ACM，CBN是等边三

26、角形，AC=MC，BC=NC，ACM=NCB=60，ACM+MCN=NCB+MCN，即ACN=MCB，在ACN和MCB中，ACNMCB（SAS），AN=BM（2）CANCMB，CAN=CMB，又MCF=180ACMNCB=1806060=60，MCF=ACE，在CAE和CMF中，CAECMF（ASA），CE=CF，CEF为等腰三角形，又ECF=60，CEF为等边三角形点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用10题目：如图1，ABD，AEC都是等边三角形，求证：BE=DC由已知易证ABEADC，得BE=DC扩变：1如图2，若ABD，AEC都是等腰直角

27、三角形，D=E=90，那么 BE=DC吗？2如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BEDC3如图4，若点A在线段BC上，ABD，AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？4在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5（1）AF=AG吗？（2）AFG是等边三角形吗？为什么？考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质1125860专题：证明题分析：1、由ABD，AEC都是等腰直角三角形得到AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=45，由于DAC=BAE，则可判断ABE和ADC不全等，于是BE与DC不相等2、（1）根据正

28、方形的性质得到AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=90，则DAC=BAE，根据“SAS”可判断ABEADC，则BE=DC；（2）由ABEADC，则AEB=ACD，而BNC=ANE，于是ACD+BNC=AEB+ANE=90，即BEDC；3、根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，则DAC=BAE，根据“SAS”可判断ABEADC，则BE=DC；4、（1）由ABEADC得到ABE=ADC，根据“AAS”可判断ABFADG（ASA），则AF=AG；（2）由于AF=AG，而DAE=60，根据等边三角形的判定方法可得到AFG是等边三角形解答：解：1BEDC理由如下：AB

29、D，AEC都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=45，DAC=BAE，ABE和ADC不全等，BE与DC不相等2（1）BE=DC成立理由如下：四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=90，DAC=BAE，在ABE和ADC中，ABEADC（SAS），BE=DC；（2）BEDC理由如下：AC与BE相交于N点，ABEADC，AEB=ACD，而BNC=ANEACD+BNC=AEB+ANE=90，BEDC；3BE=DC理由如下：ABD，AEC都是等边三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，DAC=BAE，在ABE和ADC中，AB

30、EADC（SAS），BE=DC；4（1）AF=AG理由如下：ABEADC，ABE=ADC在ABF和ADG中，ABFADG（ASA），AF=AG（2）AFG是等边三角形理由如下：AF=AG，而DAE=60，AFG是等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质11如图，已知MAN=120，AC平分MANB、D分别在射线AN、AM上（1）在图（1）中，当ABC=ADC=90时，求证：AD+AB=AC（2）若把（1）中的条件“AB

31、C=ADC=90”改为ABC+ADC=180，其他条件不变，如图（2）所示则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形1125860分析：（1）由题中条件可得，DCA=BCA=30，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得CAE为等边三角形，进而可得ADCEBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证解答：（1）证明：MAN=120，AC平分MAN，DAC=BAC=60ABC=ADC=90，DCA=BCA=30，在RtACD中，DCA=30，RtA

32、CB中，BCA=30AC=2AD，AC=2AB，AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，BAC=60，CAE为等边三角形，AC=CE，AEC=60，DAC=60，DAC=AEC，ABC+ADC=180，ABC+EBC=180，ADC=EBC，ADCEBC，DC=BC，DA=BE，AD+AB=AB+BE=AE，AD+AB=AC点评：本题主要考查了30的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题12（2013六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使A

33、P+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用 如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB

34、、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题1125860分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CEAB，BCE=BCA=30，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BECD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60，点B是的中点得到BOC=30，AOC=60，所以AOE=60+30=90，于是可

35、判断OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点CEAB，BCE=BCA=30，BE=1，CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BECD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，BECD，CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，的度数为60，点B是的中点，BOC=30，AOC=60，EOC=30，AOE=60+30=90，OA=OE=1，AE=OA=，AE的

36、长就是BP+AP的最小值故答案为；（3）拓展延伸如图（4）点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题13（2009益阳）如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求

37、出x的值考点：翻折变换（折叠问题）1125860专题：综合题分析：（1）：先根据ABDABE，ACDACF，得出EAF=90；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x2）2+（x3）2=52，求出AD=x=6解答：（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF（1分）DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45EAF=90（3分）又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90（4分）又AE=AD，AF=AD，AE=AF（5分）四边形AEGF是正方形（6分）（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）BD=2，D

38、C=3，BE=2，CF=3BG=x2，CG=x3（9分）在RtBGC中，BG2+CG2=BC2（x2）2+（x3）2=52（11分），（x2）2+（x3）2=52，化简得，x25x6=0解得x1=6，x2=1（舍），所以AD=x=6（12分）点评：本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想要能灵活运用14（2008恩施州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图

39、求出代数式的最小值考点：轴对称-最短路线问题1125860专题：综合题；动点型分析：（1）由于ABC和CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，AC+CEAE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，RtAFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值解答：解：（1）+；（2分）（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（4分）（3）如

40、右图所示，作BD=12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数的最小值过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=13，即的最小值为13（8分）点评：本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解15（2013石景山区一模）问题解决：已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CAAB于点A，EBAB于点B，联结CD、DE（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？（2）若AB=8，AC=

41、4，BE=2，设AD=x用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值考点：轴对称-最短路线问题1125860分析：（1）由两点之间线段最短可知：当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小；（2）根据勾股定理计算即可；（3）过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，再证明四边形AFEB是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式的最小值解答：解：（1）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，（2），（3）如图，令AB=4，AC=1，BE=2，设AD=x，则BD=4x，=，D、C、E三点在一条直线上时，C

42、D+DE的值最小，CE的长即为的最小值，过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，CAAB于A，EBAB于B，AFBE，四边形AFEB是矩形，AF=BE=2，EF=AB=4，在RtCFE中，F=90，CF=3，的最小值为5点评：本题考查了两点之间线段最短的公理以及勾股定理的运用和矩形的判定及其性质，题目的综合性较强，难度中等16（2012青田县模拟）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x则，则问题即转化成求AC+CE的最小值（1）我们知道

43、当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于10，此时x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值考点：轴对称-最短路线问题1125860分析：（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度过点E作EFBD，交AB的延长线于F点在RtAEF中运用勾股定理计算求解（2）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AFBD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，RtAFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值解答：解：（1）过点E作EFBD，交AB的延长线于F点，根据题

44、意，四边形BDEF为矩形AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8AE=10即AC+CE的最小值是10=10，EFBD，=，=，解得：x=（2）过点A作AFBD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12AE=13即AC+CE的最小值是13点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键17（2012溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l

45、上求作一点，使得PA+PB最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点

46、，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹）考点：轴对称-最短路线问题1125860分析：（1）由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；（2）找点C关于x轴的对称点C，连接AC，则AC与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC的解析式，继而可得出点D的坐标（3）分别作点A关于OM的对称点A、关于ON的对称点A，连接AA，则AA与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置解答：解：（1）点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关

47、于x轴的对称点C，连接AC，则AC与x轴的交点即为点D的位置，点C坐标为（0，2），点A坐标为（6，4），直线CA的解析式为：y=x2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A、关于ON的对称点A，连接AA，则AA与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点点评：此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息18（2010江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短（不要求写画法）考点：轴对称-最短路线问题1125860专题：作图题分析：先作出点A关于I的对称点A，B点向左平移到B（平移的长度为定值a），再连接AB，与l交于C，再作BDAB，与l交于D，即可确定点D、C解答：