大学数学-极限

1、大学数学-极限 极限概念是微积分的基本概极限概念是微积分的基本概 念。极限是一种非初等运算念。极限是一种非初等运算, ,也也 是微积分学研究的基本工具是微积分学研究的基本工具 . . 后面将要介绍的函数的连续性、后面将要介绍的函数的连续性、 导数、积分等重要概念，都是导数、积分等重要概念，都是 以极限为基础的。以极限为基础的。 极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。 大学数学-极限 极限是以发展的眼光分析事物极限是以发展的眼光分析事物 (变量变量)的变化规律的变化规律,通过极限我们通过极限我们 可以深入到函数的局部去了解函可以深入到函数的局部去了解函 数数

2、,并且体会如何在运动的过程并且体会如何在运动的过程 中把握变化的事物中把握变化的事物,从而深化对从而深化对 客观世界的认识。客观世界的认识。 1.3.1 数列的极限数列的极限(limit of sequence) 数列的定义：数列的定义： 大学数学-极限 按照一定规律有次序排列的无按照一定规律有次序排列的无 穷多个数称为数列。穷多个数称为数列。 记作记作. n x n x称为通项称为通项( (一般项一般项) .) . , 4321n xxxxx , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n ,) 1( ,1,1,1 1 n 大学数学-极限 数列的极限数列的极限 数列极限的定义，请同学

3、们回忆一下。数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想：中国古代的极限思想： “一尺之椎，日取其半，万世不竭。一尺之椎，日取其半，万世不竭。” , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 432n 考察当考察当n+时，通项时，通项xn的变化趋势。的变化趋势。 数列极限的实质：数列极限的实质：)(0n 大学数学-极限 例例 如如, , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n)(0n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n )(1n ,2,8,4,2 n )(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 趋势不定趋势不定 大学数学-极

4、限 Axn n lim 数列数列 n x 数列当项数数列当项数n无限变大时无限变大时),(n 的极限定义：的极限定义： 数列的各项数列的各项数值向一个常数数值向一个常数A无限靠近，无限靠近， 则称常数则称常数A为该数列的极限。为该数列的极限。 记作记作 或或 )(nAxn 大学数学-极限 如果一个数列的极限存在如果一个数列的极限存在, ,则称该则称该 数列是收敛数列是收敛(converge)(converge)； 如果一个数列的极限不存在如果一个数列的极限不存在, ,则称该则称该 数列是发散数列是发散(diverge)(diverge)。 大学数学-极限 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ,

5、 2 1 , 2 1 432n 常数常数 0 称为此数列的极限称为此数列的极限 )(0n 0 2 1 lim n n 记作：记作： 大学数学-极限 , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 n n xn 1 )(0n 0 1 lim n n 大学数学-极限 例如例如, , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 n n xn 1 )(0n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n 收收 敛敛 大学数学-极限 ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趋势不定趋

6、势不定 发发 散散 大学数学-极限 n n 2lim ,2,8,4,2 n )(n 记作：记作： 大学数学-极限 例例1.1. 已知已知 , ) 1( ) 1( 2 n x n n 证明证明 .0lim n n x 证证: : 0 n x 0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n 大学数学-极限 n 时，时， 0 ) 1( 1 2 n 可以无限变小可以无限变小 故故 0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n 0 n x 大学数学-极限 0 1 lim n n 0 1 lim 2 n n 0lim 1 n n q1q 2 limn n 不存在 1 ) 1(

7、lim n n 0) 3 2 (lim n n 大学数学-极限 函数函数)(xf 随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化,研究研究 函数的极限函数的极限,就是研究当自变量就是研究当自变量 按照某种按照某种方式变化时所对应的方式变化时所对应的 1.3.21.3.2函数的极限函数的极限 (limit of function) 函数值的变化趋势。函数值的变化趋势。 大学数学-极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限 , )(xfy 对 0 )1(xx 0 )2(xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自变量变化过程的六种自变量变化过程的六种 形式形式:

8、 一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容本节内容 : : 大学数学-极限 x 时时,函数函数f(x)的极限的极限 大学数学-极限 x y 1 , 5, 4, 3, 2x 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 y 大学数学-极限 x y 1 ,3,3,3, 3 432 x 0, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 432 y 大学数学-极限 x y 1 ,10,10,10,10 432 x 0, 10 1 , 10 1 , 10 1 , 10 1 432 y 大学数学-极限 定义：设函数定义：设函数y=f(x)在在 x大于某个正数大于某个正

9、数 a时有定义时有定义,A是某确定常数是某确定常数,如果当自如果当自 变量变量x 趋于趋于 时，时，f(x)与与A的距离的距离 任意小任意小,则称函数则称函数f(x)在在 时时 以以A为极限，为极限， )()()(lim xAxfAxf x 或 x时时,函数函数f(x)的极限的极限 x .,时的极限类似可定义xx 记为记为 大学数学-极限 指数函数指数函数 )1, 0( aaay x x ay x ay ) 1( a )1 , 0( x ey )10( a 大学数学-极限 如如 x exfy)( 0lim x x e x x elim 大学数学-极限 例如例如. 0 1 lim x x 0 1

10、 lim x x . 0 1 lim x x ox y x y 1 . 1 0的水平渐近线为 x yy 同理同理: : 大学数学-极限 正弦函数正弦函数 xysin xysin 不存在x x sinlim 大学数学-极限 xycos xycos 余弦函数余弦函数 不存在x x coslim 大学数学-极限 对数函数对数函数 )1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a log )1( a )0 , 1( )10( a 大学数学-极限 x x lnlim 大学数学-极限 xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数 大学数学-极限 2 arctanlim x

