排列第二课时(排列应用问题)

1、2021/3/131 一、一、【概念复习概念复习】: 1排列的定义排列的定义,理解排列定义需要注意的 几点问题; 从n个不同元素中,任取m(mn)个元素（这里 的被取元素各不相同）按照一定的顺序一定的顺序排成 一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列一个排列. 2排列数的定义排列数的定义,排列数的计算公式排列数的计算公式 ) 1() 2)(1(mnnnnA m n )!( ! mn n A m n 2021/3/132 )!1( 1 )!1( 1 ! 1 )5( )!1)(45423 452451 nnn mnmn）（！，（）（ ）！）（！，（）化简：（ 1. 2.计算: ; ) 1

2、 ( 3 16 A ; )2( 7 12 8 12 A A . ) 3( 6 6A 。，求 。，求已知 。，求 xAAA AA n A AA AA nA xxx n nn n 22 1 3 6 6 5 7 5 57 2 8 4 8 2 623)5( ? ! 5! 6 2 )4( 89) 3( ?2)2( 56) 1 ( 3. 选作选作:求证求证:1!22!+33!+nn!=(n+1)!- 1 2021/3/133 排列应用题排列应用题 2021/3/134 一、无限制条件的排列问题 1.一个火车站有8股岔道,每股道只能停放1 列火车,现需要停放4列不同的火车,有多少 种不同的停放方法? 202

3、1/3/135 2.公共汽车上有4位乘客,其中任何两个人都不在 同一车站下车,汽车沿途停靠6个站,那么这4位 乘客不同的下车方法有多少种? 分析:个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第 一位乘客在1号站下,第二位乘客在2号站下,第三 位乘客在4号站下,第四位乘客在6号车站下,不同 的排列表示不同的下法,有多少个不同的排列就 有多少种不同的下法,共有A46=6543=360 2021/3/136 3. 3. 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（A A组）联赛共组）联赛共 有有1414个队参加个队参加, ,每队要与其余各队在主、每队要与其余各队在主、 客场分别比赛一次客场分别比赛一

4、次, ,求总共要进行多少场求总共要进行多少场 比赛比赛. . 2 14 1413182A=? ( (场场) ) 2021/3/137 4从参加乒乓球团体比赛的从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出名运动员中选出3名名 进行某场比赛进行某场比赛,并排定他们的出场顺序并排定他们的出场顺序,有有种不同种不同 的方法的方法? 60 60345 3 5 A 2021/3/138 5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面, 2面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表 示多少种不同的信号? 2021/3/139 6.6.（1 1）从）从5 5本本不同的

5、书中选不同的书中选3 3本送给本送给3 3名名 同学同学, ,每人各每人各1 1本本, ,共有多少种不同的送法共有多少种不同的送法? ? （2 2）从）从5 5种种不同的书中买不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同 学学, ,每人各每人各1 1本本, ,共有多少种不同的送法共有多少种不同的送法? ? 3 5 60A= ( (种种) ) 3 5125= ( (种种) ) 2021/3/1310 百位百位十位十位个位个位 解法一解法一: :对排列方法对排列方法分步思考分步思考。 648899 1 8 1 9 1 9 AAA 648899 2 9 1 9 AA 或 0 0是是“特殊元素特殊元素

6、”, , 特殊元素要特殊（优先）处理。特殊元素要特殊（优先）处理。 例例1 1 用用 0 0 到到 9 9 这十个数字这十个数字, ,可以组成多少个可以组成多少个 没有重复数字的三位数没有重复数字的三位数? ? 二、有限制条件的排列问题二、有限制条件的排列问题 （一（一) )特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题 2021/3/1311 解法二解法二: :间接法间接法. . 求总数：求总数： 从从0 0到到9 9这十个数字中任取三个数字的这十个数字中任取三个数字的 排列数为排列数为 ， A 3 10 .648898910A 3 10A 2 9 所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是 求

7、以求以0 0为排头的排列数为为排头的排列数为 . . A 2 9 从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数 2021/3/1312 小小 结一结一:对于“在在”与“不在不在”等有特殊元素或特殊元素或 特殊位置特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置, 称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法）。 2021/3/1313 例2.用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1) 五位数2)六位偶数3)大于213045的自然数 1)解1. 位置分析法:首位是特殊位置,0不能排,有5种排法, 其余4个位置有A45种

8、排法,由乘法原理知共有 5 A45=55432=600 2021/3/1314 解2.（间接法） 6个数中取5个数的排列中有不 满足要求的数如02134等,0这样的数共 有A56-A45=600 2)可分为两类,第一类是个位为0的有A55个,第 二类个位不是0,个位有两种排法,首位有4种排 法,中间四位有A44种排法,第二类共有 24A44=192,由加法原理共有A55+192=312 2021/3/1315 形如2134,2135的数有A12A22 形如21054有一个 因此满足要求的数共有449个 3)形如3,4,5,这 样的数都是满足条件的数共有A13A55 形如 23,24,25这样

9、的数都是满足条件的数共有A13A44 形如214,215这样的数都是满足条件 的数共有A12A33 2021/3/1316 例例3、 7位同学站成一排位同学站成一排,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7个元素的全排列A775040 7位同学站成一排位同学站成一排,其中甲站在中间的位置其中甲站在中间的位置,共有共有 多少种不同的排法多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66 =720 7位同学站成一排位同学站成一排,其中甲不站在首位其中甲不站在首位,共有多少共有多少 种不同的排法种不同的排法? 解一:甲站其余六个位置之一有A61种,其余6人全排

