平面的向量四心问的题目

1、近年来，对于三角形的四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题A夕卜心E 内心C 重心D 垂心解析：如图1，以AB AC为邻边构造平行四边形 ABCD E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则 山一二匚 ，因为二一二,所以，上式可化为 AP=AAE , : E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性质等相关知识巧妙结合 垂心冋题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，

2、所以“垂心”就在高线上屮*$申斗例2 P是厶ABC所在平面上一点，若FT 丄工1，贝U P是厶ABC的（ ）A.外心C .重B .内心D .垂心解析：由二.1 m 丁:;-.P乩（可-更）二0,即两可二0.则门.爲邛汗工m汀所以 p为二 的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合 .三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上例3 已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点 P满足则动点P

3、 一定过 ABC的A重心心B、垂心C、外D、内心AB2所示，因为AB是向量AS的单位向量设解析：如图分别为OP-OAAP，则原式可化为二与工 方向上的单位向量&;由菱形的基本性质知AP平分:-，那么在 -1- 中，AP平分:-，则知选 B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了 四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上例4

4、已知0是厶ABC内的一点，若，贝U 0是厶ABC的A.重心内心B.垂心C.外心D.解析：打一厂工三一 V由向量模的 定义知 _到 _：一 的三顶点距离相等故J 是 LABC 的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需

5、要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设三0, ，则向量 设；.三0, ，则向量十笛）必平分/AB ACBAC该向量必通过ABC的内心；/ AB（扁AC=|）必平分/ BAC的邻补角AC设八三0,则向量(ABAC+AB cosB)必垂直于边BC,该向量必通过 ABCAC cosC的垂心 ABC中AB - AC 一定过BC的中点,通过 ABC的重心点0是厶ABC的外心.2 2OA -OB.2=OC点0是厶ABC的重心OA OB 0C = 0点0是厶ABC的垂心OA OB 二 OB 0C 二 OC OA点0是厶ABC的内心*

6、a OA b OB c OC = 0 (其中 a、b、c 为aabc三边) ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OG / OH 设OABC所在平面内任意一点,GABC的重心，IABC的内心, 1 - - 则有 OG (OA OB OC) 3aOA bOB cOCa b c并且重心Xa+X+XcG( T-YA+Yb+Yc)内心IaA+ bX b+ cX ca+b+cayA+ by b+ cy ca+b+c例1 : (2003年全国高考题) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动 ab ac点P满足OP = OA()，：二0,，则动点P的轨迹一定通过厶ABC的 ()|AB AC(A

7、)外心(B)内心AB事实上如图设AE-fB,A AC都是单位向量|ab|AC易知四边形AETF是菱形故选答案B(C)重心(D)垂心例2 : ( 2005年北京市东城区高三模拟题)OABC所在平面内一点，如果OA OB =OB OC = OC OA，则 O必为 ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实 上 OA OB = OB OC 二(OA - OC) OB = 0= CA OB = 0= OB 丄 CA故选答案D例3:已知0为三角形ABC所在平面内一点，且满足|0A2 + BC2+ cA(A)外心(B)内心(0重心则点0是三角形ABC的(D)垂心事实上由条件可推出 OA OB

8、 = OB OC = OC 0A故选答案D例4 :设0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP =OA ，(ABAC+AB cosB)，扎w (0,垃)，则动点P的轨迹一定通AC cosC过厶ABCW()(A)外心(C)重心(D)垂心AB +AC )BC-(ABcosBACcosC内心(B)事实上(BC BC) = 0故选答案D片例 5、 已知向量0R,0F2,0R满足条件0 P O2P30P|0R |=|0P2冃0卩3匸1，求证： PP2P3是正三角形.分析 对于本题中的条件|OP |=|0F2冃0P 1=1，容易想到，点0是厶PP2P3的外心，而另一个条件 OR+OF

9、2+OF3=0表明，点0是厶RP2P3的重心.故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一 定是正三角形.在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外 接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的.显然，本题中的条件 QP |=|0F2 |=|0及|=1可改为|OP|=|OF2|=|OF3|.高考原题例6、0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足Or则 P的轨迹一定通过厶ABC的().0P= oa (半AC) |AB| |AC|A .外心B .内心C.重心D .垂心分析已知等式即|AB| |AC|设 AE,AF =|AB|

