结构动力学配套李廉锟教材

1、13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 结构动力学：结构动力学： 研究结构在研究结构在动力荷载动力荷载作用下的作用下的动力反应。动力反应。 （1 1）地震现场录像）地震现场录像（2 2）地震振动台实验录像）地震振动台实验录像 例如地震荷载：例如地震荷载： 动力荷载：荷载的动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置 随时间而变化。随时间而变化。 （1 1）TacomaTacoma大桥风毁录像大桥风毁录像（2 2）南浦大桥风洞实验录像）南浦大桥风洞实验录像 例如风荷载：例如风荷载： 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 荷载的变化周期是结构自振周

2、期荷载的变化周期是结构自振周期5 5倍以上，则可看成静荷载。倍以上，则可看成静荷载。 用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型 用于教学演示的用于教学演示的 小型振动台，小型振动台， 铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型 铝质模型的自由铝质模型的自由 振动记录振动记录 有机玻璃模型的有机玻璃模型的 自由振动记录自由振动记录 用于教学演示的用于教学演示的 小型振动台，小型振动台， 铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型 有机玻璃模型的有机玻璃模型的 自由振动记录自由振动记录 铝质模型的自由铝质模型的自由 振动记录振动记录 动力计算与静力计算的区别：动

3、力计算与静力计算的区别： 加速度：加速度： 可否忽略可否忽略 动力计算的内容：动力计算的内容： 1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型自振频率、阻尼、振型 2）荷载的变化规律及其动力反应动力反应 （自由振动） （受迫振动） 1）牛顿运动定律2）惯性力 动静法动静法 （达朗伯原理） 特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡动平衡！ 建立微分方程，, ,y y y 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 如何考虑如何考虑 13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 1 1）周期荷载）周期荷载 2 2）冲击荷载）冲击荷载 3 3）随机荷载）随机荷载 P(t ) t

4、P t 简谐荷载简谐荷载 P(t) t tr P P(t) t tr P P(t) t P P(t) t 爆炸荷载爆炸荷载1 1 爆炸荷载爆炸荷载2 2 突加荷载突加荷载 地震波地震波 一般周期荷载一般周期荷载 13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 建筑抗震设计原则建筑抗震设计原则 结构结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。” y 13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度 确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。 动力自由度：动力自由度： 这是因为：惯性力取决于质量分布质量分布及其运动方向运动方向。 m E、A

5、、I、 R 体系振动自由度为？无限自由度无限自由度 ( (忽略忽略 ) ) m 三个自由度三个自由度 忽略轴向变形 忽略转动惯量 自由度为？单自由度单自由度 m 0,0mEAR 例：简支梁：例：简支梁： m 13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度 集中质量法：集中质量法： 将分布质量集中到某些位置。 无限无限 有限有限 例例1 1： 2EI EI EI y (a)(a)单自由度单自由度 y1 y2 (b)(b)两个自由度两个自由度 例例2 2： (t) (c)(c)三个自由度三个自由度 ( )m x (d)(d)无限自由度无限自由度 ( , )y x t x 13.1.3

6、 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度 例例3 3： u(t) v(t) 例例4 4： 确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚 架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响 集中质量法几点注意：集中质量法几点注意： 1）体系动力自由度数不一定等于质量数。 一个质点一个质点 两个两个DOFDOF 两个质点两个质点 一个一个DOFDOF 两个质点两个质点 三个三个DOFDOF 2）体系动力自由度与其超静定次数无关。 3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。 m1 m2 y x xx 13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度 改变改变 水平振动时的计算体系水平振动时的计算

7、体系 3 3个自由度个自由度 4 4个自由度个自由度 m1 m2 m3 2 2个自由度个自由度 自由度与质量数自由度与质量数 不一定相等不一定相等 y1 y2 y1 y3 y2 y3 y4 y1 y2 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答 13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影

8、响 一一、自由振动自由振动 （体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力） 1.1.自由振动产生原因自由振动产生原因 体系在初始时刻体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。受到外界的干扰。 静平衡位置静平衡位置 m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y 2.2.研究单自由度体系的自由振动重要性研究单自由度体系的自由振动重要性 （1 1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 （2 2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念

