等差数列求和公式

1、等差数列求和公式 2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公等差数列的求和公 式式 ( (第一课时第一课时) ) 等差数列求和公式 1.1.数列前数列前n n项和的定义项和的定义 一般地，称一般地，称_为数列为数列an的前的前n项和，项和， 用用Sn表示，即表示，即Sn _. S Sn n与通项与通项a an n之间的关系：之间的关系： a1a2a3 ana1a2a3 an 新课讲解 等差数列求和公式 2. 2. 等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 求和公式变形：求和公式变形： 2 ) 1 ( 1n n aa anaS 中中 ， Ad BAa BnAnS n 2 )2( 12 等差数

2、列求和公式 等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征项和公式的函数特征 (2)当当A0，B0时，时，Sn0是关于是关于n的常数函数的常数函数(此时此时a10， d0)； 当当A0，B0时，时，SnBn是关于是关于n的正比例函数的正比例函数(此时此时a10， d0)； 当当A0，B0时，时，SnAn2Bn是关于是关于n的二次函数的二次函数(此时此时d0) 等差数列求和公式 题型一与等差数列前题型一与等差数列前n n项和有关的基本量的计算项和有关的基本量的计算 (2)a14，S8172，求，求a8和和d. (3)已知已知d2，an11，Sn35，求，求a1和和n. 【例例1】 在等差数列在等差

3、数列an中中 例题讲解 等差数列求和公式 1. 在等差数列在等差数列an中；中； (1)已知已知a610，S55，求，求a8和和S10； (2)已知已知a3a1540，求，求S17. 跟踪练习 等差数列求和公式 题型二利用题型二利用S Sn n与与a an n的关系求的关系求a an n 解解(1)当当n1时，时，a1S1325. 当当n2时，时，Sn 1 32n 1， ， 又又Sn32n， anSnSn 1 2n2n 1 2n 1. 等差数列求和公式 化简得化简得(an 1 an)(an 1 an2)0， 因为因为an0，an 1 an2， 又又4S14a1(a11)2得得a11， 故故an

4、是以是以1为首项，为首项，2为公差的等差数列，所以为公差的等差数列，所以an2n1. 等差数列求和公式 (2)已知一个数列的前已知一个数列的前n项和为项和为Snn2n1，求它，求它 的通项公式，问它是等差数列吗？的通项公式，问它是等差数列吗？ 解解(1)a1S15， 当当n2时，时，anSnSn 1 (2n23n)2(n1)23(n1) 4n1， 当当n1时也适合，时也适合，an4n1. 1. (1)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n23n，求，求an. 跟踪练习 等差数列求和公式 题型三求数列题型三求数列|an|的前的前n项和项和 【例例3】 等差数列求和公式 3n104. n1

5、也适合上式，也适合上式， 数列通项公式为数列通项公式为an3n104(nN*) 由由an3n1040，得，得n34.7. 即当即当n34时，时，an0；当；当n35时，时，an0，此时，此时TnSnn210n； 当当n5时，时，an0，此时，此时Tn2S5Snn210n50. 跟踪练习 等差数列求和公式 方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略 关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定 义等形式出现义等形式出现 【示例示例】 下表给出一个下表给出一个“等差数阵等差数阵”： 47()()()a1j 712()

6、()()a2j ()()()()()a3j ()()()()()a4j ai1ai2ai3ai4ai5aij 等差数列求和公式 其中每行、每列都是等差数列，其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第表示位于第i行第行第j列的列的 数数 (1)写出写出a45的值；的值； (2)写出写出aij的计算公式的计算公式 解解(1)通过观察通过观察“等差数阵等差数阵”发现：第一行的首项为发现：第一行的首项为4，公，公 差为差为3；第二行首项为；第二行首项为7，公差为，公差为5.归纳总结出：第一列归纳总结出：第一列(每每 行的首项行的首项)是以是以4为首项，为首项，3为公差的等差数列，即为公差的等差数列，

7、即3i1， 各行的公差是以各行的公差是以3为首项，为首项，2为公差的等差数列，即为公差的等差数列，即2i1. 所以所以a45在第在第4行，首项应为行，首项应为13，公差为，公差为9，进而得出，进而得出a45 49. 等差数列求和公式 (2)该该“等差数阵等差数阵”的第一行是首项为的第一行是首项为4，公差为，公差为3的等差数列：的等差数列： a1j43(j1)； 第二行是首项为第二行是首项为7，公差为，公差为5的等差数列：的等差数列： a2j75(j1)； 第第i行是首项为行是首项为43(i1)，公差为，公差为2i1的等差数列，因此，的等差数列，因此， aij43(i1)(2i1)(j1)2ij

8、iji(2j1)j. 等差数列求和公式 2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公等差数列的求和公 式式 ( (第二课时第二课时) ) 等差数列求和公式 1. 1. 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质 (1)Sm，S2m，S3m分别为分别为an的前的前m项，前项，前2m项，前项，前3m项的和，项的和， 则则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为也成等差数列，公差为_. (2) m2d 新课讲解 等差数列求和公式 (3)若若S奇 奇表示奇数项的和， 表示奇数项的和，S偶 偶表示偶数项的和，公差为 表示偶数项的和，公差为d， 若若 ，则，则S偶 偶 S奇 奇 = 若若 ， 则

