学案7随机变量的均值与方差、正态分布

1、 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 离散型随离散型随 机变量的机变量的 均值与方均值与方 差、正态差、正态 分布分布 1.1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念，会求简单离散型随机变量的均方差的概念，会求简单离散型随机变量的均 值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、 方差概念解决一些简单问题方差概念解决一些简单问题. . 2.2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点借助直观直方图认识正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义及曲线所表示的意义. . 学案学案7随机

2、变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及 排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背 景命题是近几年高考的一个热点景命题是近几年高考的一个热点. 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 1.离散型随机变量的均值 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为：的分布列为： Xx1x2xixn Pp1p2pi pn 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态

3、分布 则称则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量为随机变量X 的均值或数学期望的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量它反映了离散型随机变量 . （1）E（aX+b）= . （2）若）若X服从两点分布，则服从两点分布，则EX= . （3）若）若XB（n,p），则），则EX= . 2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为：的分布列为： Xx1x2xixn Pp1p2pi pn 取值的取值的 平均水平平均水平 aEX+b P np 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 则（则（xi-EX）2描述了描述了xi(i=

4、1,2,n)相对于均值相对于均值 EX的偏离程度的偏离程度.而而DX= 为这些偏离程为这些偏离程 度的加权平均，刻画了随机变量度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值与其均值EX的平的平 均偏离程度均偏离程度.我们称我们称DX为随机变量为随机变量X的方差，其算术的方差，其算术 平方根平方根 为随机变量为随机变量X的标准差，记作的标准差，记作X. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变随机变量的方差和标准差都反映了随机变 量量 .方差或标准差越方差或标准差越 小，则随机变量偏离于均值的平均程度小，则随机变量偏离于均值的平均程度 . （1）D（aX+b）= . （2）若）若X服从两点分布，则服从两点分

5、布，则DX= . （3）若）若XB(n,p)，则，则DX= . i i 2 2 i i 1 1 p pE EX X) )- -( (x x= = n n i i D DX X 取值偏离于均值的平均程度取值偏离于均值的平均程度 越小越小 a2DX p(1-p) np(1-p) 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 3.正态分布 函数函数,(x)= x(-,+)，其中实，其中实 数数和和（0）为参数）为参数.我们称我们称,(x)的图象为正态分的图象为正态分 布密度曲线，简称正态曲线布密度曲线，简称正态曲线. 一般地一般地,如果对于任何实数如果对于任何实数ab，随

6、机变量，随机变量X满足满足 P（aq)，且不同课程是否取得优秀成绩，且不同课程是否取得优秀成绩 相互独立相互独立.记记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列 为为 5 4 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 （1）求该生至少有）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；门课程取得优秀成绩的概率； （2）求）求p,q的值；的值； （3）求数学期望）求数学期望E(). 0123 Pab 125 6 125 24 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 【分析分析】第第(1)问考查对立事件问考查对

7、立事件,第第(2)问可通过列方程组求问可通过列方程组求 出出,第第(3)问由公式问由公式E()=x1P1+x2P2+xnPn求出期望求出期望. 【解析解析】事件事件Ai表示表示“该生第该生第i门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩”， i=1,2,3. 由题意知由题意知P(A1)= ,P(A2)=p,P(A3)=q. (1)由于事件由于事件“该生至少有该生至少有1门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩”与事件与事件 “=0”是对立的，所以该生至少有是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩 的概率是的概率是1-P(=0)=1- = . (2)由题意知由题意知 P(=0)=P(A

8、1A2A3)= (1-p)(1-q)= , 5 4 125 24 125 119 5 1 125 6 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 P(=3)=P(A1A2A3)= pq= . 整理得整理得pq= ,p+q=1. 由由pq，可得，可得p= ,q= . (3)由题意知由题意知a=P(=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P （A1A2A3） = （1-p)(1-q)+ p(1-q)+ (1-p)q = , b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)= . 所以所以 E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=

9、. 5 4 125 24 25 6 5 3 5 2 5 4 5 1 5 1 125 37 125 58 5 9 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 求期望的关键是写出分布列求期望的关键是写出分布列. 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的 随机变量随机变量与与，且，且，的分布列为：的分布列为： 计算计算,的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 10109 98 87 76 65 50

10、 0 P P0.5 0.2 0.1 0.1 0.0 5 0.0 5 0 10109 98 87 76 65 50 0 P P0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 依题意，有依题意，有E=100.5+90.2+80.1 +70.1+60.05+50.05+00=8.85（环）（环）. E=100.1+90.1+80.1+70.1+60.2+50.2 +00.2=5.6（环）（环）. D=(10-8.85)20.5+(9-8.85)20.2+(8- 8.85)20.1+(5-8.85)20.05+(0-8.