11、 x 2 arctanlim x x 大学数学-极限 0 xx 时时,函数函数f(x)的极限的极限 大学数学-极限 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 大学数学-极限 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 大学数学-极限 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0 6 1 , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 大学数学-极限 2 xy 0, 3 1 , 3 1

12、, 3 1 , 3 1 432 x 0, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 8642 y 大学数学-极限 1 ) 1(2 2 x x y 998. 3 ,98. 3, 6 . 3, 2 . 3, 2y 999. 0 , ,99. 0, 9 . 0, 8 . 0, 5 . 0 x 1 4 大学数学-极限 1 ) 1(2 2 x x y 002. 4 ,02. 4, 2 . 4, 4 . 4, 5y ,001. 1 ,01. 1, 1 . 1, 2 . 1, 5 . 1x 1 4 大学数学-极限 定义：设函数定义：设函数y=f(x)在点在点x0的某空心邻的某空心邻 域内有定义，域内有定义

13、，A是某确定常数，如果是某确定常数，如果 当自变量当自变量x趋近于趋近于x0时，时，f(x)与与A的距的距 离任意小离任意小,则称函数则称函数f(x)在在x趋于趋于x0时时 以以A为极限，为极限， 0 xx时时,函数函数f(x)的极限的极限 )()()(lim 0 0 xxAxfAxf xx 或 记为记为 大学数学-极限 1 , 1 )( x xxf x 1 y o1 0)(lim 0 xf x 1 1 )( 2 x x xfy xo y 1 2)(lim 1 xf x 2 大学数学-极限 正弦函数正弦函数 xysin xysin 1sinlim 2 x x 0sinlim 0 x x 大学数

14、学-极限 xycos xycos 余弦函数余弦函数 1coslim 0 x x 0coslim 2 x x 大学数学-极限 0 coscoslim 0 xx xx 0 sinsinlim 0 xx xx 0 0 limxx xx 可以证明：以下的极限均成立可以证明：以下的极限均成立 CC xx 0 lim .lim 0 0 xx xx 大学数学-极限 3.3.单侧极限单侧极限 - - 左极限与右极限左极限与右极限 大学数学-极限 左极限左极限 : )0( 0 xf Axf xx )(lim 0 x如果当如果当 从从 0 x的左侧无限趋近的左侧无限趋近 0 x 时时,记着记着, 0 xx 函数函

15、数f(x)无限趋近于一个确定的常无限趋近于一个确定的常 数数A, 则称则称A为函数为函数f(x)当当 0 xx 时的左极限。记作时的左极限。记作 大学数学-极限 类似可定义右极限类似可定义右极限 : )0( 0 xf Axf xx )(lim 0 函数的左极限和右极限函数的左极限和右极限 统称为单侧极限。统称为单侧极限。 大学数学-极限 x1 y o 1,0 10, )( x xx xf )(lim)00( 0 xff x 0lim 0 x x 大学数学-极限 对数函数对数函数 )1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a log )1( a )0 , 1( )10(

16、 a 大学数学-极限 x x lnlim 0 大学数学-极限 例如：例如： xx xx xx xfy 2, 12 20,sin 01, )( 2 ),(lim 0 xf x 求 0lim)(lim 2 00 xxf xx 0sinlim)(lim 00 xxf xx )(lim 0 xf x 大学数学-极限 定理定理1.11.1： Axf xx )(lim 0 当当 时时, ,函数函数 极限存在的极限存在的 充要条件是左、右极限存在且相等，充要条件是左、右极限存在且相等， 即即 )(xf 0 xx Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 大学数学-极限 例例6. 设函数设函数 0,1

17、 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 讨论讨论 0 x 时时)(xf 的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因为因为 )(lim)00( 0 xff x ) 1(lim 0 x x 1 大学数学-极限 )(lim)00( 0 xff x ) 1(lim 0 x x 1 显然显然 , )00()00(ff 所以所以)(lim 0 xf x 不存在不存在 . 大学数学-极限 x y o 1 1xy 1 1xy 0,1 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 大学数学-极限 例例7 7 问问a a为何值时为何值时, ,所给函数所给函数x x=2=2处极限处极限

18、存在。存在。 )2(2 )2(2 )2(10 )( 2 xax xa xx xf 解解：左极限左极限 2010lim)(lim)02( 22 xxff xx 右极限右极限 aaxxff xx 24)2lim)(lim)02( 2 22 （ 大学数学-极限 欲函数在欲函数在x x=2=2处极限存在，必须左极限处极限存在，必须左极限 等于右极限，等于右极限， 即即a=a=8 8 大学数学-极限 思考：思考： 1)1)研究函数极限时研究函数极限时, ,是否要考虑是否要考虑f f( (x x) )在在 x x= =x x0 0时的性态？为什么？时的性态？为什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0

19、+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,当当x x趋趋 于于x x0 0时时, ,f f( (x x) )的极限存在吗？的极限存在吗？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)来判断来判断 当当x x趋于趋于x x0 0 时 时, ,f f( (x x) )的极限不存在？的极限不存在？ ？ 大学数学-极限 4)4)若极限若极限)(lim 0 xf xx 是否一定有是否一定有 )()(lim 0 0 xfxf xx ？ 大学数学-极限 1coslim 0 x x 0coslim 2 x x 2 arctanlim x x2 arctanlim x x 1sinlim 2 x x 0sinlim 0 x x 0lim x x e0 1 lim x x 常用的极限结果：常用的极限结果： )(lim 0 为常数CCC xx 大学数学-极限 x x elim 2 limx x x x lnlim