9、。 自由振动反映了体系的固有动力特性自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频率和振型自振频率和振型 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 以一悬臂柱为对象：以一悬臂柱为对象： 自由振动 初始位移 初始速度 同时作用 y(t) km y m my 模型模型2 2 隔离体隔离体 理解理解 两模两模 型中型中 “k” 含义含义 my m k y 模型模型1 1 “弹簧小车弹簧小车” ky ky 建立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方

10、法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡 2）柔度法 位移协调 位移协调 1 1 k 1P 建立方程 1 1）刚度法：）刚度法： 以质量为隔离体以质量为隔离体 0 0 X myky 1 k 模型模型2 2模型模型1 1 刚度系数 k 柔度系数 概念理解概念理解 my ky y 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 建立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡 2）柔度法 位移协调 位移协调 建立方程 2 2）柔度法：）柔度法： M点位移 y ky my ky 13.2.1 13.2.1 单自由度体

11、系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 ymF i ymFy i 0 yy m 惯性力 建立方程建立方程 1 1）刚度法：）刚度法： m y ky W 0y 0kymyW std yyy ()()0 stdstd k yym yyW 0 st st kyW y 0 dd kymy 0kymy 以质量为隔离体以质量为隔离体 my 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 建立方程建立方程 2 2）柔度法：）柔度法： m ky my W std yyy () stdstdst yym yyy 0 st y 0ymy 以梁为对象建立

12、位移方程以梁为对象建立位移方程 ( )y tkykymyW ymyW st Wy dd ymy ky 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立 （1 1）刚度法）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。平衡方程，需要用到刚度系数。 方法小结方法小结 （2 2）柔度法）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。需要用到柔度系数。 刚度法刚度法 柔度法柔度法 （3 3）方法选择）方法选择 谁较简单？谁较简单？ 谁较容

13、易求得。谁较容易求得。 取决于结构的取决于结构的 柔度系数柔度系数 刚度系数刚度系数 超静定结构，查表（形常数）超静定结构，查表（形常数） 静定结构，图乘法求静定结构，图乘法求 顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！ 0myky原方程：原方程：0 k yy m 2 () k m 令： 通解为：通解为： 12 ( )sincosy tCtCt 由由初始条件：初始条件： 020 (0) yyCy 0 01 (0) v yvC 0 0 ( )cossin v y tytt解为：解为： T 0 y(t) t y0 -y0 T/4T/4T/4T/4T/4

14、T/4T/4 T/4 T 0 y(t) t 0 v 0 v 13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答 化成单项三角函数的形式化成单项三角函数的形式: : 解又可表达为：解又可表达为： 将其展开：将其展开：( )sincoscossiny tatat 0 0 ( )cossin v y tytt 相比较得：相比较得： 0 sinya 0 cos v a 2 21 00 0 2 0 tan vy ay v ( )sin()y tat 则：振幅则：振幅 T 0 y(t) t a a 0 y 自由振动总位移：自由振动总位移： 初始相位角初始相位角 1

15、3.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答 13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 ( )sin()y tat由式由式: :可知可知 时间时间经经 后，质量完成了一个振动周期。后，质量完成了一个振动周期。 2 T 用用T 表示周期，表示周期， 周期函数的条件周期函数的条件: : y(t+T )=y(t ) 1 2 f T 1)1)自振周期计算公式：自振周期计算公式： 2 m T k 2m 2 W g 2 st g 2)2)自振频率计算公式：自振频率计算公式： 1 st kgg mmW 秒内的振动次数秒内的振动

16、次数2用用 表示圆频率：表示圆频率： 用用 表示频率：每秒钟内的振动次数表示频率：每秒钟内的振动次数f 泛美大厦，泛美大厦，6060层层 钢结构，南北方向钢结构，南北方向 的基本固有周期为的基本固有周期为 2.902.90秒，秒， 大坝，大坝，400400英尺高的混凝土重力坝的英尺高的混凝土重力坝的 基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄 水为水为310310英尺和英尺和345345英尺十分别为英尺十分别为0.2880.288 秒和秒和0.3060.306秒，秒， 金门大桥，金门大桥，金门大桥桥墩跨距金门大桥桥墩跨距1280.21280.2米全桥总米全桥总 长长2

