3.3-积分变换法

1、2021/3/131 3.3 3.3 积分变换法积分变换法 3.3.1 3.3.1 积分变换及其性质积分变换及其性质 若函数若函数 )(xf),( dxexffFf ix )()()( .)( 2 1 ) ()( 1 deffFxf ix .)()()( 0 dtetffLsF st 在在上连续可导上连续可导, ,且绝对可积且绝对可积, , 则有则有傅里叶变换傅里叶变换 及其及其傅里叶逆变换傅里叶逆变换 若函数若函数)(tf), 0( 在在上不超过指数增长上不超过指数增长, ,则定义则定义 它的它的拉普拉斯变换拉普拉斯变换为为 2021/3/132 dxexffFf ix )()()( .)(

2、 2 1 ) ()( 1 deffFxf ix .)()()( 0 dtetffLsF st ),()( 1 sFLtf cs Re n sss, 21 s , 0)(sF .,)(Res)( 1 k st n k sesFtf 可用可用留数定理留数定理求得求得: : 设设除在半平面除在半平面)(sF内内 有限孤立奇点有限孤立奇点 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换记为记为 外是解析的外是解析的, ,且当且当 时时, ,则有则有 2021/3/133 积分变换有下述积分变换有下述基本性质基本性质: : (1)(1)线性线性性质性质,gbFfaFbgafF ,gbLfaLbgafL ba, (2)(2

3、)微分定理微分定理1 1 ff, ),()(xfFixfF),()()( 2 xfFixfF ),()()( )( xfFixfF nn ),0()()(ftfsLtfL ),0()0()()( 2 fsftfLstfL ).0()0()0()()( )1(21)( nnnnn ffsfstfLstfL 其中其中是任意常数。是任意常数。 若若都可进行都可进行傅里叶变换傅里叶变换( (拉普拉斯变换拉普拉斯变换),), 且在且在无穷远处为无穷远处为0 0, , 2021/3/134 gf , dyyxgyfxgxf )()()()( ,gFfFgfF . 1 gfgfF (3)(3)微分定理微分定

4、理2 2 (4)(4)卷积定理卷积定理 )( ixfFf ),()( xfFf )()(ttfLsF ),()(tfLsF 若若 则有则有 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 如果如果的卷积的卷积 可作可作傅里叶变换傅里叶变换, ,则则 从而从而 对于对于拉普拉斯变换拉普拉斯变换也有同样的卷积定理。也有同样的卷积定理。 dtgftgtf t 0 )()()()( 2021/3/135 (5)(5)频移定理频移定理( (位移定理位移定理) ) (6)(6)延迟定理延迟定理 0 )( )( 0 xi efxxfF )()(asFetfL at 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯

5、变换 )( )( 0 0 fexfF xi 0 )()()( 00 st esFttuttfL 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 ),()( xfFf),()(tfLsF若若 则有则有 ),()( xfFf),()(tfLsF若若 则有则有 0 0 0 , 0 , 1 )( tt tt ttu 0 )()( 0 st esFttfL )( 0 tt 对变换的对变换的参变量参变量而言而言 对变换的对变换的自变量自变量而言而言 其中其中 可简化为可简化为 2021/3/136 补充补充 , 0, 0 , 0, )( x x x1)( dxx 0 x 0 xx ),( 0 xx , 0

6、 , )( 0 0 0 xx xx xx1)( 0 dxxx 函数的定义及性质函数的定义及性质 ( (一一) )函数的定义函数的定义: : 函数是从某些物理现象中抽象出来的数学函数是从某些物理现象中抽象出来的数学 模型模型, ,例如例如: :力学中瞬间作用的冲击力力学中瞬间作用的冲击力, ,原子弹原子弹 、氢弹的爆炸等、氢弹的爆炸等, , 这些物理现象有个共同特点这些物理现象有个共同特点, , 即即作用时间极短作用时间极短, ,但但作用强度极大作用强度极大。 满足以下两个条件的函数满足以下两个条件的函数 ( (冲激函数冲激函数) ) (1)(1)(2)(2) 若冲激作用不是发生在若冲激作用不是

