函数项级数一致收敛的判别法

1、函数项级数一致收敛的判别法摘要函数项级数的一致收敛性在高等数学中是非常重要的，对于求极限、导数等都是有重要的意义，也为以后的学习做了铺垫和基础。为了更好地理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳和总结。举出部分例子。首先在基础知识部分列举了大家熟知的几种基本判别法，然后对基本判别法作了进一步讨论。利用大家已经学过的数列级数的定义和判别法对函数项级数定义进行推广，对比数项级数和函数项级数及判别法,给出了类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法 - 比式判别法和根式判别法。本文还介绍分析了把Gauss 指标判别法如何应用于正项的函数项级数的一致收

2、敛性的判别，得出了正项的函数项级数一致收敛的另一种判别法，也就是 Gauss 型判别法。本文也拓展了部分知识。考虑函数项级数和含参变量广义积分的一致收敛性的判别问题。关键词：函数项级数；一致收敛；判别法目录引言2基础知识：3正文内容5函数项级数的基本一致收敛性判别法5比式判别法、跟式判别法6正项级数收敛性 Gauss 指标判别 法11函数项级数一致收敛柯西准则的改进形式15结语16参考文献 :17Discriminant Method For Uniform Convergence Of Series Of Function TermsABSTRACTIn order to better un

3、derstand and master the method of uniform convergence of function series, several discriminant methods of uniform convergence of function series are analyzed, summarized and summarized. First, the introduction lists several basic discriminant methods which are well known, and then discusses the basi

4、c discriminant methods further. In this paper, the definition of series of function terms is generalized and compared with series of function terms and discriminant method. The discriminant method of uniform convergence of series of function terms similar to series of number terms is given, which is

5、 ratio discriminant method and root discriminant method. This paper also introduces the Gauss index discriminant method applied to the discriminant of the uniform convergence of the series of positive terms, and gives the Gauss type discriminant of the uniform convergence of the series of positive t

6、erms. In addition, the problem of judging the uniform convergence of the series of function terms and the generalized integral with parameter variables is also considered.Key words: series of function terms; uniform convergence; discriminant method 引言函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点 , 函数项级数既可以被看作是对数项级数的

7、推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例 .它们在研究内容上有许多相似之处 ,比如它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决 ,同时它们的敛散性的判别方法也有可以拿来借鉴的地方, 如Cauchy 判别法 , 阿贝尔判别法 , 狄利克雷判别法等.教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:魏尔斯特拉斯判别法 、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等, 而数项级数的判别法除阿贝尔判别法和狄利克雷判别法之外还有许多判别法,如比式判别法 、根式判别法等，然而作为数项级数的推广函数项级数 , 能否对比式判别法 , 根式判别法等进行推广使其适用于函数项级数的一致收敛性的判定呢，这是值得展开讨论的课题。还

8、有一些函数项正项级数一致收敛性的判别法得分析讨论。以下主要从函数项级数一致收敛性的定义及数项级数判别法展开讨论, 得到了一些值得借鉴的适用于函数项级数一致收敛的判别方法.还有一点就是在正向级数中我们能用比式判别法和根式判别法对函数项级数的一致收敛性进行判别，那么在函数项级数中是否也有类似的定理呢？下面我们就进一步讨论函数项级数一致收敛的基本方法。还有正项的函数项级数一致收敛的方法的推论， Gauss 型判别法。基础知识：一、 函数项级数及其一致收敛性1. 函数项收敛与函数项一致收敛的概念.设是定义在数集E上的函数项级数un(x)的部分和函数列，若在数集上收敛于，则称为un(x)的和函数，记为，