17、737.42737.4米的米的悬索桥，其横向振动的基本基本固悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为有周期为18.2018.20秒，竖向振动的基本基本固有周期秒，竖向振动的基本基本固有周期 为为10.9010.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.813.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.434.43秒秒 例例13.113.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。求图示梁结构的自振周期和自振频率。 m EI l/2l/2 1P l/4 解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法） 3 48 l EI 3 22 48 m

18、l Tm EI 思考思考 比较图示结构的自振频率 3 48EI l m l/2l/2l/2l/2l/2l/2 m mm (a)(a) (b)(b)(c)(c) (a)(b)(c)(a)(b)(c) 13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 例例13.513.5 求图示结构的频率。求图示结构的频率。 解解1 1： 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于 结构对称，可取半刚架计算。结构对称，可取半刚架计算。 3 4 2 EI mL 3 11212 () 2 2223222324 LLLLLL L EIEI L EI EI

19、EI L mm M图图 L/2L/2 P=1/2P=1/2 2 2 L/2L/2 EI EIEI 13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 P=1 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 m k y 1) 不考虑阻尼 0 y(t) t a a m k y=0 c 2) 考虑阻尼 阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过 程中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产生阻尼的原因）产生阻尼的原因 1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦 3)周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻尼力的确定

20、1)与质点速度成正比 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关 粘滞阻尼粘滞阻尼 ( )R tcy y(t) m y ky my k m c cy 有阻尼模型有阻尼模型 建立动平衡方程 0mycyky 标准化得: k m 2 c m 0 ck yyy mm 其中: 称为阻尼比 二阶常微分方程可变为： 2 20yyy 设特解为： t yCe 特征方程为： 22 20 解为： 2 (1) 111 、 （1）1 令： 2 1 r 则代数方程解： r i 讨论讨论: : 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 讨论讨论: : 111 、 小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由

21、振动 则微分方程通解为： 12 cossin t rr yeCtCt 00 0 cossin t rr r y yeytt 2 2 000 0 2 00 () sin() , t r r r vyy yeataytg vy ，也可: t y yk t yae yk+1 tk T 1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动 2)2)对自振频率的影响对自振频率的影响 2 1 r r 当0.2,则 0.96r/1 在工程结构问题中0.010.1 此时，阻尼的影响可以忽略。 讨论讨论: : 实部 初始条件初始条件 虚部 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 讨论讨论: : 阻

22、尼对自由振动的影响 1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动 讨论讨论: : 阻尼对固有振动蘋率的影响 阻尼对自由振动阻尼对自由振动 衰减速率的影响衰减速率的影响 如图右如图右 2)2)对自振频率的影响对自振频率的影响 当0.2,则 0.96r/1 在工程结构问题中0.01)引起的动力反应 微分冲量微分冲量 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 一般动荷载的动力反应一般动荷载的动力反应: : 杜哈梅积分杜哈梅积分 初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 为零为零 （1 1）突加荷载）

23、突加荷载 P(t) t Po 0 0 1 ( )sin() t y tPtd m 0 2 (1cos)(1cos) st P tyt m yst y(t) t 0 23 质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡 位置作简谐振动位置作简谐振动 yst yst 举例说明举例说明 0 00 ( ) 0 t P t Pt 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 max ( ) 2 st y t y 动力系数：动力系数： （2 2）短时荷载）短时荷载 P(t) t Po u 0 00 ( )0 0 t P tPt

24、u tu 1 1）方法一：）方法一： 0 00 11 ( )( )sin()() tu y tPtdPSintd mm 2sinsin() 22 st uu yt 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 ( )(1 cos) st y tyt 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷载： 直接采用直接采用 Duhamel 积分积分 阶段阶段 ( (t u) )： P(t) t Po u 0 00 ( )0 0 t P tPtu tu 阶段阶段 ( (t u) )：体系以：体系以 作自由振动。作自由振动。 ( ), ( )y uy u 2 2

25、）方法二：）方法二： 利用突加荷载结论，分段利用突加荷载结论，分段讨论。讨论。 ( )(1 cos) st y tyt ( )sin st y uyu ( )cos()cos st y tytut 2sinsin() 22 st uu yt 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷载： ( )(1 cos) st y uyu 3 3）方法三：）方法三： 由两个突加荷载叠加而成。由两个突加荷载叠加而成。 P(t) t P P(t) t P u ( )(1 cos) st y tyt ( )1 cos()