7、发生在处处, ,而是发生在而是发生在 处处, , 则函数记为则函数记为且满足且满足 2021/3/137 ( (二二) )函数的性质函数的性质: : 补充补充函数的定义及性质函数的定义及性质 (1)(1) 抽样性质抽样性质: : (2)(2) 对称性对称性: : )()()( 00 xfdxxxxf )0()()(fdxxxf )(x )()( 00 xxxx )()(xx 特别的特别的, , 为为偶函数偶函数, , 则有则有 特别的特别的, , 自然也有自然也有 )()()( 00 xfdxxxxf 2021/3/138 例例1 1 求函数求函数)(ax a的的傅里叶变换傅里叶变换, ,其中

8、其中是与是与 ia eaxF )( 自变量自变量x无关的数。无关的数。 dxexff ix )()( 解解由定义知由定义知 dxeax ix )( 利用利用 )()()( 00 xfdxxxxf 函数的性质函数的性质 则有则有 ia eaxF )( 同理可得同理可得 2021/3/139 ia eaxF )( 利用利用 ia eaxF )( 2 )()( 2 1 iaia ee axaxF 和傅里叶变换的和傅里叶变换的线性性线性性可得可得 i ee axax i F iaia 2 )()( 2 1 从而有公式从而有公式 )()( 2 1 cos 1 axaxaF )()( 2 1 sin 1

9、axax i aF acos asin 2021/3/1310 例例2 2 求求 mx mx xf |, 0 |, 1 )( . 0m dxexff ix )()( 的的傅里叶变换傅里叶变换, ,其中其中 解解由定义知由定义知 dxe m m ix dxxix m m )sin(cos dxx m 0 cos2 msin2 mx m F |, 2 1 sin 1 | sincosie i 由由例例2 2结论可得结论可得 2021/3/1311 例例3 3 求求 t ef 2 )( . 0t dee ixt 2 2 1 ,)sin(cos 2 1 2 dxixe t ,cos 1 0 2 dxe

10、 t )(xf . 0)( 2 )( xf t x dx xdf .)0()( 4 2 t x efxf 的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换, ,其中其中 解解由定义知由定义知 对对求导求导, ,并利用一次分部积分得并利用一次分部积分得 defxf ix )( )( 2 1 2021/3/1312 例例3 3 求求 t ef 2 )( . 0t .)0()( 4 2 t x efxf def t 0 21 )0( , 2 0 2 dxe x , 2 1 )0( t f . 4 1 )( 4 2 t x e t xf 的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换, ,其中其中 解解 利用利用欧拉欧拉(Euler)(E

11、uler)积分公式积分公式 知知 )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t 由由例例3 3结论可得结论可得 2021/3/1313 例例4 4 求求 y ef | )( . 0y的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换, ,其中其中 解解由定义知由定义知 defxf ix )( 2 1 )( ) 11 ( 2 1 ixyixy . 1 22 xy y )0( 1 22 |1 y xy y eF y 由由例例4 4结论可得结论可得 dee ixy | 2 1 de yix 0 )( 2 1 de yix 0 )( 2 1 2021/3/1314 几类常见的几类常见的傅里叶变换或逆变换傅里叶

12、变换或逆变换 ia eaxF )( ia eaxF )( )()( 2 1 cos 1 axaxaF )()( 2 1 sin 1 axax i aF mx m F |, 2 1 sin 1 | )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t )0( 1 22 |1 y xy y eF y 1.1. 2.2. 3.3. 4.4. 5.5. 1)(xF 2021/3/1315 几类常见的几类常见的拉普拉斯变换或逆变换拉普拉斯变换或逆变换 as eL at 1 s L 1 1 1 ! n n s n tL 22 sin as a atL 22 cos as s atL 1)(tL 1.