9、,并称为函数项级数的收敛域。类似若在上一致收敛于，则称函数项级数un(x)在上一直收敛于，或称un(x)在上一致收敛。2. 一致收敛的柯西准则。函数项级数un(x)在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某自然数，使得当nN时，对一切和一切自然数，都有或由此我们得到函数项级数un(x)在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于零。3. 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是：，其中称为函数项级数un(x)的余项。4. 定理1(放大法)设是函数项级数un(x)的部分和函数数列，函数列和函数都是定义在同一数集上，对于任意的，存在数列，使其对于任意的有，且，则称函数列一致收敛于，即

10、函数项级数un(x)在上一致收敛于。证明：由假设，对任给，存在正整数，使得当时，有。因为对于一切总有，故对任给存在正整数，使得当时，对一切，都有。以上对函数项级数一致收敛性的判定都是需要知道函数，如果未给出，那么我们该如何判定，下面给出一个余项法解决此问题。 定理2：（余项法）设un(x)为定义在上的函数项级数，为函数项级数un(x)的余项，即，若，则函数项级数un(x)在上一致收敛于函数。证明：设是函数项级数un(x)的部分和函数列，为和函数，则有，并令。而，即，有定理1得知函数项级数在上一致收敛于函数。正文内容对于函数项级数，研究函数的解析性至关重要， 函数项级数必须具有一致收敛性，可 判

11、 断 函 数 项 的 一致收敛性往往是 比 较 困 难 的，为 了 更 好 地 理 解 判 别函数项级数的各 种 方 法。当然定义可以用来判别函数项是否一致收敛，但是如果较难得到函数项级数的部分和，或无法得到函数项级数得部分和时就要令寻它法，所以有的题目不能用定义来判别，故针对不同得题目就要用不同的方法，所以不能用定义来判断时就可以用下面几种判别函数项一致收敛的方法。我 们 先 回 顾 一 下 我 们 熟 知的几种函数项级数一致收敛的判别法。教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:定义法，常用的方法有：魏尔斯特拉斯判别法 、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等。还有推广的Dini定理。这些定理

12、是我们已经学过和熟知地几种判别法。下面我们先复习巩固一下这些基本判别法。函数项级数的基本一致收敛性判别法1. 维尔斯特拉斯判别法（或称M判别法）设函数项级数un(x)定义在数集上，为收敛的正向级数，若对一切，有则数项级数un(x)在上一致收敛。2. 阿贝尔判别法。设1） un(x)在区间上一致收敛；2） 对于每一个，是单调的；3） 在上一致有界，即对一切和自然数n，存在正数M，使得，则级数在上一致收敛。3. 狄利克雷判别法。设1） un(x)的部分和数列在上一致有界；2)对于每一个，是单调的；3）在上 则级数在上一致收敛。在很多情 况 下，我们 很容 易 证 明某 个 函 数 项 级数收敛，但

13、是如何由收敛得出一致收敛呢，下面这个定理给出了一种由收敛推出一致收敛的方法。4. Dini定理：1） 函数项级数的每一项均在有限区间上连续且非负；2） 收敛于连续函数，则在一致收敛于证明:（反证法）假设在上非一致收敛，则存在，使得任意，存在，存在，取，存在，使；取，存在，存在，使，,如此下去得一子列，使得, (1)有致密性定理，有界数列中存在收敛子列，有题设知是同号级数，因此关于单调递减，所以(1)由得：当时，由于在处连续，故当时，,这与在上收敛矛盾，故一致收敛。比式判别法、跟式判别法在实际问题中往往比较复杂，所以我们要解决实际问题仅有上面几种方法远 远 不够，因此我们需要再进 一 步 研究

14、函 数项级数 一 致收敛的其他的方法。接下来就是对 函 数 项 级 数 一 致 收 敛的 基 本判别法的进一步讨论。函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点 , 函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广 , 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例 .它们在研究内容上有许多相似之处 ,比如它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决 ,同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处 , 如Cauchy 判别法 , 阿贝尔判别法 , 狄利克雷判别法等 .教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:魏尔斯特拉斯判别法 、阿贝尔判别法 、狄利克雷判别法等 , 而数项级数的判别法除阿贝尔判别