26、 st y tytu 1)1)当当0 u (cos()cos) st ytut 2sinsin() 22 st uu yt 1 cos() st ytu ( )(1 cos) st y tyt 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 P(t) t P u y(t) t 0 23 讨论主要针对u展开 yst T/2 1 1）当）当u T/2，最大动最大动 位移发生在阶段位移发生在阶段 max ( ) 2 st y t y 2 2）当）当0u T/2，最大动最大动 位移发生在阶段位移发生在阶段 ( )2sinsin() 22 st uu y tyt m

27、ax ( )2sin 2 st u y ty max ( ) 2sin 2 st y tu y u T 1/6 1 1/2 2 动力系数反应谱动力系数反应谱( (T T, ,) ) 1 2sin 2 1 2 2 uu TT u T 当 当 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 最大动反应的求解：最大动反应的求解： 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 计算简图: 建立平衡方程： ( )mycykyP t 简谐荷载： 2 2sin F yyyt m ( )sinP tFt 方程的解： 齐次解（ ）

28、特解（ ） r sin()yat 振幅： 22 22 22 1 (1)4 st ay y(t) k m y m 隔离体隔离体 ( )P t ( )P t my ky cy 设特解： 22 22 22 1 (1)4 st a y 动力系数： 1 2 2 2 tan (1) 相位角： 22 22 22 1 (1)4 st a y 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 =0 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 动力系数反应谱动力系数反应谱( , ) 1 1）当）当 或或 时，可时，可 以不考虑阻尼的影响以不考虑阻尼的影响 1 1 1静荷载静荷载0 位移为位移为0 0 2 2）当

29、）当 时，阻尼作用明显时，阻尼作用明显1 1 1 2 共振：共振： max 1 0.751.3 共振区共振区 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 例例13.1013.10 前提同例前提同例13.213.2，当机器运转产生，当机器运转产生P P0 0sintsint， P P0 0=20kN=20kN，转速为，转速为400r/min400r/min，求振幅及地基最大压力。，求振幅及地基最大压力。 解解: : 由由 例例13.213.2已求出已求出 1 44.27s k = 12103 kN/m W P0sint 1)1)荷载频率荷载频率: :

30、 1 22400 41.89 6060 n s 2)2)动力系数：动力系数：22 2 11 9.59 41.89 1 1 44.27 max 3 20 ( )9.560.0159 12 10 st y tym 3)3)竖向振动振幅竖向振动振幅: : 0 max 6020 9.5612.56 2020 PW pkPa AA 4)4)地基最大压力：地基最大压力： 13.3.2 13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应简谐荷载作用下结构的动力反应 41.89 0.946 44.27 在共振区在共振区 解: 由例13.2已求出 1 44.27s 1)荷载频率: 1 22400 41.89 6060

31、n s 2)动力系数： max 3 20 ( )3.315.5 12 10 st y tymm 3)竖向振动振幅: 0 max 6020 3.316.31 2020 PW pkPa AA 4)地基最大压力： 例例13.1413.14 当机器运转产生当机器运转产生P P0 0sintsint，P P0 0=20kN=20kN，转速为，转速为 400r/min,400r/min,考虑阻尼的影响考虑阻尼的影响 , ,求振幅及地基最大压力。求振幅及地基最大压力。 0.15 (15.9)mm ( 12.56)kPa 0.15 W P0sint41.89 0.946 44.27 在共振区在共振区 22 2

32、222 22 2222 11 41.8941.89 1414 0.15 44.2744.27 3.31 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 (9.59) 13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立两个自由度体系自由振动微分方程的建立 13.4 13.4 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 13.4.4 13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解两个自由度体系自由

33、振动方程的一般解 13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 （1 1）因结构特征必须简化为多自由度体系）因结构特征必须简化为多自由度体系 多层房屋、多层房屋、 不等高排架等不等高排架等 （2 2）为满足计算精度的要求）为满足计算精度的要求 烟囱、烟囱、 高耸建筑物等高耸建筑物等 基本方法基本方法 刚度法：刚度法： 柔度法：柔度法： 按结构的位移协调条件建立运动方程按结构的位移协调条件建立运动方程 按质量的力平衡条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程 （1 1）柔度法）柔度法 y1 y2 （ m1 m2 22 m y21 11 2 1P 2