9、则 kn2kd 12 kn 中偶 中奇 kaS akS) 1( k k S S1 偶 奇 等差数列求和公式 思考：如果数列的前思考：如果数列的前n项和公式项和公式SnAn2Bn，其，其 中中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数为常数，那么这个数列是否一定为等差数 列？列？ 提示提示：由由S Sn na a1 1a a2 2a a3 3a an n 1 1 a an n 得得S Sn n 1 1 a a1 1a a2 2a a3 3a an n 1 1(n2) (n2) 由得由得a an nS Sn nS Sn n 1 1(n2) (n2)，S S1 1a a1 1， 又又S Sn nAn

10、An2 2BnBn， 当当n2n2时，时，a an nS Sn nS Sn n 1 1 2An2AnA AB.B. 当当n n1 1时，时，a a1 1S S1 1A AB B符合上式，符合上式， a an n2An2AnA AB(nNB(nN* *) ) 数列数列 a an n 是等差数列，首项为是等差数列，首项为A AB B，公差为，公差为2 2A A. . 等差数列求和公式 2. 2. 等差数列前等差数列前n n项和的最值项和的最值 (1)在等差数列在等差数列an中中 最大最大 最小最小 最小最小最大最大 等差数列求和公式 题型一等差数列前题型一等差数列前n项和性质的应用项和性质的应用

11、(2)一个等差数列的前一个等差数列的前10项之和为项之和为100，前，前100项之和为项之和为10， 求前求前110项之和项之和 (3)两个等差数列两个等差数列an,bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn,Tn, 1）若）若 , 求求 ；2）若）若 ，求，求 【例例1】 (1)设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn，已知前，已知前6项和项和 36，Sn324，最后，最后6项的和为项的和为180(n6)，求数列的项，求数列的项 数数n. 例题讲解 32 25 n n b a n n 7 7 T S 32 25 n n T S n n 7 7 b a 等差数列求和公式 规律：等差数列中，规

12、律：等差数列中，Sm=n,Sn=m，则，则Sm+n= (m+n) 等差数列求和公式 1. 1. 等差数列中，等差数列中， (1)a(1)am m=n=n， a an n=m=m，求证：，求证：a am+n m+n= 0 = 0 (2)S(2)Sm m=S=Sn n，求证：，求证：S Sm+n m+n= 0 = 0 (3)S(3)Sm m=n,S=n,Sn n=m=m，求证：，求证：S Sm+n m+n= = (m+n)(m+n) 跟踪练习 等差数列求和公式 3. 3. 等差数列中，等差数列中，S S30 30=90 =90，a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+ +a+a30 30=36

13、=36 (1)(1)求求d (2)d (2)求求a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+ +a+a28 28 2. 2. 等差数列中，等差数列中，S S3 3=45=45，S Sn n=360, S=360, Sn-3 n-3=225, =225,求求n n 等差数列求和公式 【例例2】一个等差数列的前一个等差数列的前12项和为项和为354，前，前12项中项中 偶数项和与奇数项和之比为偶数项和与奇数项和之比为32 27，求公差，求公差d. 解解法一法一设此数列首项为设此数列首项为a1，公差为，公差为d， S偶 偶 S奇 奇 6d，d5. 等差数列求和公式 跟踪练习 1.1.一个等差数列有奇数

14、项，奇数项和为一个等差数列有奇数项，奇数项和为132132， 偶数项和为偶数项和为120120，求项数。，求项数。 等差数列求和公式 题型二等差数列前题型二等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题 等差数列求和公式 1. 已知等差数列已知等差数列an中，中，a19，a4a70. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)当当n为何值时，数列为何值时，数列an的前的前n项和取得最大值项和取得最大值 解解(1)由由a19，a4a70， 得得a13da16d0， 解得解得d2， ana1(n1)d112n. (2)法一法一a19，d2， 跟踪练习 等差数列求和公式 n210n (n5)2

15、25 当当n5时，时，Sn取得最大值取得最大值 法二法二由由(1)知知a19，d20，n6时，时，an0. S5最大最大 等差数列求和公式 2.2.等差数列中，等差数列中， (1) (1) 求求S Sn n最大值；最大值； 求求S Sn n最大值；最大值； (3) (3) 求求T Tn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n| | ,20 1 a , 4d , 3d , 4d 等差数列求和公式 已知等差数列已知等差数列an满足：满足：a37，a5a726，an的的 前前n项和为项和为Sn. (1)求求an及及Sn. 解解(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为

16、d， 因为因为a37，a5a726，所以有，所以有 题型三题型三裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和 【例例3】 等差数列求和公式 1.已知数列已知数列an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn， a36，S312. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 跟踪练习 等差数列求和公式 (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 题型四等差数列的综合应用题型四等差数列的综合应用 等差数列求和公式 1.1. 已知数列已知数列 an的前的前 n 项和为项和为 Sn(Sn0)，且满足，且满足 an2SnSn10(n2)，a1 1 2. (1)求证：求证： 1 Sn 是等差数列；是等差数列； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 跟踪练习 等差数列求和公式