数列的函数特征[主要内容]

1、丰城九中高一数学组丰城九中高一数学组 1青苗辅导1 2青苗辅导1 从数列表示的角度理解数列的函数特性从数列表示的角度理解数列的函数特性 数列是一种特殊函数数列是一种特殊函数, ,其定义域是正整数集其定义域是正整数集N N+ +( (或它的有限子或它的有限子 集集 1, 2, 3 1, 2, 3，, n) , n) ,值域是当自变量顺次从小到大依次值域是当自变量顺次从小到大依次 取值时的对应值取值时的对应值. . 3青苗辅导1 00000000 4青苗辅导1 00000000 5青苗辅导1 6青苗辅导1 确定数列的增减性确定数列的增减性 确定数列的增减性的方法确定数列的增减性的方法 判断数列是递

2、增数列还是递减数列判断数列是递增数列还是递减数列, ,关键是比较相邻两项关键是比较相邻两项a an+1 n+1 与与a an n的大小的大小, ,常见的比较方法有两种：常见的比较方法有两种： 一是作差比较法一是作差比较法. . (1)a(1)an+1 n+1-a -an n00a an+1 n+1a an n数列数列aan n 是递增数列是递增数列. . (2)a(2)an+1 n+1-a -an n00a an+1 n+1a an n数列数列aan n 是递减数列是递减数列. . (3)a(3)an+1 n+1-a -an n=0=0a an+1 n+1=a =an n数列数列aan n 是

3、常数列是常数列. . 7青苗辅导1 二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式, ,用作商法用作商法 比作差法更简便一些比作差法更简便一些. . a an n0 0递增数列递增数列递减数列递减数列常数列常数列 a an n0 0递减数列递减数列递增数列递增数列常数列常数列 n 1 n a 1 a n 1 n a 01 a n 1 n a 1 a 8青苗辅导1 在利用作商比较法时，要确保数列的每一项在利用作商比较法时，要确保数列的每一项 都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较. . 9青苗辅导1 【例【例

4、1 1】已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n= -8n= -8n，判断数列，判断数列 aan n 的单调性的单调性. . 【审题指导】【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比解决本题的关键是正确采取比较的方式，比 较较a an+1 n+1与 与a an n的大小，也可用函数的观点判断的大小，也可用函数的观点判断. . 【规范解答】【规范解答】方法一：根据题意可知方法一：根据题意可知 则则 a an+1 n+1-a -an n= (n+1)= (n+1)2 2-8(n+1)-( n-8(n+1)-( n2 2-8n)-8n) 由数列的定义域为正整数集可知，当

5、由数列的定义域为正整数集可知，当0n80n8时，时， a an+1 n+1-a -an n000，数列是，数列是 递增数列递增数列. . 2 n 1 an8n 2 ， 1 2 1 2 15 n 2 ， 2 1 n 2 10青苗辅导1 方法二：由于本题数列的通项公式为方法二：由于本题数列的通项公式为a an n= n= n2 2-8n-8n对应的函数对应的函数 是是f(x)= xf(x)= x2 2-8x-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性，定义域为正整数集，根据函数的单调性 可知：对称轴是可知：对称轴是x=8x=8，所以当，所以当0n80n00，所以数列，所以数列nn2 2+5n+5n是

6、递增数列是递增数列. . 方法二：由于本题数列的通项公式为方法二：由于本题数列的通项公式为a an n=n=n2 2+5n+5n对应的函数是对应的函数是 f(x)=xf(x)=x2 2+5x+5x，定义域为正整数集，对称轴是，定义域为正整数集，对称轴是 ，根据，根据 函数的单调性可知：数列函数的单调性可知：数列nn2 2+5n+5n是递增数列是递增数列. . 5 x 2 12青苗辅导1 【误区警示】【误区警示】在利用函数的单调性判断数列的单调在利用函数的单调性判断数列的单调 性时，一定要注意函数与数列的区别是数列的定义域为正性时，一定要注意函数与数列的区别是数列的定义域为正 整数集，然后根据函

7、数的对称轴和单调性进行判断整数集，然后根据函数的对称轴和单调性进行判断. . 13青苗辅导1 数列的函数性质的应用数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项数关系可知：数列的通项a an n与与n n的关系公式就是函数的关系公式就是函数f(x)f(x)的的 解析式解析式, ,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径径. . 数列的函数性质的应用数列的函数性质的应用 14青苗辅导1 【例【例2 2】设函数】设函数f(x)f(x)loglog2

8、 2x xloglogx x2(0 x1)2(0 x1)，数列，数列aan n 满足满足 f( )=2n(nNf( )=2n(nN+ +).). (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式； (2)(2)判断数列的单调性判断数列的单调性. . 【审题指导】【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与行作差，判断与零的大小或者作商判断与1 1的大小，从而判的大小，从而判 断数列的单调性断数列的单调性