13、1. 3.3. 4.4. 特别的特别的, , 0Res 2.2. , )( sin 22 aas a ateL at 22 )( cos aas as ateL at 5.5. 1 )( ! n atn as n etL )()()( 1 atatfesFL sa 6.6. 延迟定理的延迟定理的 逆变换形式逆变换形式 2021/3/1316 几类常见的几类常见的拉普拉斯变换或逆变换拉普拉斯变换或逆变换 t a ysa dyee s L 2 1 22 1 t a e t a 4 2 3 2 2 1 11sasa e s sLeL 8.8. 7.7. 0Res 余误差函数余误差函数 事实上事实上,

14、 , t a y dye dt d 2 22 t a sa e t a eL 4 2 3 1 2 2 拉氏变换拉氏变换 微分定理微分定理1 1 2021/3/1317 例例5 5 ),()()( 2 tftuktu . 0)0(, 0)0(uu 用用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求解求解 ,)(fLsF记记 对方程两边作对方程两边作 解解,)(uLsU )()()0()0()( 22 sFsUkususUs )()()( 22 sfsUksUs ).( 1 )( 22 sF ks k k sU .)(sin)( 1 0 dtkf k t kttf k tusin)( 1 )( 22 sin as a

15、 atL 拉普拉斯变换拉普拉斯变换得得 因此因此 对上式作对上式作拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换得得 2021/3/1318 3.3.1 3.3.1 积分变换法举例积分变换法举例 积分变换法的积分变换法的优点优点在于把原方程化为较简单在于把原方程化为较简单 的形式的形式, ,便于求解。便于求解。 在应用上在应用上, ,对于对于初值问题初值问题通常采用通常采用傅氏变换傅氏变换 ( (针对针对空间空间变量变量),), 而对于而对于带有边界条件带有边界条件的定解的定解 问题问题, ,则采用则采用拉氏变换拉氏变换( (针对针对时间时间变量的变量的) )。 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),

16、0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t x ),(),(tUtxuF (37)(37) (38)(38) 解解 ).()(xF),(),(tGtxfF 首先对首先对进行进行傅氏变换傅氏变换, ,记记 2021/3/1319 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t x ),(),(tUtxuF (37)(37) (38)(38) 解解 ).()(xF),(),(tGtxfF 首先对首先对进行傅氏变换进行傅氏变换, ,记记 x对方程对方程(37)(37)两端关于两端关于 取取傅氏变换傅氏变换,

17、,得得 ),(),( ),( 22 tGtUa dt tdU ).(| ),( 0 t tU (39)(39) 它满足它满足初值条件初值条件 (40)(40) 为了求解常微分方程初值问题为了求解常微分方程初值问题(39)(40)(39)(40), ,记记 2021/3/1320 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) 解解 ),(),( ),( 22 tGtUa dt tdU ).(| ),( 0 t tU ),(),(sUtUL).,(),(sGtGL ),(),()(),( 22

18、 sGsUasUs (39)(39) (40)(40) 为了求解常微分方程初值问题为了求解常微分方程初值问题(39)(40)(39)(40), ,记记 t 对方程对方程(39)(39)两端关于两端关于 取取拉氏变换拉氏变换, ,并结合条件并结合条件 (40)(40)得得 2021/3/1321 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) ),(),()(),( 22 sGsUasUs t 对方程对方程(39)(39)两端关于两端关于 取取拉氏变换拉氏变换, ,并结合条件并结合条件 (40

19、)(40)得得 ),( 1 )( 1 ),( 2222 sG asas sU (41)(41) 对式对式(41)(41)两边取两边取拉氏逆变换拉氏逆变换, ,得得 ),( 11 )(),( 22 1 22 1 sG as L as LtU 2021/3/1322 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) ),( 11 )(),( 22 1 22 1 sG as L as LtU .),()( )( 0 2222 deGe ta t ta tata etGe 2222 ),()( ),(

20、tU 对式对式(41)(41)两边取两边取拉氏逆变换拉氏逆变换, ,得得 (42)(42) 为了求出问题为了求出问题(37)(38)(37)(38)的解的解, ,还需要对还需要对 取取傅氏逆变换傅氏逆变换。 as eL at 1 2021/3/1323 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) .),()(),( )( 0 2222 deGetU ta t ta (42)(42) 对对(42)(42)式两端取式两端取傅氏逆变换傅氏逆变换, ,得得 deGFeFtxu t tata 0

21、)(11 2222 ),()(),( 利用利用卷积定理卷积定理得得 deFxfeFxtxu t tata 0 )(11 ),()(),( 2222 2021/3/1324 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) deFxfeFxtxu t tata 0 )(11 ),()(),( 2222 )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t 利用结论利用结论 可知可知 . ta x ta e ta eF 2 2 22 4 1 2 1 则可得则可得 de ta xfe ta x