10、列有A66 种,共有A61 A66 =4320。 解二:从其他6人中先选出一人站首位,有A61,剩下6人（含 甲）全排列,有A66 ,共有A61 A66 =4320。 解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。 2021/3/1317 （4）7位同学站成一排位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共甲、乙只能站在两端的排法共 有多少种有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有A22种;第二步 余下 的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法 甲 乙 乙甲 abcde ebdca A55

11、A55 A22 A22 2021/3/1318 （5） 7位同学站成一排位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排甲、乙不能站在排头和排尾的排 法共有多少种法共有多少种? 解:第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学 站在排头和排尾有A52种方法;第二步 从余下的5位同学中 选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ,所以一共有A52 A55 2400种排列方法 2021/3/1319 （6）若甲不在排头）若甲不在排头、乙不在排尾、乙不在排尾,有多少种不有多少种不 同的排法同的排法? 解法一（直接法）解法一（直接法）:以以甲作为分类标准甲作为分类标准,分为两类分为两类: 第一类第一类

12、:先安排甲在中间先安排甲在中间,再安排乙再安排乙,有有 第二类第二类:先安排甲在排尾先安排甲在排尾,再安排其他人再安排其他人,有有 3000 5 5 1 5 1 5 AAA 720 6 6 A 共有共有:3720种方法种方法 2021/3/1320 解法二（间接法）解法二（间接法）:所有排法中除去不符合的所有排法中除去不符合的. 共有共有: 3720种方法种方法 所有排法：所有排法： 7 7 A 甲在排头甲在排头: 6 6 A 乙在排尾乙在排尾: 6 6 A 甲在排头、乙在排尾甲在排头、乙在排尾: 5 5 A 5 5 6 6 7 7 2AAA 2021/3/1321 B 例4七个家庭一起外出旅

13、游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 （1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多 少种不同的排法? B A A 解：A在B左边的一种排 法必对应着A在B右边的 一种排法，所以在全排列 中， A在B左边与A在B右 边的排法数相等，因此有： 2520 7 72 1 A 排法。 （种） 2021/3/1322 例4.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 （1） 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多 少种不同的排法? B A 对应思想对应思想 2520 5 7 A 2021/3/1323 例例5 5七个家庭一起外

14、出旅游,若其中四家是一个 男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照 相留念。 1)若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法? 解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种 排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排 法共有： （种）。720 3 3 5 5 AA 5 5 A 3 3 A 捆 绑 法捆 绑 法 （二）相邻问题 2021/3/1324 变式: 七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男 孩,三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩要站在一起,四个男孩也 要站在一起, 有多少种不同的排法? 不同的排法有： 288 4 4 3 3 2 2 AAA （种） 2021/3

15、/1325 小结二小结二:对于相邻问题对于相邻问题,常用常用 “捆绑法捆绑法”（先捆后松先捆后松） 2021/3/1326 例6.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法? 解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有 种方法，所以共有： （种） 排法。 3 5 A 4 4 A 1440 3 5 4 4 AA （三）不邻问题 2021/3/1327 七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻

16、,有多少种不同的排法? 插 空 法插 空 法 2021/3/1328 小结三小结三:对于不相邻不相邻问题,常用“插空插空 法法”（特殊元素特殊元素考虑考虑） 2021/3/1329 变式、七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻,有多 少种不同的排法? 不同的排法共有： 144 3 3 4 4 AA （种） 相 间 问 题 2021/3/1330 1.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三家 是女孩,现将这七个小孩站成两排两排照相留念。 （2）若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小孩 必须站前排且相邻

17、,有多少种不同的排法? AB 解：A，B两小孩的站法有： （种），其余人的站法 有 （种），所以共有 （种） 排法。 2 2 2A 5 5 A4802 5 5 2 2 AA 2021/3/1331 解:连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4 枪所隔开 ,如图表示没有命中, _ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共 两个元素插到五个空档中有A25=54=20种排法 2.某人射击8枪,命中4枪,4枪命种恰好3枪连在一 起的不同种数有多少? 2021/3/1332 3. .一排一排8 8个座位个座位,3,3人去坐人去坐, ,每人两边至少有一个每人两边至少有一个 空座的坐法有多少种空座的坐法有多

18、少种? ? 4、一排长椅上共有、一排长椅上共有10个座位个座位,现有现有4人就座人就座,恰恰 有五个连续空位的坐法种数为有五个连续空位的坐法种数为 。 （用数字作答）（用数字作答） 480 2021/3/1333 解法二:可以画一个树状图,知满足要求的拿法 有9 种 （四)其他问题 同室4名学生各写一张贺卡,放在一起,然后各人 从中各拿一张,但均不能拿自己写的那张,共有 多少种拿法? 解法一:第一步第一个同学从中拿一张贺卡,满足 要求的拿法有3种,第二步考虑被第一个同学拿 走贺卡的那个同学也有3种拿法,第三步、第四 步各有一种拿法,由乘法原理共有3311=9 2021/3/1334 1.四位男

19、生、三位女生排队照相,根据下列要求, 各有多少不同的排法 七个人排一列,三个女生任何两个都不能相邻 排在一起 七个人排一列,四个男生必须连排在一起 男女生相间排列 巩固练习 2021/3/1335 男女男女男女男 共有A44 A35=144 2021/3/1336 2. 7人排成一排人排成一排, （1）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元 素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2 个元素放在排头和排尾,有A52种方法;将剩下的4个元素进行全排列 有A44种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑松绑”进行排列有A22种方 法所以这样的排法一共有A52 A44 A22 960种方法 （2）甲