10、AC|显然AE, AF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为 ABC的平分线，选B .例7、 ABC的外接圆的圆心为0，两条边上的高的交点为H，OH = m(0A OB 0C)，则实数 m =.分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式AHjBC = o,II,将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH-OAl(OC-OB)= o，将已知=0 ，有 m(0A Ob 0C)-OAl(OC-0B)【22m(OC _OB ) (m _1)OAjBC = 0，由 O 是外心，得(m - 1

11、)OABC = 0，由于 ABC是任意三角形，则OAJBC不恒为0,故只有m恒成立.或者，过点O作OM _ BC与M，则M是BC的中点，有OM =(OB OC);2H是垂心，贝U AH _ BC，故AH与OM共线，设AH = kOM，则OH -OA AH-O- (OB OC)，又OH 二 m(OAOBOC)，故可得kkk(m - OA m (- OB ) m (OC =)，有 m01=m 0，得 m=1 .222根据已知式子OH=m(OAObOC)中的OAOBOC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G，O是平面内T 1 TOA oB OC任一点，均有OG =，由题意，题目显然

12、叙3述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1, 由图上观察，很容易猜想到HG =2GO，至少有两个产生 猜想的诱因，其一是，BF,OT均与三角形的边AC垂直, 则BF/OT ;其二，点G是三角形的中线 BT的三等分点.此时，会先猜想厶BHGTOG,但现在缺少一个关键的条件，即BH =2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得 相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O G H分别是 ABC勺外心、重 心和垂心，则O G H三点共线，且OG： G* 1 : 2,利用向量表示就是= 3oG .例8、点0是

13、三角形ABC所在平面内的一点，满足OAB二二OC_OA， 则点0是. ABC的（）.A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的D .三条高的交点交占八、C.三条中线的交点分析移项后不难得出OBCA=OclAB = OA_CB = 0，点 o 是 abc 的垂心,3推广应用题例9 在厶ABC内求一点P，使AP2 BP2 CP2最小.分析如图2,构造向量解决.取乩 a,cB二b为基向量,设 CP 二X,于是2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2AP BP CP =(xa) (x-b) x = 3x (a b) a b (a b).331 2 2 2 1当 -(a b)时，AP2 BP

14、2 CP2最小，此时，即 OP (OA OB OC),33则点PABC的重心.例 10 已知O为 ABC所在平面内一点，满足|OA|2 |BC|2=|OB|2 |CA|2=|OC|2 |AB，贝U OABC的心.分析将|BC|2=(OC-OB)2=OC2 OBOCJOB, |CAMAB|2也类似展开代入，已知等式与例4的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心.例 11已知 0 为 ABC的夕卜心，求证：TTTOAsin BOC OBsin AOC OC sin AOB = 0 .分析 构造坐标系证明.如图3,以 A为坐标原占八、）B在X轴的正半轴，C在X轴的上y3)方Sa AOB 1-

15、X2Y0，直线BC的方程是2賀0）y3对（X _-y 2X，由于点A与点0必在直 线的侧，AB(X2, y2) XBC同且-X2y3 vO ，因此有图3X0y3-X3X2y0 0X2 得BO2（X3y0 如.直线AC的方程是y3x -x3y =0，由于点（1,0）与点O必在直线AC的同侧，且1y31 -X300，因此有Xoy3-X3yo0，得 Saaoc(Xy3-X3yo).2于是，谷易验证，OA Saboc 0B Sa AOC0C Saaob 二 0 ，1 r Sa bop |OB|OCsi ,ib O C|OA|OC|si n AOC，又 |(A|窗|(C 卜 ， 21 T ISA BOA I 0B 11 0A 1 sin A0B ，SA AOC2则所证成立.总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心一一三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心一一三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件.比如：重心将中线长度分成2: 1 ;垂线与对应边的向量积为0;角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等.（二）