22、txu t ta x ta x 0 )(4 4 2 2 2 2 )(2 1 ),( 2 1 )(),( 2021/3/1325 例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) 则可得则可得 de ta xfe ta xtxu t ta x ta x 0 )(4 4 2 2 2 2 )(2 1 ),( 2 1 )(),( de ta ta x 2 2 4 )( )( 2 1 . )( 1 ),( 2 1 0 )(4 )( 2 2 dde t f a t ta x 即得原定解问题的解。即得原定解

23、问题的解。 2021/3/1326 例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t x ),(),(tUtxuF (43)(43) 解解 ),()(xF).()(xF 将将(43)(43)各式的两端关各式的两端关 于于 进行进行傅氏变换傅氏变换, ,记记 假定假定. 0),(lim),(lim | txutxu t xx , 22 2 2 Ua dt Ud 则得则得 ).(| ),(),(| ),( 00 tt t dt dU tU (44)(44) 问题问题(44)(44)式带参数式带

24、参数的常微分方程的初值问题的常微分方程的初值问题, , 其解为其解为 2021/3/1327 例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) .sin )( cos)(),(ta a tatU ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (45)(45) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 对式对式(45)(45)取取傅氏逆变换傅氏逆变换 (46)(46) 利用结论利用结论 mx m F |, 2 1 sin 1 | ta Fx a taFx

25、 sin )( 1 cos)( 11 2021/3/1328 )()( 2 1 )(cos)( 1 atxatxxtaF ),()( 2 1 atxatx 例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 利用结论利用结论 mx m F |, 2 1 sin 1 | 因此可得因此可得 ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (46)(46) 2021/3/1329 ta a F sin )( 1 ta F

26、x a sin )( 1 1 .)( 2 1 d a atx atx .)( 2 1 )()( 2 1 ),(d a atxatxtxu atx atx 例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 利用结论利用结论 mx m F |, 2 1 sin 1 | 因此可得因此可得 ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (46)(46) 将所得结果代入将所得结果代入(46)(46)式式, ,得原问题得原

27、问题(43)(43)的解为的解为 2021/3/1330 例例3 3求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(0yxuu yyxx . 0),(lim),(| 22 0 yxuxgu yx y x ),(),(yUyxuF (47)(47) 解解 ).()(GxgF 将将(47)(47)各式的两端关各式的两端关 于于 分别作分别作傅氏变换傅氏变换, ,记记 则则(47)(47)化为化为 ),()0 ,(GU , 0 2 2 2 U dy Ud . 0),(lim yU y 解问题解问题(48)(48)得得 .)(),( |y eGyU (48)(48) 2021/3/1331 例例3 3求解

28、下列问题的解求解下列问题的解 ),0,(0yxuu yyxx . 0),(lim),(| 22 0 yxuxgu yx y (47)(47) .)(),( |y eGyU 对上式取对上式取傅氏逆变换傅氏逆变换 得得 y eGFyxu |1 )(),( 利用结论利用结论 .)( |1y eFxg )0( 1 22 |1 y xy y eF y (49)(49) 即得原问题即得原问题(47)(47)的解为的解为 22 1 )(),( xy xg y yxu . )( )( 22 d xy gy 2021/3/1332 例例4 4求解下列问题的解求解下列问题的解 ),0, 0( 2 txuau xx

29、t , 0| 0 t u t ),(),(sxUtxuL (50)(50) 解解 ).()(sFtfL 将将(50)(52)(53)(50)(52)(53)的两端对的两端对 分别作分别作拉氏变换拉氏变换, ,记记 则问题则问题(50)-(53)(50)-(53)化为化为 ),(| ),( 0 sFsxU x , 0 2 2 2 sU dx Ud a .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) (54)(54) (55)(55) (56)(56).| ),(|MsxU 2021/3/1333 ),(| ),( 0 sFsxU x , 0