34、2 12 1 2 1 2 建立方程：建立方程： 111111222 ( )( )( )y tm y tm y t 221112222 ( )( )( )y tm y tm y t 13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 柔度系数：柔度系数： 注意注意 柔度柔度 系数系数 物理物理 意义意义 1 1P 11 m y （2 2）刚度法）刚度法 质量隔离体质量隔离体 m2 m1 2 K 111 ( )0m y tK 222 ( )0m y tK 列平衡方程：列平衡方程： 1 K 2 K 1 y 1 2 2 y 如何确定？如何确定？ 13.4.1 13

35、.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 22 m y 11 m y 1 K y1 y2 （ m1 m2 2 K 1 K 弹弹 性性 力力 惯惯 性性 力力 刚度系数刚度系数: :k k 1 K 2 K 1 2 2 y 1 y k11 k21 1 1 2 k12 k22 1 1 2 得到运动方程：得到运动方程： 11111122 ( )0m y tk yk y 22211222 ( )0m y tk yk y 2211222 Kk yk y 1111122 Kk yk y 111 ( )0m y tK 222 ( )0m y tK 注意注意 物理意义物理意义 ij

36、 k 13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 111112212 211212222 ( )( )( ) ( )( )( ) y tm y tm y t y tm y tm y t 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即： （1 1）柔度法）柔度法 微分方程：微分方程： 2 11 2 22 () () yYSint yY Sint （2 2）求得：求得： 11 22 () () yYSint yY Sint （1 1） 把（把（1 1）

37、式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程： 22 1 11121221 22 121122222 ()()()0 ()()()0 mYSintmY SintYSint mYSintmY SintY Sint 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY 齐次线性方程组齐次线性方程组: : 非零解非零解 频率方程频率方程 1 11212 121222 0 mm D mm 关于关于的二次代数方程的二次代数方程 1 11222121212 ()()0mmmm得：得： 系数行列

38、式系数行列式 应等于零应等于零 1 2 2 1112221112221122122112 ()()4() 2 mmmmm m 方程两正根为方程两正根为: : 1 1 2 2 1 1 自振频率自振频率 12 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 第一频率第一频率 （基频） 第二频率第二频率 （2 2）刚度法）刚度法 11121122 22211222 ( )0 ( )0 m y tk yk y m y tk yk y 微分方程：微分方程： 设解为：设解为： 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 11 22 () () yYSint yY S

39、int （1 1） 2 11 2 22 () () yYSint yY Sint （2 2） 把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程： 2 1111 1122 2 2221 1222 ()()()0 ()()()0 mYSintk YSintk Y Sint mY Sintk YSintk Y Sint 可求得：可求得： 频率方程：频率方程： 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 齐次线性方程组：齐次线性方程组： 自振频率：自振频率： 2 2 1122112211221221 1,2 121212 4()1 2

40、 kkkkk kk k mmmmm m 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 非零解非零解 2 11112 2 21222 0 kmk D kkm 较小的较小的 第一频率（基频），第一频率（基频）， 为第二频率。为第二频率。 1 2 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 （1 1）主振型）主振型 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY (1) 1212 (1) 2 1 11 2 1 1 Ym Y m Y1(1) Y2(1) m1m2 (柔度法) 1212 2 1 11 2 1 Y

41、m Y m 222 2 121 1 m m 1 1 1）当）当第一主振型第一主振型 (1) 1 (1) 2 1 Y Y 若：若： 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 m1m2 （1 1）主振型）主振型 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY 1212 2 1 11 2 1 Ym Y m (2) 1212 (2) 2 1 11 2 2 1 Ym Y m (柔度法) 222 2 121 1 m m 2 2 2）当）当 第二主振型第二主振型 (2) 1 (2) 2 1 Y Y 若：若： Y1(2) Y2(2)

42、2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 则，用刚度系数表示的主振型为：则，用刚度系数表示的主振型为： (1) 112 (1)2 21111 (2) 112 (2)2 21121 Yk Ykm Yk Ykm 平衡方程：平衡方程： （2 2）主振型）主振型 (刚度法) 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 2 112222 2 211121 Ykkm Ykmk 两种方法是等价的两种方法是等价的 （3 3）主振型的正交性）主振型的正交性 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 m1

