暑期班第讲.幂函数与二次函数.学生版

1、第6讲幂函数与二次函数高考要求幂函数和根及函数的应用要求层次重点难点幂函数B幂函数，的图象及其性质函数单调性的证明和判断简单函数单调区间的求法知识精讲板块一：幂函数的概念(一)知识内容1、幂的有关概念正整数指数幂：零指数幂：负整数指数幂：分数指数幂：正分数指数幂的意义是：负分数指数幂的意义是： (1)幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况).(2)幂函数的图象幂函数当时的图象见左图； 当时的图象见右图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：(3)幂函数的性质有下列性质：(1)时：图象都通过点，；在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在

2、上是增函数.(2)时：图象都通过点；在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近.(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x0或者x0的时候.(4)幂函数的奇偶性函数的定义域为,定义域关于原点对称,且所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数.【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性.(二)典例分析【例1】

3、函数是幂函数，求的值.【例2】 求函数的定义域.【例3】 已知，求的取值范围.【例4】 已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数求函数的解析式；讨论的奇偶性【例5】 （山东省莱阳一中08-09学年高一上学期学段检测数学必修1）已知幂函数满足求实数的值，并写出相应的函数的解析式；对于中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间上的最大值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由板块二：二次函数与方程四、二次函数根的判定1.二次函数根的判定二次函数的根个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的根两个不相等的实根两个根两个相等的实根一个二重根无实根无根2.二次函数根的性质 二次函数的图象是连续的

4、，当它通过根时(不是二次根)，函数值变号. 相邻两个根之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.3.二次函数的根的应用 利用二次函数的根研究函数的性质，作出函数的简图. 根据函数的根判断相邻两个根间函数值的符号，观察函数的一些性质. (二)典例分析： 【例6】 已知mR，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有根，求实数a的取值范围，是奇函数？2.二次方程根的分布【例7】 方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数a的取值范围3. 一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方

5、程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.【例8】 若方程的根都为正数，求m的取值范围.【例9】 若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围.4. 一元二次方程根的非零分布k分布设一元二次方程()的两实根为，且.为常数.则一元二次方程根的分布(即，相对于的位置)有以下若干定理.【定理1】如图所示：【定理2】.如图所示：【定理3】.如图所示：推论1 .推论2 .【定理4】有且仅有(或)如图所示：【定理5】或【定理6】或如图所示：【例10】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)

6、内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.【例11】 若关于x的方程有唯一的实根，求实数a的取值范围.【例12】 函数的值域是 A.y0B.yRC.y0且y1D.y2【例13】 已知，求实数的值.【例14】 若函数在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求区间a，b.【例15】 已知二次函数(1)若abc,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;(2)在(1)的条件下,是否存在mR,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.(3)若对，且，方程有2个不等实根，证明必有一个根属于

7、。【例16】 设a为实常数，解关于x的方程.【例17】 如果函数在区间上的最大值是，求的值【例18】 求函数的单调区间【例19】 对于，函数的“定义域为”和“值域为”是否是一回事；结合“实数取何值时，在上有意义”与“实数取何值时，函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.结合两问，说明实数的取何值时的值域为.【变式】 实数取何值时，在内是增函数.是否存在实数，使得的单调递增区间是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.家庭作业习题1. （2009年宁夏卷）用表示，三个数中的最小值，设 ，则的最大值为（ ） A4B5C6D7习题2. 已知，当其值域为时，的取值范围是_习题3. 已知关于x的方程的两个实根和，满足，求实数的取值范围.习题4. 解方程：习题5. 已知函数，若此函数的定义域为，求实数的取值范围；若此函数的值域为，求实数的取值范围.月测备