30、 2 2 2 sU dx Ud a 是一个充分大的正数。是一个充分大的正数。 (54)(54) (55)(55) (56)(56).| ),(|MsxU 其中其中M方程方程(54)(54)的的通解通解为为 ,),( 21 x a s x a s ececsxU 则问题则问题(50)-(53)(50)-(53)化为化为 , 0 2 c .)(),( x a s esFsxU (57)(57) 由条件由条件(56)(56)知知).( 1 sFc 再由条件再由条件(55)(55)知知 于是有于是有 对式对式(57)(57)作作拉氏逆变换拉氏逆变换, ,得得 )(),( 1 x a s esFLtxu

31、 (58)(58).)( 1 x a s eLtf 2021/3/1334 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(50) .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf t a ysa dyee s L 2 1 22 1 首先利用结论首先利用结论 ta x y s a x dyee s L 2 1 22 1 则有则有 2021/3/1335 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(

32、50) .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf . 2 2 2 4 2 3 ta x e ta x 1 11 s a x s a x e s sLeL ta t y dye dt d 2 22 再利用再利用拉氏变换拉氏变换的的微分定理微分定理1 1则有则有 ta x y s a x dyee s L 2 1 22 1 2021/3/1336 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(50) .| ),(|Mt

33、xu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf . )(2 1 )( 2 0 )(4 2 3 2 2 t ta x de ta f a x 于是于是, ,原问题原问题(50)-(53)(50)-(53)的解为的解为 ta x e ta x tftxu 2 2 4 2 3 2 )(),( 2021/3/1337 例例5 5求解求解半无界弦半无界弦的的自由振动自由振动问题问题 ),0, 0( 2 txuau xxtt , 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxu t t

34、),(),(sxUtxuL (59)(59) 解解 ).()(sFtfL 将将(59)(61)(59)(61)的两端的两端 对对 分别作分别作拉氏变换拉氏变换, ,记记 则问题则问题(59)-(61)(59)-(61)化为化为 ),(), 0(sFsU , 0 2 2 2 2 Us dx Ud a , 0),(lim txu x ),(), 0(tftu (60)(60) (61)(61) (62)(62) (63)(63) . 0),(lim sxU x )(tf. 0)0(f 其中其中为已知函数为已知函数( (满足拉氏变换条件满足拉氏变换条件),),且且 2021/3/1338 方程方程(

35、62)(62)的的通解通解为为 ,),( 21 x a s x a s ececsxU ),(), 0(sFsU , 0 2 2 2 2 Us dx Ud a(62)(62) (63)(63) . 0),(lim sxU x , 0 1 c .)(),( x a s esFsxU 由条件由条件(63)(63)知知),( 2 sFc于是有于是有 对上式取对上式取拉氏逆变换拉氏逆变换, ,得得 )(),( 1 x a s esFLtxu (64)(64) 利用拉氏变换的利用拉氏变换的延迟定理的逆变换形式延迟定理的逆变换形式 )()()( 1 atatfesFL sa 2021/3/1339 )()

36、,( 1 x a s esFLtxu (64)(64) 利用拉氏变换的利用拉氏变换的延迟定理的逆变换形式延迟定理的逆变换形式 可知可知 )()()( 1 a x t a x tfesFL a x s )()()( 1 atatfesFL sa 则则(64)(64)式可化为式可化为 .)( , 0 ),( a x t a x tf a x t txu , 即得即得半无界弦半无界弦的的自由振动自由振动问题问题(59)-(61)(59)-(61)的解。的解。 2021/3/1340 例例6 6求解求解),0, 10( 2 txuau xxt ,sin4)0 ,(xxu t ),(),(sxUtxuL 解解 显然显然, ,对对作作拉氏变换拉氏变换, ,记记 则问题则问题(65)(65)可化为可化为 , 0), 0(sU ,sin4 2 2 2 xsU dx Ud a . 0), 1 (tu, 0), 0(tu (65)(65) (66)(66) (67)(67) . 0), 1 (sU 方程方程(66)(66)的的通解通解为为 x a s x a s ececsxU 21 ),(, sin4 22 as x 2021/3/1341 , 0 1 c . sin4 ),( 22 xas x sxU 由条件由条件(67)(67)知知, 0 2 c于是有于是有 , 0), 0(