11、85)20=2.227 5, D=(10-5.6)20.1+(9-5.6)20.1+(8- 5.6)20.1+(5-5.6)20.2+(0-5.6)20.2=10.24, 利用利用,的分布列，用期望、方差公式计算的分布列，用期望、方差公式计算 出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析. 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 所以所以EE，说明甲的平均水平比乙高，又因为，说明甲的平均水平比乙高，又因为 DD，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙 射中的环数分散较大

12、，技术波动较大，不稳定，所以甲射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲 比乙的技术好比乙的技术好. 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间： 小时小时)为随机变量为随机变量X,已知已知XN(1 000,302），要使灯管的），要使灯管的 平均寿命为平均寿命为1 000小时的概率为小时的概率为99.7%，问灯管的最低，问灯管的最低 寿命应控制在多少小时以上寿命应控制在多少小时以上? 因为因为XN（1 000,302），即），即X服从正态分服从正态分 布，设灯管

13、最低寿命为布，设灯管最低寿命为1 000-a(a0),由于灯管平均寿由于灯管平均寿 命为命为1 000，依题意，则应，依题意，则应P(1 000-aX1 000+a)=99.7%，求得，求得a，即可得出最低寿命，即可得出最低寿命1 000- a(小时小时). 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 因为灯管的使用寿命因为灯管的使用寿命XN（1 000， 302），为了查表方便，先化为标准正态分布），为了查表方便，先化为标准正态分布N(0,1);令令 Y= ,即即X=1 000+30Y,故故YN(0,1). 设灯管总体寿命最低为设灯管总体寿命最低为1 000-a

14、,则依题意则依题意: P(1 000-aX1 000+a)=0.997. 又又X=1 000+30Y, 所以所以P(1 000-aX1 000+a)=P(- Y ) =P(Y )-1-P(Y ) =2P(Y )-1, 3030 000000 1 1- -X X 3030 a a 3030 a a 3030 a a 3030 a a 3030 a a 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 所以所以2P(Y )-1=0.997, 所以所以P(Y )=0.998 5, 即即( ) =0.998 5，由查表知，由查表知(2.97)=0.998 5, 所以所以 =2.

15、97,所以所以a90，所以，所以X在在(910,1 090) 内取值的概率为内取值的概率为0.997.所以，灯管的总体最低寿命应控所以，灯管的总体最低寿命应控 制在制在910小时以上小时以上. 3030 a a 3030 a a 3030 a a 3030 a a 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 记住正态分布的记住正态分布的3原则是解题关键原则是解题关键. 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N（2，2）,且且P（ 4)=0.8,则则P（02）= （ ） A.0.6

16、B.0.4 C.0.3 D.0.2 【答案答案】C 【解析解析】因为因为=2，所以，所以P（4）=1-P（4)=0.8,可可 知知P（4）=P（0)=0.2,所以所以P（02）= P（0 4)= （1-20.2)=0.3. 故应选故应选C. 2 1 2 1 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 1.1.20112011年高考天津卷学校游园活动有这样一个游戏年高考天津卷学校游园活动有这样一个游戏 项目：甲箱子里装有项目：甲箱子里装有3 3个白球、个白球、2 2个黑球，乙箱子里装有个黑球，乙箱子里装有1 1 个白球、个白球、2 2个黑球，这些球除颜色外完全相同，

17、每次游戏个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏 从这两个箱子里各随机摸出从这两个箱子里各随机摸出2 2个球，若摸出的白球不少于个球，若摸出的白球不少于2 2 个，则获奖个，则获奖. .（每次游戏结束后将球放回原箱）（每次游戏结束后将球放回原箱） （1 1）求在）求在1 1次游戏中，次游戏中， 摸出摸出3 3个白球的概率；个白球的概率； 获奖的概率；获奖的概率； （2 2）求在）求在2 2次游戏中获奖次数次游戏中获奖次数X X的分布列及数学期望的分布列及数学期望 E(X).E(X). 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 学案学案7随机变量的均值与方差、正随机变量的均值与方差、正 态分布态分布 1.1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的最离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的最 简明