43、m2 11 m y 22 m y 运动方程：运动方程： 按按 振动时：振动时： 1 位移与加速度同时达到最大，因此位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作可以看作 是最大惯性力产生的静位移。是最大惯性力产生的静位移。 (1)(1) 12 YY 11 22 () () yYSint yY Sint (1) 111 (1) 221 () () yYSint yYSint 2(1) 1111 2(1) 2121 () () yYSint yYSint 作自由振动时，体系上承受的是惯性力。作自由振动时，体系上承受的是惯性力。准备准备1 1： 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主

44、振型的正交性 1 P 111222 1112 22 PP TP 准备准备2 2： 功的互等定理。功的互等定理。 1 12 2 2 P 11 12 22 1 P 1 12 2 2 P 21 12 22 在梁上先作用在梁上先作用P P1 1, ,再作用再作用P P2 2, , 整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的功为： 在梁上先作用在梁上先作用P P2 2, ,再作用再作用P P1 1, , 整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的功为： 222111 2221 22 PP TP 12 TT 1 1号力在号力在2 2号力引起的位移上做的功号力引起的位移上做的功 112221 PP功的互等定

45、理功的互等定理 2 2号力在号力在1 1号力引起的位移上做的功号力引起的位移上做的功 （3 3）主振型的正交性）主振型的正交性 用功的互等定理来证明。用功的互等定理来证明。 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 功的互等定理功的互等定理 2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1) 11 11122221 112222 ()()()()mYYm YYmYYm YY 整理得：整理得： 22(1)(2)(1)(2) 121 11222 ()()0mYYm YY 12 第一正交关系第一正交关系 虚功虚功1 1 虚功虚功2 2 (1)(2)(1)(2) 111222 0mYYm YY

46、Y1(1) Y2(1) m1m2 2(1) 122 m Y 2(1) 11 1 mY m1m2 2(2) 21 1 mY 2(2) 222 m Y 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 Y1(2) Y2(2) 如何解释正交性？如何解释正交性？ 利用第一正交关系利用第一正交关系 1) 1) 同乘同乘 2 1 2(1)(2)2(1)(2) 11112122 ()()0mYYmYY 虚功虚功1 10 0 2) 2) 同乘同乘 2 2 2(2)(1)2(2)(1) 12112222 ()()0mYYmYY 虚功虚功2 20 0 这表明体系在振动过程中，各主振型的能量

47、不会转移这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移 到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此， 各主振型能单独存在而不相互干扰。各主振型能单独存在而不相互干扰。 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 (1)(2)(1)(2) 111222 0mYYm YY 1 2 2 1112221112221122122112 ()()4() 2 mmmmm m 11112 mm 21112 mm 例例13.1513.15 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主求简支梁的自振频率和主振型，并验证主 振型的正交性。

48、振型的正交性。 l/3l/3l/3 P=1 P=1 2 9 l 2 9 l 解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数 3 1122 4 243 l EI 3 1221 7 486 l EI 2 2）代入方程求两个根）代入方程求两个根 3 3）自振频率）自振频率 1 3 1 1 5.69 EI ml 2 3 2 1 22 EI ml 1 2 mm EI 1M 2M 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 l/3l/3l/3 mm 4 4）主振型）主振型 (1) 1122 (1) 11112 1 1 Ym mY (2) 1122 (2) 11122 1 1 Ym m

49、Y 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 5 5）验证主振型的正交性）验证主振型的正交性 (1)( 2 )(1)( 2 ) 111222 0m YYm YY ? (1)(2)(1)(2) 111222 1(1)1( 1)0 m YYm YYmm即： 故满足正交性条件故满足正交性条件 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 利用对称性另解：利用对称性另解： 若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是 对称就是反对称。故可取半边结构计算。对称就是反对称。故可取半边结构计算。 l/3l/3l/3 12 mmEI l