9、. . n a 2 15青苗辅导1 【规范解答】【规范解答】(1)f( )(1)f( )loglog2 2 -log 2=a -log 2=an n ，所以，所以 a an n 2n2n 2na2nan n1 10 0， 所以所以a an n . . 因为因为x(0,1)x(0,1)，所以，所以 (0,1)(0,1)，所以，所以a an n0.0. 所以所以a an n . . (2)(2)方法一：方法一：a an n 1 1 a an n (n(n1)1) n 1 a n 1 a 2 n a 2 nn1 n a 2 n a 2an 2 2 nn1 2 2 n11(nn1) 2 2 1 (n1

10、1n1) 2 2 2n12n1 110. n1n n11n1 n a 2 16青苗辅导1 所以所以 ，即数列，即数列aan n 是递增数列是递增数列. . 方法二方法二： 又又a an n0a an n， 数列数列aan n 是递增数列是递增数列. . n1n aa 2 n 1 2 n n1n11 a a nn1 2 2 nn1 1 n1n11 ， 17青苗辅导1 【互动探究】若把题目中的函数改为【互动探究】若把题目中的函数改为f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x -x，数列 ，数列 aan n 满足满足f(logf(log2 2a an n)=-2n(nN)=-2n(nN+ +).).

11、其他不变，你会求解吗？其他不变，你会求解吗？ 【解题提示】【解题提示】仿照例题通过仿照例题通过f(logf(log2 2a an n)=-2n)=-2n求得数列求得数列aan n 的通项公式，然后作差或者作商证明单调性的通项公式，然后作差或者作商证明单调性. . 18青苗辅导1 【解析】【解析】(1)f(x)=2(1)f(x)=2x x-2-2-x -x,f(log ,f(log2 2a an n)=-2n,)=-2n, aan n0, 0, (2)(2)方法一：方法一： 又又a an n0,a0,an+1 n+1 a an n,数列数列aan n 是递减数列是递减数列. . 2n2n log

12、logaa n n 1 222n,a2n, a 22 nnn a2na10,ann1. 解得 2 n an1n. 2 n 1 2 n n11n1 a a n1n 2 2 n1n 1, n11n1 19青苗辅导1 方法二方法二：a an+1 n+1-a -an n 即即a an+1 n+1-a -an n0 0，a an+1 n+1 a an n.数列数列aan n 是递减数列是递减数列. . 2 2 n11n1( n1n) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n11n1 n11n1 11 n11n1 n1n 1 n11n1 n11n1 , n1 n, n1n 1. n11n1 20

13、青苗辅导1 21青苗辅导1 【典例】【典例】(12(12分分) )一个数列的通项公式为一个数列的通项公式为a an n3030n nn n2 2. . (1)(1)问问6060是否为这个数列中的项？是否为这个数列中的项？ (2)(2)当当n n分别为何值时，分别为何值时，a an n0 0，a an n00，a an n00.0. 当当n6n6且且nNnN+ +时，时，a an n0. 80. 8分分 23青苗辅导1 (3)a(3)an n3030n nn n2 2 又又nNnN+ +， 故当故当n n1 1时，时，a an n有最大值，其最大值为有最大值，其最大值为30. 1230. 12分

14、分 2 1121 (n) 24 ， 24青苗辅导1 【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 常见常见 错误错误 错错 误误 原原 因因 第二问第二问 n=-5 n=-5 解出了解出了n n的值后，没有考虑的值后，没有考虑n n的定义域，直接的定义域，直接 下结论导致错误，事实上，解决这类问题需下结论导致错误，事实上，解决这类问题需 要特别注意要特别注意n n的取值范围的取值范围. . 25青苗辅导1 第三问第三问 n=n= 在利用二次函数的性质进行配方求解数列的在利用二次函数的性质进行配方求解数列的 最值时，忽略了最值时，忽略了n n只

15、能取正整数这一问题，只能取正整数这一问题， 导致错误，一般地借助函数解决数列问题时，导致错误，一般地借助函数解决数列问题时， 都需要认真考虑定义域都需要认真考虑定义域. . 1 2 26青苗辅导1 【即时训练】数列【即时训练】数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an nn n2 25n5n4.4. (1)(1)数列中有多少项是负数？数列中有多少项是负数？ (2)n(2)n为何值时，为何值时，a an n有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值. . 【解析】【解析】(1)(1)由由n n2 25n5n4=04=0，解得，解得n=1n=1或或n=4.n=4. 由数列由数列aan n 的图像及