15、法和狄利克雷判别法之外还有许多判别法 , 如比式判别法 、根式判别法等，然而作为数项级数推广函数项级数 , 能否对比式判别法 , 根式判别法等进行推广使其适用于函数项级数的一致收敛性的 判定呢，这是值得展开讨论的课题,以下主要从函数项级数一致收敛性的定义及数项级数判别法展开讨论 , 得到了一些值得借鉴的适用于函数项级数一致收敛的判别方法 .在正向级数中我们能用比式判别法和根式判别法对函数项级数的一 致 收 敛 性 进 行 判 别，那 么 在 函数项级数中是否也有 类 似 的 定 理 呢？下 面 我 们 就 进一步讨论函数项级数一致收敛的基本方法。1. 定理1：设为定义在数集上正的函数列,记，若

16、且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛。这个定理为一致有界推出一致收敛提供了重要依据。2. 定理2: 设为定义在数集上正的函数列,若存在，那么1） 若对任给，的，则函数项级数一致收敛；2） 若对任给，则函数项级数不一定收敛。证明：由定理条件知，对任给，存在使得对任给的，有，即，则当，对任给成立时，又，而当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收敛；而当时对任给的成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数在上不一致收敛。3. 定义：设函数项级数，其中 是区间上的连续函数，且函数列在区间上单调递减收敛于0，则称这一级数为莱布尼兹型函数项级数。4. 定理3:若，为莱布尼兹型函数项级数，由此级数

17、在上一致收敛。证明：因为是上的连续函数，在上收敛于连续函数；对，单调，所以由狄尼定理知在上一致收敛于 又因为，故一致有界；对任给的，单调有界，在上一致收敛于，所以由狄利克雷判别法知莱布尼兹型函数项级数在上一致收敛。5. 定理4：两个函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛。则函数项级数在区间上绝对一致收敛。证明：已知级数在区间上绝对一致收敛，即对，及，有。又由条件知有，当，有，取，有由级数一致收敛柯西准则知，函数级数在区间上绝对一致收敛。6. 定理5：函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛。则函数项级数在区间上绝对一致收敛。证明：已

18、知，当，（其中为正常数），又函数级数在区间上一致收敛，即，有。取，当，有从而函数项级数在区间上绝对收敛。7. 定理6：设函数序列在内一致有界，且关于单调增加或单调减少，则在内一致收敛数项级数和都收敛。以上结论都是针对于一般的函数项级数都有的性质，若是定义在数集上的正项级数，那么我们有以下结论。8. 定理7：（比式判别法）设是定义在数集上的正项函数项级数， 在上有界，若，设则1）时，在上一致收敛；2）时，在上不一致收敛。证明：由当，取存在，当时，对一切有由在上有界，即存在，对一切有，由收敛，得收敛，由优先级数判别法知在上一致收敛。2）时，存在使得，因此不收敛，在上不一致收敛。9. 定理8：（根式

19、判别法）设是定义在数集上的正项函数项级数，若，设，则1） 时，在上一致收敛；2） 时，在上不一致收敛证明：1）时，由，取，存在时，对一切有由，由先级数判别法知在上一致收敛。2）时，存在使由即在上不收敛。10. 例题例1：函数项级数在 上一致收敛，由于，由定理7知得知函数项级数在上一致收敛。例2：函数项级数在，其中上一致收敛，因为，设，由定理8得知函数项级数在上一致收敛。11. 定理9：设是定义在数集上的正项函数项级数，对每一个非负函数在上递减，若在数集上一致收敛，则在数集上一致收敛。证明：由在数集上一致收敛，对存在一个对一切自然数和一切有，由，所以在数集上一致收敛。正项级数收敛性 Gauss