50、/3 1 l/9 1 解：解： 1 1）简化）简化 2 2）图乘）图乘 3 11 5 162 l EI 1 3 11 1 5.69 EI mml 3 22 486 l EI 2 3 22 1 22 EI mml 3 3）自振频率）自振频率 对称对称 反对称反对称 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 13.5 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动简谐荷载作用

51、下的无阻尼受迫振动 柔度法柔度法 （1 1）建立振动微分方程）建立振动微分方程 22 m y 11 m y P y1y2 1 m 2 m tP sin tP sin 1 P 2 P 位移方程位移方程 11 11122121 ()()sin P ymym yt 21 12122222 ()()sin P ymym yt 1 1 1122 1211 1 1 2122 2222 sin sin P P mym yyt mym yyt （2 2）动位移的解答及讨论）动位移的解答及讨论 齐次解（齐次解（ ）特解（）特解（ ） r 设特解：设特解： 11 22 ( )sin ( )sin y tYt y

52、tYt 22 111121221 22 121122222 (1)0 (1)0 P P mYmY mYmY 方程的解：方程的解： 22 111212 0 22 121222 (1) (1) mm D mm 其中：其中： 2 1212 1 2 2222 (1) P P m D m 2 1111 2 2 1212 (1) P P m D m 讨讨 论论 01122 D1 D, D PP ， 0 1)1)当当时时静荷载作用静荷载作用 2)2)当当时时 422 012 D,D,D 12 0, 0YY 1121 , PP YY 来不及反应来不及反应 12 或3)3)当当时时 22 111212 0 22

53、 121222 (1) (1) mm D mm 0 D0且且 不全为零时不全为零时 12 DD， 12 , YY共振共振 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 12 12 00 DD YY DD 振幅：振幅： （3 3）动内力幅值的计算）动内力幅值的计算 由由Y1 、Y2值可求得位移和惯性力值可求得位移和惯性力 位移：位移： 惯性力：惯性力： 11 22 sin sin yYt yYt 2 111 2 222 sin sin mymYt mymYt 外荷载：外荷载：sinPt 惯性力幅值惯性力幅值 2 111 2 222 ImY ImY P I1I2 12 max1 122 ( ) P M

54、 tM IM IM叠加公式叠加公式 动内力有正负号，叠加要注意！动内力有正负号，叠加要注意！ 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 位移、惯性力和荷载同时达位移、惯性力和荷载同时达 到幅值，动内力也同时达到到幅值，动内力也同时达到 最大。求内力时可将动荷载最大。求内力时可将动荷载 和惯性力的幅值作为静荷载和惯性力的幅值作为静荷载 作用于结构，按静力法求解作用于结构，按静力法求解 例例13.1713.17 求图示结构质点求图示结构质点1 1和和2 2点的动位移幅值和动弯点的动位移幅值和动弯 矩幅值图。已知：矩幅值图。已知： 121 ,0.75mmm EIC l/4l/2l/4 1 2 m1m

55、2 EI tP sin I1=1 1M I2=1 2M 解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数 3 1122 3 256 l EI 3 1221 7 768 l EI 2 2）求频率）求频率 1 3 6.93 EI ml 自振频率自振频率 荷载频率荷载频率 3 5.198 EI ml 3 1 3 256 P Pl EI 3 2 7 768 P Pl EI P PM 3 16 Pl 3 16 l 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 3 3）计算）计算 012 DDD、 2 1212 1 2 2222 (1) P P m D m 2 1111 2 2 1212 (1) P P m D m 2

56、2 111212 0 22 121222 (1) (1) mm D mm 0.4065 3 0.01025 Pl EI 3 0.00911 Pl EI 4 4）位移、惯性力幅值）位移、惯性力幅值 3 1 1 0 0.0252 DPl Y DEI 3 2 2 0 0.0224 DPl Y DEI 2 111 0.6808ImYP 2 222 0.6051ImYP 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 5 5）求质点）求质点1 1、2 2处弯矩幅值处弯矩幅值 max1 122 ( ) P M tM IM IM 1max 2max ( )0.3530 ( )0.2185 M tPl MtPl P 0.6808P 12 0.6051P 12 0.3530Pl 0.2185Pl M 6 6）质点）质点1 1 1 y 1 M 1 1 1 2.150 y P Y 1 1max 1 ( ) 1.883 M st M t M 11 yM 在两自由度体系中在两自由度体系中