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文档简介

1、常用均值不等式及证明证明概念:1、调和平均数:Hn =iii+ +aia2an 2、几何平均数:Gni=a an n3、算术平均数：An = ai a2 an4、平方平均数:2 2 2aia?an这四种平均数满足Hn _ Gn _ An _ Qnan R，当且仅当ai = a：二二an时取=”号-均值不等式的一般形式：设函数D x 二ia； + a； + a；厂丄iD 0 = a aD x 二 aa2an n (当=o 时)(n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 HnGnWAn Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)切(0) 9(1) 9(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

2、a b 2Jab兰0，即 2-色Vab色0(3)对负实数 a,b，有 a b ”： -2、ab ”： 0对实数a,b，有 a a - b “丄b a - b2 2对非负实数a,b，有 a b - 2ab - 0(6)对实数2 丄 i 2.a,b，有 a b -a b2-2ab(7)对实数2a,b,c，有 a2 2 2（8）对实数 a,b,c，有 a b c - ab bc ac2 丄 i 丄i 2 . 3(a + b)(9) 对非负数a,b，有a ab b -4a(10) 对实数a,b,c,有 均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法

3、、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A初,B初，贝U A B An nAn-1B注：引理的正确性较明显，条件A初,B为 可以弱化为 A丸,A+B为(用数学归纳法)。原题等价于:当n=2时易证;假设当n=k时命题成立，即ak -a1a2ak那么当n=k+1时，不妨设ak T是a 1 , a 2 ，a k亠1中最大者，则ka-1 - 印 a?a设 s 二 a a2a ka1 a? ak 1k + 1_k_ k +1ka k+1 - s I k(k + 1 )用引理a k 1 _ a 1 a 2用归纳假设F面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数则有:s?kak 1f x,Xi,X2，Xn是函数f x在区间（a,b）内的任意n个点,f x1f xf xn设fx=l nx， f x为上凸增函数所以,lnX2XnIn %In x2In xn丄二 In %x2xn n1Xn ny + y + + y人一X2XXiX

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