20、指标判别 法正项级数收敛性 的判别法Gauss 指标判别 法 ，它 是 比 值 判 别 法 、根 式 判 别法和Raabe 型判别法的推广，本文把它应用于正项的函数项级数的一致收敛性的判别，给出了正项的函数项级数一致收敛的 Gauss 型判别法，它是已有的比值型判别法和 Raabe 型判别法等一般化.1. 相关概念函数项级数及其一致收敛的定义，可参见文献1. 这里我们仅给出与函数项级数一致收敛性判别的相关概念.为了叙述方便，已有的结论用引理给出.函数项级数一致收敛的充要条件(柯西准则).正项级数的 Gauss 判别法与 Gauss 指标判别法.2. 引理1：如果正项级数满足条件：，其中与是常数

21、，而是有界量即，使得，则当或，时正项级数收敛；当或，时，正项级数发散。3. 引理2：设有正项级数，为正数列的Gauss指标则当或时，收敛，当或时，发散。4. 主要结果及其证明我们把正项级数的 Gauss 指标判别法，应用于判别正项函数级数的一致收敛性，给出如下的定理.定理1：设是在上的正项函数项级数1） 如果，且或。且在上是一致有界，则在上一致收敛。2） 如果，且或，则在上发散。证明：1）我们仅证明的情况。因为1根据数列极限的性质，对于:,有 于是 (1)以下证明，使得，有 (2)i. 由（1）式，有 故由泰勒定理可得， 因为 所以 ii. 对于，有 即 ，于是 ，iii. 由于在上是一致有界

22、，使得，有于是 ，其中是常数，这就证明了（4）式成立。因为正项级数 收敛，根据引理2，函数项级数在上一致收敛。2）仅证明的情况。因为，根据极限的性质，对于满足：，有，按1）中的证明方法，有即 ，于是， 即 ， 其中，。 由于对于任意，级数 发散，所以发散。考虑函数项级数和含参变量广义积分的一致收敛性的判别问题，经 典 的 柯 西 准 则 判 别法是证明函数项级数和含参变量广义积分一致收敛 的 有 效 方 法，经 过 对 经 典 的 柯 西 准 则 的 表 述 方 式 给 予 改 进，利 用 改 进 表 述 的柯西准则，给出了函数项级数和含参变量广义积分的非一 致 收 敛 性 的 一 般 性 方

23、 法，叙 述 简 便。函数项级数一致收敛柯西准则判断法的改进形式1. 在函数项级数的和函数S(X)已知的情况下，记则有：定理1：函数项级数在上一致收敛于的充要条件是2. 含参变量广义积分一致收敛的柯西准则的改进设函数在上有定义，且对中任意，广义积分都收敛。定理2：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：对，当时，不等式，对上的所有的成立。定理3：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：存在，对任意，存在及，满足。定理3是证明含参变量广义积分非一致收敛的常用方法，然而应用此方法在证明各个含参变量广义积分非一致收敛时都要重复的叙述一遍，表述有些繁琐。可以将定理结果的表述形式给予改进，使其指向性明确，方

24、便于使用。记，则有，。定理4：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：。定理5：如果当时，不趋向于0，则积分关于在上不一致收敛。记定理6：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：。例题例1、 设在上单调递减非负且收敛，证明。证明：由于收敛，存在，当时，。又在上单调递减非负，从而，故有。因此当时，所以。例2、 设在上可薇，可积，且当时，单调递减趋于零，又收敛，证明收敛。证明：首先非负，否则，若存在使得，则时，恒有，从而发散，而这与已知条件矛盾。其次由，且收敛可知，收敛与否取决于是否存在。由例1证明过程可知。故收敛。例3、 设在上由连续可微函数，积分和都收敛，证明。证明：要证，有极限，由归结原则只要证恒有收敛。事实上，由收敛，由Cauchy收敛准则，存在，当时，恒有，于是，存在，当时，有，从而。由Cauchy准则，存在，所以收敛。由归结原则存在。下证若，由局部保号性，存在，当时有，从